12.3.1角的平分线的性质 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形
·12.3角平分线的性质·
第一课时 角平分线的性质
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本节内容是全等三角形知识的运用和延续，在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的.本课主要讲解角的平分线的性质，为学生学习证明线段相等开辟新的思路，为今后学习圆的内心等知识做铺垫.
二、教学目标
1.会用尺规作已知角的平分线.
2.能证明角的平分线的性质.
3.能用角的平分线的性质进行推理论证.
三、重点难点
【教学重点】
角的平分线的性质的证明及运用.
【教学难点】
运用角的平分线的性质解决相关问题.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 巩固基础】
师：什么是角的平分线？
从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
师：什么是点到直线的距离？
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，OP的长度为点P到直线AB的距离.
设计意图：通过提出问题，学生对问题进行思考，回顾已学知识，进而较小新课的学习难度.
第二环节 【创设情境 引入新课】
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
学生自主探究，用量角器测量，或将纸对折.
教师追问：量角器侧脸存在误差，但是如果把纸片换为木板，像这样没法折的角，该怎么办呢？
学生独立思考，教师揭示课题，今天我们来学习角的平分线的性质.
设计意图：通过情境问题，引发学生思考，提高学习的积极性.
第三环节 【合作交流 探索新知】
探究1：
如图，是一个平分角的仪器，其中AB = AD，BC = DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
教师启发学生将实际问题抽象成数学模型，斌运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理.
证明：在△ACD和△ACB中，
∴ △ACD≌△ACB(SSS).
∴ ∠DAC =∠BAC.
∴ AC平分∠DAB(角平分线的定义).
教师追问：通过刚才的分角仪，你能想到怎样画一个角的平分线吗？
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线
（仅用尺规作图）.
师生活动：学生在练习本上画出∠AOB，自行尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线，教师结合PPT展示作图，师生归纳具体方法.
1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
3.画射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线.
教师提问：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？（引导学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据.）
探究2：
在刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你有什么发现？
学生通过测量得到：PD = PE.
教师让学生在OC上再取多几个点试一试，通过动手操作，观察比较，学生猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
首先教师引导学生分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成：“如果...那么...”的形式，然后逐步引导学生进行推理论证.
求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
∴ PD = PE.
师生共同概括证明一个几何命题的步骤：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号标志已知和求证；
3.经过分析，找到由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
最后，师生共同归纳角平分线的性质定理.
1.内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意：（1）角的平分线；（2）点在平分线上；（3）垂直距离.
2.符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE.
设计意图：充分发挥学生主体作用，激发学生独立自主学习，积极思考问题，参加课堂的探究，培养学生主动探究的精神.
第四环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
例2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB = FC.
例3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生对角的平分线的性质及其应用有深刻的认知，能利用新课知识解决问题.
【答案】
例1.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
例2.证明：∵ AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED =∠CFD = 90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴ EB = FC.
例3.证明：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠BAD =∠CAD，
又 ∵PE∥AB，PF∥AC，
∴ ∠EPD =∠BAD，∠FPD =∠CAD，
∴ ∠EPD =∠FPD，
即 DP平分∠EPF，
∴ 点D到PE和PF的距离相等.
第五环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019春 兴宾区期中）如图，∠BOP =∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A．PD = PE B．OD = OE
C．∠DPO =∠EPO D．PD = OD
2.（2019秋 衡水期中）如图，∠B =∠D = 90゜，根据角平分线性质填空：
（1）若∠1 =∠2，则 = ．
（2）若∠3 =∠4，则 = ．
3.（2019秋 宁德期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA = 2，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，BC = 8 cm，BD = 5 cm，求点D到直线AB的距离.
5.（2020春 南岗区校级期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为 21 cm2，AB = 8 cm，AC = 6 cm，则DE的长为　 　cm．
设计意图：本环节主要考察学生对角的平分线的性质的理解情况及运用角平分线的性质解决简单实际问题的能力.
【答案】
D
2.BC，CD，AB，CD
3.B
4.解：过点D作DE⊥AB于点E，
因为∠C = 90°，AD平分∠CAB,
所以DE = CD.
BC = 8 cm，BD = 5 cm,所以DE = CD = 8 5 = 3(cm).
所以点D到直线AB的距离是 3 cm.
5.3
第六环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 勃利县期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B =（　　）
A．40° B．30° C．25° D．22.5°
2.（2019秋 淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP = 5，若点Q是射线OB上一点，OQ = 4，则△ODQ的面积是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．20
3.（2019秋 无棣县期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是 60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3
C．3：7：4 D．6：7：8
4.（2019 湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD = 90°，BD平分∠ABC，AB = 6，BC = 9，CD = 4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24 B．30 C．36 D．42
5.（2019秋 三台县期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD = ED；②AC+BE = AB；③∠BDE =∠BAC；④BE = DE；⑤S△BDE：S△ACD = BD：AC，其中正确的个数为（　　）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
6.（2019秋 牡丹江期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC = 6，PE = 4，S△ABC = 8，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
7.（2019 西宁二模）如图，AB∥CD，BP和DP分别平分∠ABD和∠CDB，EF过点P与AB垂直于点E，交CD于点F，若EF = 8，则点P到BD的距离是　 　．
8.（2019秋 新洲区期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA = 2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大 1，则△ABC的面积是　 　.
9.（2019秋 前郭县校级期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB+BC+AC = 20，过O作OD⊥BC于D点，且OD = 3，求△ABC的面积．
10.（2019春 青羊区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE = CE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A = 90°，S△BCD = 26，BC = 13，求AD．
设计意图：通过系统的练习，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力.
【答案】
B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B
7.4 8.10
9.解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA．
∵ 点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴ OE = OD，OF = OD，
即OE = OF = OD = 3，
∴ S△ABC = S△ABO+S△BCO+S△ACO
= AB OE+BC OD+AC OF
= ×3×(AB+BC+AC)
= ×3×20 = 30．
10.解：（1）∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ECD =∠BCD，
又∵ DE = CE，
∴ ∠ECD =∠EDC，
∴ ∠BCD =∠CDE，
∴ DE∥BC；
（2）如图，过D作DF⊥BC于F，
∵ ∠A = 90°，CD平分∠ACB，
∴ AD = FD，
∵ S△BCD = 26，BC = 13，
∴ ×13×DF = 26，
∴ DF = 4，
∴ AD = 4．
第七环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE = CF的理由；
（2）如果AB = 5，AC = 3，求AE、BE的长．
2.如图，已知∠1 =∠2，P为BN上的一点，且PD⊥BC于D，AB+BC = 2BD，求证：∠BAP+∠BCP = 180°．
设计意图：通过有梯度的训练，提高学生综合运用条件推理的能力.
【答案】
1.解：（1）连接BD，CD，
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED =∠CFD = 90°，
∵ DG⊥BC且平分BC，
∴ BD = CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∴ Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴ BE = CF；
（2）在△AED和△AFD中，
∴ △AED≌△AFD(AAS)，
∴ AE = AF，
设BE = x，则CF = x，
∵ AB = 5，AC = 3，AE = AB-BE，AF = AC+CF，
∴ 5-x = 3+x，
解得：x = 1，
∴ BE = 1，AE = AB-BE = 5-1 = 4．
2.解：过点P作PE⊥AB于E，
∵ ∠1 =∠2，PD⊥BC，
∴ PD = PE，
在Rt△BPE和Rt△BPD中，
∴ Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，
∴ BE = BD，
∵ AB+BC = 2BD，
∴ BE-AE+BD+CD = 2BD，
∴ AE = CD，
在△APE和△CPD中，
∴ △APE≌△CPD(SAS)，
∴ ∠BCP =∠PAE，
∵ ∠BAP+∠PAE = 180°，
∴ ∠BAP+∠BCP = 180°．
第八环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
◆ 这节课我们学习了哪些知识？
1.“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
3.符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE.
设计意图：使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第九环节 【布置作业 夯实基础】