13.3.1 等腰三角形的性质 教案 2023--2024学年人教版七年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形的性质 教案 2023--2024学年人教版七年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 765.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:12:02 | ||
图片预览
文档简介
第十三章 轴对称
·13.3.1等腰三角形的性质·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
等腰三角形的性质是指等腰三角形的边、角之间的特殊的关系.在小学阶段，学生已经学习了等腰三角形的相关概念，并在初中计算学习了轴对称和全等三角形等相关知识，在此基础上，本节课将探究等腰三角形的性质，并对其进行推理论证.
二、教学目标
1.探索并证明等腰三角形的性质．
2.能利用等腰三角形性质证明两个角相等或两条线段相等．
三、重点难点
【教学重点】
探索并证明等腰三角形性质．
【教学难点】
等腰三角形各性质的综合运用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
图片赏析：
师：观察图案中的三角形，它们有什么特征？
学生通过观察后得出，这些三角形都是等腰三角形，随后师生共同复习等腰三角形的有关概念.
有两边相等的三角形是等腰三角形.
相等的两条边称为这个三角形的 腰 ，
另一边叫做 底边 ，
两腰的夹角叫做 顶角 ，
腰和底边的夹角叫做 底角 .
师：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开.（学生动手操作，发现剪出来的三角形是等腰三角形.）
教师追问：这个等腰三角形有什么特点吗？
设计意图：让学生在常见的图形中刻画出等腰三角形，唤起学生对旧知的记忆，同时通过动手操作引入本课课题，激发学生的好奇心和求知欲.
第二环节 【合作交流 探索新知】
探究一：
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
学生通过实际操作完成下表：
通过探究可以发现：等腰三角形的两个底角相等.
师：你能通过严格的逻辑推理证明这个发现吗？（教师引导学生根据结论画出图形，并写出完整的证明过程）
在△ABC中，已知AB = AC，求证：∠B =∠C.
证明：作底边BC的中线AD.
∵
∴ △BAD≌△CAD(SSS).
∴ ∠B =∠C.
师生归纳：
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
符号语言：
在△ABC中，∵ AB = AC，
∴ ∠B =∠C.
教师追问：你还有其他验证方法吗？
学生尝试用多种方法证明性质1，可以作顶角的平分线或底边的高线，然后相互交流.
证法2：作△ABC的平分线AD.
∵
∴ △BAD≌△CAD(SAS).
∴ ∠B =∠C.
证法3：证明：作AD⊥BC于点D.
∵
∴ Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).
∴ ∠B =∠C.
师：由△BAD≌△CAD可以得到什么信息？
生：等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.
师生归纳：
等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.
教师指出，此性质可用于求“已知其中一线，求另外两线”.
填一填：
在△ABC中，
（1）∵ AB = AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，BD = CD ；
（2）∵ AB = AC， BD = CD，
∴ ∠BAD =∠CAD，AD⊥BC ；
（3）∵ AB = AC， AD⊥BC，
∴ ∠BAD =∠CAD，BD = CD .
师：等腰三角形是轴对称图形吗？
学生独立思考，经过探究发现：等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合.
等腰三角形的性质3：
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
设计意图：让学生从等腰三角形开始研究，发现其特殊性，然后在探究过程中反复比较，发现其本质特征，体会由特殊到一般，进一步培养学生抽象概括能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，在△ABC中 ，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求△ABC各角的度数.
例2.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB = AC，AD = AE.求证：BD = CE.
例3.（2019秋 崇川区期末）如图，在△ABC中，∠ACB = 110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD = BC，AE = AC．
（1）若∠A = 30°，求∠DCE的度数；
（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．
设计意图：通过例题的教学，让学生感受逻辑推理与方程思想等方法在求解等腰三角形的问题中的重要性，进一步巩固学生对等腰三角形的性质的理解.
【答案】
例1.解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD（等边对等角）
设∠A = x，则∠BDC = ∠A+∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x，
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C = x+2x+2x = 180°，
解得x = 36°，
所以在△ABC中，∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°.
例2.证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵ AB = AC，
∴ BF = CF，
∵ AD = AE，
∴ DF = EF，
∴ BF-DF = CF-EF，
∴ BD = CE.
例3.解：（1）设∠DCE = x，∠ACD = y，
则∠ACE = x+y，∠BCE = 110°-∠ACE = 110°-x-y．
∵ AE = AC，
∴ ∠ACE = ∠AEC = x+y，
∵ BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠BCD = ∠BCE+∠DCE = 110°-x-y+x = 110°-y．
在△DCE中，∵ ∠DCE+∠CDE+∠DEC = 180°，
∴ x+(110°-y)+(x+y)= 180°，
解得x = 35°，
∴ ∠DCE = 35°；
（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 确山县期末）△ABC中，AB = AC，D为BC边的中点，∠BAD = 35°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．55° C．65° D．35°
2.（2019秋 永州期末）如图，在△ABC中，AB = AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥BC B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD D．∠ABD =∠DBE
3.（2020 蜀山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB = AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠BAC = 32°，求∠E的度数为（ ）
A．48° B．42° C．37° D．32°
4.（2020 青白江区模拟）如图，已知∠AOB = 72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD = CD．则∠OCD等于 °．
5.（2019秋 海珠区期末）在△ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC交BC于D，S△ABC = 12，AD = 4，则BC = ．
设计意图：通过简单的练习让学生对本课应用有一定了解，巩固学生基础.
【答案】
1.B 2.D 3.C 4.36. 5.6.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020 呼伦贝尔）如图，AB = AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C = 65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
2.（2019 宁夏）如图，在△ABC中AC = BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD = AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C = 40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
3.（2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC = CD = DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE = 75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
4.（2020春 泰山区期末）如图所示，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A = 50°，AB+BC = 16 cm，则△BCF的周长和∠E分别等于（ ）
A．16 cm，25° B．8 cm，30°
C．16 cm，40° D．8 cm，25°
5.（2020 南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A = 36°，AB = AC = a，BC = b，则CD = ．
6.（2019 白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A = 80°，则它的特征值k = ．
7.（2020 绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC = 124°，∠CDE = 72°，则∠ACD = （ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
8.（2020春 高州市期末）如图，已知AB = A1B1，A1C = A1A2，A2D = A2A3，A3E = A3A4，…，以此类推，若∠B = 20°，则∠A4 = ．
9.（2020秋 宝安区校级月考）如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
10.（2020春 沈河区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD = AB，过B点作BE∥AC，且BE = CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB = 70°，求∠ABE的度数．
设计意图：通过本环节练习，进一步培养学生综合运用等腰三角形、三角形内角和等知识解决问题的能力，同时引导学生将与角有关的知识系统化，优化学生知识结构.
【答案】
1.D 2.C 3.D 4.A 5.a-b 6.或. 7.C 8.10°.
9.解：PE+PF = BH．理由如下：
连接AP．
∵ AB = AC，
∴ S△ABC = S△ABP+S△ACP =AB×PE+AC×PF =AC×(PE+PF)，
∵ S△ABC =AC×BH，
∴ PE+PF = BH．
10.解：（1）∵ BE∥AC，∴ ∠E = ∠DCO，
在△BOE和△DOC中，
∴ △BOE≌△DOC(AAS)，
∴ BO = OD，
∵ AB = AD，
∴ AO平分∠BAC；
（2）∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 70°，
∴ ∠BAD = 180°-70°-70° = 40°，
∵ BE∥AC，
∴ ∠ABE = ∠BAD = 40°．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 越城区期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：
变式1：等腰三角形ABC中，∠A=100°，求∠B的度数．
变式2：等腰三角形ABC中，∠A=45°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上两道变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A = x°，当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围．
2.（2020 绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA = BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA = EC．若∠BAE = 90°，∠B = 45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC = 45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B = 45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B = 45°”去掉，再将 “∠BAE = 90°”改为“∠BAE = n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
设计意图：本环节是有梯度的综合体，考察学生多方面知识，目的在于锻炼学生逻辑思维，开拓学生解题思路.
【答案】
1.解：（1）变式1：∵ ∠A = 100°，
∴ ∠A只能为△ABC的顶角，
∵ △ABC为等腰三角形，
∴ ∠B = ∠C = ×(180°-100°) = 40°；
变式 2：若∠A为顶角，则∠B = (180°-∠A)÷2 = 67.5°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B = 180°-2×45° = 90°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B = 45°；
故∠B = 67.5°或90°或45°；
（2）分两种情况：
①当 90≤x＜180 时， ∠A只能为顶角，
∴ ∠B的度数只有一个；
②当 0＜x＜90 时，当x = 60 时，等腰三角形ABC是等边三角形，
∴ ∠B的度数只有一个，
∴ 当∠B只有一个度数时，x的取值范围为90≤x＜180 或 60．
2.解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵ EA = EC，
∴ ∠AED = 2∠C，①
∵ ∠BAE = 90°，
∴ ∠BAD =[180°-(90°-2∠C)] = 45°+∠C，
∴ ∠DAE = 90°-∠BAD = 90°-(45°+∠C) = 45°-∠C，②
由①，②得，∠DAC = ∠DAE+∠CAE = 45°；
（2）设∠ABC = m°，
则∠BAD =(180°-m°) = 90°-m°，∠AEB = 180°-n°-m°，
∴ ∠DAE = n°-∠BAD = n°-90°+m°，
∵ EA = EC，
∴ ∠CAE =∠AEB = 90°-n°-m°，
∴ ∠DAC = ∠DAE+∠CAE = n°-90°+m°+90°-n°-m°= n°．
第七环节 【总结反思 知识内化】
1.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”).
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”).
性质 3：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
2.在含有三角形的几何图形中，要证明两条线段相等：
情况1：两条线段在同一个三角形中，通常利用等腰三角形的性质来证明两条线段相等.
情况2：两条线段不在同一个三角形中，而这条先算又恰好在两个恰似全等的三角形中，可以考虑证明两个三角形全等来证出两条线段相等.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·13.3.1等腰三角形的性质·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
等腰三角形的性质是指等腰三角形的边、角之间的特殊的关系.在小学阶段，学生已经学习了等腰三角形的相关概念，并在初中计算学习了轴对称和全等三角形等相关知识，在此基础上，本节课将探究等腰三角形的性质，并对其进行推理论证.
二、教学目标
1.探索并证明等腰三角形的性质．
2.能利用等腰三角形性质证明两个角相等或两条线段相等．
三、重点难点
【教学重点】
探索并证明等腰三角形性质．
【教学难点】
等腰三角形各性质的综合运用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
图片赏析：
师：观察图案中的三角形，它们有什么特征？
学生通过观察后得出，这些三角形都是等腰三角形，随后师生共同复习等腰三角形的有关概念.
有两边相等的三角形是等腰三角形.
相等的两条边称为这个三角形的 腰 ，
另一边叫做 底边 ，
两腰的夹角叫做 顶角 ，
腰和底边的夹角叫做 底角 .
师：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开.（学生动手操作，发现剪出来的三角形是等腰三角形.）
教师追问：这个等腰三角形有什么特点吗？
设计意图：让学生在常见的图形中刻画出等腰三角形，唤起学生对旧知的记忆，同时通过动手操作引入本课课题，激发学生的好奇心和求知欲.
第二环节 【合作交流 探索新知】
探究一：
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
学生通过实际操作完成下表：
通过探究可以发现：等腰三角形的两个底角相等.
师：你能通过严格的逻辑推理证明这个发现吗？（教师引导学生根据结论画出图形，并写出完整的证明过程）
在△ABC中，已知AB = AC，求证：∠B =∠C.
证明：作底边BC的中线AD.
∵
∴ △BAD≌△CAD(SSS).
∴ ∠B =∠C.
师生归纳：
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
符号语言：
在△ABC中，∵ AB = AC，
∴ ∠B =∠C.
教师追问：你还有其他验证方法吗？
学生尝试用多种方法证明性质1，可以作顶角的平分线或底边的高线，然后相互交流.
证法2：作△ABC的平分线AD.
∵
∴ △BAD≌△CAD(SAS).
∴ ∠B =∠C.
证法3：证明：作AD⊥BC于点D.
∵
∴ Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).
∴ ∠B =∠C.
师：由△BAD≌△CAD可以得到什么信息？
生：等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.
师生归纳：
等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.
教师指出，此性质可用于求“已知其中一线，求另外两线”.
填一填：
在△ABC中，
（1）∵ AB = AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，BD = CD ；
（2）∵ AB = AC， BD = CD，
∴ ∠BAD =∠CAD，AD⊥BC ；
（3）∵ AB = AC， AD⊥BC，
∴ ∠BAD =∠CAD，BD = CD .
师：等腰三角形是轴对称图形吗？
学生独立思考，经过探究发现：等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合.
等腰三角形的性质3：
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
设计意图：让学生从等腰三角形开始研究，发现其特殊性，然后在探究过程中反复比较，发现其本质特征，体会由特殊到一般，进一步培养学生抽象概括能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，在△ABC中 ，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求△ABC各角的度数.
例2.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB = AC，AD = AE.求证：BD = CE.
例3.（2019秋 崇川区期末）如图，在△ABC中，∠ACB = 110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD = BC，AE = AC．
（1）若∠A = 30°，求∠DCE的度数；
（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．
设计意图：通过例题的教学，让学生感受逻辑推理与方程思想等方法在求解等腰三角形的问题中的重要性，进一步巩固学生对等腰三角形的性质的理解.
【答案】
例1.解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD（等边对等角）
设∠A = x，则∠BDC = ∠A+∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x，
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C = x+2x+2x = 180°，
解得x = 36°，
所以在△ABC中，∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°.
例2.证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵ AB = AC，
∴ BF = CF，
∵ AD = AE，
∴ DF = EF，
∴ BF-DF = CF-EF，
∴ BD = CE.
例3.解：（1）设∠DCE = x，∠ACD = y，
则∠ACE = x+y，∠BCE = 110°-∠ACE = 110°-x-y．
∵ AE = AC，
∴ ∠ACE = ∠AEC = x+y，
∵ BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠BCD = ∠BCE+∠DCE = 110°-x-y+x = 110°-y．
在△DCE中，∵ ∠DCE+∠CDE+∠DEC = 180°，
∴ x+(110°-y)+(x+y)= 180°，
解得x = 35°，
∴ ∠DCE = 35°；
（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 确山县期末）△ABC中，AB = AC，D为BC边的中点，∠BAD = 35°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．55° C．65° D．35°
2.（2019秋 永州期末）如图，在△ABC中，AB = AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥BC B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD D．∠ABD =∠DBE
3.（2020 蜀山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB = AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠BAC = 32°，求∠E的度数为（ ）
A．48° B．42° C．37° D．32°
4.（2020 青白江区模拟）如图，已知∠AOB = 72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD = CD．则∠OCD等于 °．
5.（2019秋 海珠区期末）在△ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC交BC于D，S△ABC = 12，AD = 4，则BC = ．
设计意图：通过简单的练习让学生对本课应用有一定了解，巩固学生基础.
【答案】
1.B 2.D 3.C 4.36. 5.6.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020 呼伦贝尔）如图，AB = AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C = 65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
2.（2019 宁夏）如图，在△ABC中AC = BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD = AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C = 40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
3.（2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC = CD = DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE = 75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
4.（2020春 泰山区期末）如图所示，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A = 50°，AB+BC = 16 cm，则△BCF的周长和∠E分别等于（ ）
A．16 cm，25° B．8 cm，30°
C．16 cm，40° D．8 cm，25°
5.（2020 南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A = 36°，AB = AC = a，BC = b，则CD = ．
6.（2019 白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A = 80°，则它的特征值k = ．
7.（2020 绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC = 124°，∠CDE = 72°，则∠ACD = （ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
8.（2020春 高州市期末）如图，已知AB = A1B1，A1C = A1A2，A2D = A2A3，A3E = A3A4，…，以此类推，若∠B = 20°，则∠A4 = ．
9.（2020秋 宝安区校级月考）如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
10.（2020春 沈河区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD = AB，过B点作BE∥AC，且BE = CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB = 70°，求∠ABE的度数．
设计意图：通过本环节练习，进一步培养学生综合运用等腰三角形、三角形内角和等知识解决问题的能力，同时引导学生将与角有关的知识系统化，优化学生知识结构.
【答案】
1.D 2.C 3.D 4.A 5.a-b 6.或. 7.C 8.10°.
9.解：PE+PF = BH．理由如下：
连接AP．
∵ AB = AC，
∴ S△ABC = S△ABP+S△ACP =AB×PE+AC×PF =AC×(PE+PF)，
∵ S△ABC =AC×BH，
∴ PE+PF = BH．
10.解：（1）∵ BE∥AC，∴ ∠E = ∠DCO，
在△BOE和△DOC中，
∴ △BOE≌△DOC(AAS)，
∴ BO = OD，
∵ AB = AD，
∴ AO平分∠BAC；
（2）∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 70°，
∴ ∠BAD = 180°-70°-70° = 40°，
∵ BE∥AC，
∴ ∠ABE = ∠BAD = 40°．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 越城区期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：
变式1：等腰三角形ABC中，∠A=100°，求∠B的度数．
变式2：等腰三角形ABC中，∠A=45°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上两道变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A = x°，当∠B只有一个度数时，请你探索x的取值范围．
2.（2020 绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA = BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA = EC．若∠BAE = 90°，∠B = 45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC = 45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B = 45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B = 45°”去掉，再将 “∠BAE = 90°”改为“∠BAE = n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
设计意图：本环节是有梯度的综合体，考察学生多方面知识，目的在于锻炼学生逻辑思维，开拓学生解题思路.
【答案】
1.解：（1）变式1：∵ ∠A = 100°，
∴ ∠A只能为△ABC的顶角，
∵ △ABC为等腰三角形，
∴ ∠B = ∠C = ×(180°-100°) = 40°；
变式 2：若∠A为顶角，则∠B = (180°-∠A)÷2 = 67.5°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B = 180°-2×45° = 90°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B = 45°；
故∠B = 67.5°或90°或45°；
（2）分两种情况：
①当 90≤x＜180 时， ∠A只能为顶角，
∴ ∠B的度数只有一个；
②当 0＜x＜90 时，当x = 60 时，等腰三角形ABC是等边三角形，
∴ ∠B的度数只有一个，
∴ 当∠B只有一个度数时，x的取值范围为90≤x＜180 或 60．
2.解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵ EA = EC，
∴ ∠AED = 2∠C，①
∵ ∠BAE = 90°，
∴ ∠BAD =[180°-(90°-2∠C)] = 45°+∠C，
∴ ∠DAE = 90°-∠BAD = 90°-(45°+∠C) = 45°-∠C，②
由①，②得，∠DAC = ∠DAE+∠CAE = 45°；
（2）设∠ABC = m°，
则∠BAD =(180°-m°) = 90°-m°，∠AEB = 180°-n°-m°，
∴ ∠DAE = n°-∠BAD = n°-90°+m°，
∵ EA = EC，
∴ ∠CAE =∠AEB = 90°-n°-m°，
∴ ∠DAC = ∠DAE+∠CAE = n°-90°+m°+90°-n°-m°= n°．
第七环节 【总结反思 知识内化】
1.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”).
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”).
性质 3：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
2.在含有三角形的几何图形中，要证明两条线段相等：
情况1：两条线段在同一个三角形中，通常利用等腰三角形的性质来证明两条线段相等.
情况2：两条线段不在同一个三角形中，而这条先算又恰好在两个恰似全等的三角形中，可以考虑证明两个三角形全等来证出两条线段相等.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】