13.1.3线段的垂直平分线的画法教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.1.3线段的垂直平分线的画法教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 505.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:11:15 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称
·13.1.3 线段的垂直平分线的画法·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本节课是在学生学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用.其主要目的在于让学生学会线段的垂直平分线的作法，会做轴对称图形的对称轴，感受初中阶段尺规作图的重要作用.
二、教学目标
1.进一步理解线段垂直平分线的性质，能够确定成轴对称的两个图形的对称轴.
2.掌握线段的垂直平分线的画法．
三、重点难点
【教学重点】
线段的垂直平分线的画法．
【教学难点】
线段的垂直平分线的画法的灵活应用.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师生共同回顾旧知：
1.垂直平分线的定义：
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ MN⊥AB ， AD = BD ；
2.垂直平分线的性质：
∵ AD = BD，MN⊥AB，点P在MN上，
∴ PA = PB ( 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ).
3.垂直平分线的判定：
∵ PA = PB，AD = BD，MN⊥AB，
∴ 点P在MN上 ( 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ).
教师提问：有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？
学生回答，把他们进行折叠，如果左右两边可以完全重合，则说明他们是轴对称的.
教师追问：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
学生独立思考，回答：因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
师：如何画一条线段的垂直平分线呢？（引出课题）这节课，我们将学习线段的垂直平分线的画法.
设计意图：复习回顾可以进一步巩固线段的垂直平分线的有关概念.同时抛出问题，确定作图，为新课内容做铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.如图 ，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
教师通过微课演示作图过程，并用文字在进行叙述.
1.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
2.作直线CD.
CD就是所求作的直线.
教师以问题串的形式引导学生思考：
1.为什么要以大于AB的长为半径作弧？
2.为什么要取两个交点？一个交点行不行？
3.为什么说直线CD就是所求作的垂线？
（答案）1.如果作弧的半径小于AB ，就不能得到交点.
2.不行，因为两点确定一条直线.
3.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
教师指出：因为直线CD是线段AB的垂直平分线，所以它们的交点也是线段AB的中点，因此，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
2.如图是一个轴对称图形，你能作出这个五角星的对称轴吗？
教师引导学生思考，五角星有多少条对称轴？有哪些特殊点？它们的对称点是什么？随后启发学生： 对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
作法：
1.找出它的一对对应点A和A′，连接AA′；
2.作线段AA′的垂直平分线l.
直线l就是这个五角星的一条对称轴.
师生归纳：
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤：
1.找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
2.连接对应点；
3.画出对应点所连线段的垂直平分线.
设计意图：通过作图进一步巩固轴对称的性质，同时展现出轴对称的性质对作图题的作用.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.找出下列图形的所有的对称轴，并画出来（尺规作图，要求保留作图痕迹，不用写作法）．
例2.如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置.
例3.如图，在△ABC中，AB = AC = 20 cm，
（1）作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连BD，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要写作法）
（2）在（1）中作出AB的垂直平分线MN后，若△BCD的周长为35cm，则BC的长为 ．（直接写出答案）
设计意图：通过例题的教学，及时巩固学生对新知识的理解.
【答案】
例1.解：所画轴对称如图所示.
例2. 解：（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是要确定的学校的位置.
例3. 解：（1）如图所示就是所作的图形．
（2）15cm.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2020 青白江区模拟）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
2.下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为 10，AB = 7，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．17 C．14 D．7
4.（2019秋 叙州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C = 32°，则∠BAE的度数为 度．
5.作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
设计意图：本环节为基础练习，由易到难，循序渐进，让学生学会应用新学知识求解问题.
【答案】
1.D 2.D 3.B 4.26.
5. 解：所画轴对称如图所示.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 郴州期末）在线段AB上，分别以点A，B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧分别交于点E、点F，作直线EF与AB交于点C，连结AE，BE，则以下结论不一定成立的是（ ）
A．AC = BC B．AE = BE
C．∠AEC =∠BEC D．△ABE是等边三角形
2.（2020 仙居县模拟）如图，以△ABD的顶点B为圆心，以BD为半径作弧交边AD于点E，分别以点D、点E为圆心，BD长为半径作弧，两弧相交于不同于点B的另一点F，再过点B和点F作直线BF．则作出的直线是（ ）
A．线段AD的垂线但不一定平分线段AD
B．线段AD的垂直平分线
C．∠ABD的平分线
D．△ABD的中线
3.（2019 浉河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（-2，0），C（2，0），过点B作AC的垂直平分线于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，）
C．（，1） D．（1，）
4.（2020 宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A = 22°，则∠BDC =（ ）
A．52° B．55° C．56° D．60°
5.（2019秋 新北区期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）
A．126° B．128° C．130° D．132°
6.在锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
（1）作∠A的平分线交BC于D点．
（2）作AD的中垂线交AC于E点．
（3）连接DE．
根据他画的图形，下列关系正确的是（ ）
A．DE∥AB B．DE⊥AC
C．CD = DE D．CD = BD
7.（2019秋 自贡期末）在△ABC中，∠C = 80°，∠A = 40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是 ．
8.（2019 望花区四模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE = 3 cm，△ABD的周长为 13 cm，则△ABC的周长为 ．
9.（2019秋 密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连结AE．
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE．
10.如图，已知点A、点B以及直线l.
（1）用尺规作图的方法在直线1上求作一点P，使PA = PB.（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的图中，若AM = PN，BN = PM，
求证：∠MAP =∠NPB.
设计意图：通过本环节练习，进一步培养学生的观察能力，提高学生学习的认知水平.
【答案】
D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A
7.20°. 8.19cm.
9. 解：（1）如图所示：
证明：（2）如下图：连接AC，CE，ED，AD，
∵ AC = AD = AB，CE = ED = AB，
∴ AC = CE，AD = DE，
∴ l垂直平分AE．
10.解：（1）如图所示：
证明：（2）在△AMP和△PNB中，
∵ AM = PN，AP = BP，PM = BN，
∴ △ AMP≌△PNB(SSS)，
∴ ∠MAP =∠NPB.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019 雨花区校级模拟）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．
2.如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究直线MN、EF所夹锐角α与∠BOB″的数量关系．
设计意图：本环节的目的在于拓展学生的知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1. 解：如图，点O即为所求．同法，点O′也满足条件.
2. 解：（1）如图所示：
（2）连接OB，OB′，OB′′.
∵ △ABC △A′B′C′关于直线MN对称，
∴ ∠BOM =∠B′OM.
又∵ △A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，
∴ ∠B′OE =∠B″OE.
∴ ∠BOB″ = ∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE
= 2 (∠B′OM+∠B′OE)= 2α.
即∠BOB″ = 2α.
第七环节 【总结反思 知识内化】
本节课我们学习了……
1.尺规作图画线段的垂直平分线.
2.画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
（2）连接对应点；
（3）画出对应点所连线段的垂直平分线.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·13.1.3 线段的垂直平分线的画法·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本节课是在学生学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用.其主要目的在于让学生学会线段的垂直平分线的作法，会做轴对称图形的对称轴，感受初中阶段尺规作图的重要作用.
二、教学目标
1.进一步理解线段垂直平分线的性质，能够确定成轴对称的两个图形的对称轴.
2.掌握线段的垂直平分线的画法．
三、重点难点
【教学重点】
线段的垂直平分线的画法．
【教学难点】
线段的垂直平分线的画法的灵活应用.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师生共同回顾旧知：
1.垂直平分线的定义：
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ MN⊥AB ， AD = BD ；
2.垂直平分线的性质：
∵ AD = BD，MN⊥AB，点P在MN上，
∴ PA = PB ( 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ).
3.垂直平分线的判定：
∵ PA = PB，AD = BD，MN⊥AB，
∴ 点P在MN上 ( 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ).
教师提问：有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？
学生回答，把他们进行折叠，如果左右两边可以完全重合，则说明他们是轴对称的.
教师追问：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
学生独立思考，回答：因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
师：如何画一条线段的垂直平分线呢？（引出课题）这节课，我们将学习线段的垂直平分线的画法.
设计意图：复习回顾可以进一步巩固线段的垂直平分线的有关概念.同时抛出问题，确定作图，为新课内容做铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.如图 ，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
教师通过微课演示作图过程，并用文字在进行叙述.
1.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
2.作直线CD.
CD就是所求作的直线.
教师以问题串的形式引导学生思考：
1.为什么要以大于AB的长为半径作弧？
2.为什么要取两个交点？一个交点行不行？
3.为什么说直线CD就是所求作的垂线？
（答案）1.如果作弧的半径小于AB ，就不能得到交点.
2.不行，因为两点确定一条直线.
3.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
教师指出：因为直线CD是线段AB的垂直平分线，所以它们的交点也是线段AB的中点，因此，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
2.如图是一个轴对称图形，你能作出这个五角星的对称轴吗？
教师引导学生思考，五角星有多少条对称轴？有哪些特殊点？它们的对称点是什么？随后启发学生： 对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
作法：
1.找出它的一对对应点A和A′，连接AA′；
2.作线段AA′的垂直平分线l.
直线l就是这个五角星的一条对称轴.
师生归纳：
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤：
1.找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
2.连接对应点；
3.画出对应点所连线段的垂直平分线.
设计意图：通过作图进一步巩固轴对称的性质，同时展现出轴对称的性质对作图题的作用.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.找出下列图形的所有的对称轴，并画出来（尺规作图，要求保留作图痕迹，不用写作法）．
例2.如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置.
例3.如图，在△ABC中，AB = AC = 20 cm，
（1）作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连BD，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要写作法）
（2）在（1）中作出AB的垂直平分线MN后，若△BCD的周长为35cm，则BC的长为 ．（直接写出答案）
设计意图：通过例题的教学，及时巩固学生对新知识的理解.
【答案】
例1.解：所画轴对称如图所示.
例2. 解：（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是要确定的学校的位置.
例3. 解：（1）如图所示就是所作的图形．
（2）15cm.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2020 青白江区模拟）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
2.下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为 10，AB = 7，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．17 C．14 D．7
4.（2019秋 叙州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C = 32°，则∠BAE的度数为 度．
5.作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
设计意图：本环节为基础练习，由易到难，循序渐进，让学生学会应用新学知识求解问题.
【答案】
1.D 2.D 3.B 4.26.
5. 解：所画轴对称如图所示.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 郴州期末）在线段AB上，分别以点A，B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧分别交于点E、点F，作直线EF与AB交于点C，连结AE，BE，则以下结论不一定成立的是（ ）
A．AC = BC B．AE = BE
C．∠AEC =∠BEC D．△ABE是等边三角形
2.（2020 仙居县模拟）如图，以△ABD的顶点B为圆心，以BD为半径作弧交边AD于点E，分别以点D、点E为圆心，BD长为半径作弧，两弧相交于不同于点B的另一点F，再过点B和点F作直线BF．则作出的直线是（ ）
A．线段AD的垂线但不一定平分线段AD
B．线段AD的垂直平分线
C．∠ABD的平分线
D．△ABD的中线
3.（2019 浉河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（-2，0），C（2，0），过点B作AC的垂直平分线于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，）
C．（，1） D．（1，）
4.（2020 宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A = 22°，则∠BDC =（ ）
A．52° B．55° C．56° D．60°
5.（2019秋 新北区期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）
A．126° B．128° C．130° D．132°
6.在锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
（1）作∠A的平分线交BC于D点．
（2）作AD的中垂线交AC于E点．
（3）连接DE．
根据他画的图形，下列关系正确的是（ ）
A．DE∥AB B．DE⊥AC
C．CD = DE D．CD = BD
7.（2019秋 自贡期末）在△ABC中，∠C = 80°，∠A = 40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是 ．
8.（2019 望花区四模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE = 3 cm，△ABD的周长为 13 cm，则△ABC的周长为 ．
9.（2019秋 密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连结AE．
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE．
10.如图，已知点A、点B以及直线l.
（1）用尺规作图的方法在直线1上求作一点P，使PA = PB.（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的图中，若AM = PN，BN = PM，
求证：∠MAP =∠NPB.
设计意图：通过本环节练习，进一步培养学生的观察能力，提高学生学习的认知水平.
【答案】
D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A
7.20°. 8.19cm.
9. 解：（1）如图所示：
证明：（2）如下图：连接AC，CE，ED，AD，
∵ AC = AD = AB，CE = ED = AB，
∴ AC = CE，AD = DE，
∴ l垂直平分AE．
10.解：（1）如图所示：
证明：（2）在△AMP和△PNB中，
∵ AM = PN，AP = BP，PM = BN，
∴ △ AMP≌△PNB(SSS)，
∴ ∠MAP =∠NPB.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019 雨花区校级模拟）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．
2.如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究直线MN、EF所夹锐角α与∠BOB″的数量关系．
设计意图：本环节的目的在于拓展学生的知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1. 解：如图，点O即为所求．同法，点O′也满足条件.
2. 解：（1）如图所示：
（2）连接OB，OB′，OB′′.
∵ △ABC △A′B′C′关于直线MN对称，
∴ ∠BOM =∠B′OM.
又∵ △A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，
∴ ∠B′OE =∠B″OE.
∴ ∠BOB″ = ∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE
= 2 (∠B′OM+∠B′OE)= 2α.
即∠BOB″ = 2α.
第七环节 【总结反思 知识内化】
本节课我们学习了……
1.尺规作图画线段的垂直平分线.
2.画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
（2）连接对应点；
（3）画出对应点所连线段的垂直平分线.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】