13.3.3等边三角形 教案 2023--2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称
·13.3.3等边三角形·
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本课主要讲解等边三角形的性质定理和判定定理以及判定定理的推理论证和初步应用，是在学生学习了轴对称图形和等腰三角形的有关知识后进行学习的，体现了由一般到特殊的数学思想.
二、教学目标
1.探索并掌握等边三角形的性质与判定.
2.能运用等边三角形的性质与判定进行证明与计算.
三、重点难点
【教学重点】
等边三角形的性质与判定及其应用.
【教学难点】
等边三角形的性质与判定的综合应用.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师：等腰三角形有哪些性质？
学生踊跃发言：
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）.
3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
师：等腰三角形有哪些判定方法？
1.有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（判定定理）.
师：观察下列图片中的三角形，它们都有什么共同特征呢？
生：它们三边都相等.
师：三边都相等的三角形是等边三角形.
通过对比可以发现，当等腰三角形的腰与底边相等时，就可以得到等边三角形，因此等边三角形是腰和底边相等的特殊的等腰三角形.
师：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
设计意图：通过复习等腰三角形的有关知识，唤起学生记忆，为探究等边三角形的问题埋下铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
利用等腰三角形的性质，学生得到等边三角形的性质1：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言：
在△ABC中，∵ AB = AC = BC，
∴ ∠A =∠B =∠C.
教师提问：等边三角形是轴对称图形吗？学生回答是，教师追问，等边三角形有多少条对称轴呢？
学生小组内讨论，相互交流，类比等腰三角形的性质，试着用文字表述（教师适当补充）.
等边三角形的性质2：
等边三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴，并且这样的对称轴有3条.
师生归纳等边三角形的性质：
1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°.
2.等边三角形是轴对称图形，并且有 3 条对称轴.
教师提问：一个三角形的内角满足什么条件才是等边三角形？
学生猜想，等边三角形的三个角都相等，反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形.
教师启发学生对其猜想进行验证，为培养学生规范书写求证命题的过程，教师引导学生写出已知，求证，并加以论证.
在△ABC中，已知∠A =∠B =∠C，求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC(等角对等边)．
同理AB = BC ，
∴ AB = AC = BC.
等边三角形的判定 1：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC中，∵ ∠A =∠B =∠C，
∴ △ABC是等边三角形.
师：等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形满足什么条件时是等边三角形呢？
师生共同探究，猜想：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
教师引导学生类比前面的证明过程，尝试独立进行论证，教师适当补充.
在△ABC中，已知AB = AC， ∠B = 60°，求证： AB = AC = BC.
证明：∵ AB = AC，∠B = 60°，
∴ ∠C =∠B = 60°．
∴ ∠A = 180°-∠B -∠C = 60°．
∴ ∠A =∠B =∠C = 60°．
∴ AB = AC = BC．
师：请自己证出底角为 60°的等腰三角形是等边三角形，并与同伴交流.
学生组内交流，讨论.
等边三角形的判定 2：
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC中，∵ AB = AC，∠A = 60° (或∠B = 60°或∠C = 60°)，
∴ △ABC是等边三角形.
师生归纳：等边三角形的判定
1.等边三角形的定义.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳得出等边三角形的性质定理和判定定理，在探究过程中可以养成良好的论证几何命题的习惯，培养学生自学能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
例2.如图，在△ABC中，∠C =∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形.若AD = 4，求BE的长.
例3.（2019秋 辛集市期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
设计意图：通过例题的教学，培养学生的逻辑思维，提高对新学知识活学活用的能力.
【答案】
例1.证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例2.解：∵ △BDE是等边三角形，
∴ ∠BDE =∠BED = 60°，BE = DE.
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB = 90°，
∴ ∠AED = 30°.
∵ ∠A =∠BDE-∠AED，
∴ ∠A =∠AED = 30°，
∴ DE = AD = 4，
∴ BE = 4.
例3.解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10 = 2x，解得：x = 10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图，
AM = t×1 = t，AN = AB-BN = 10-2t，
∵ 三角形△AMN是等边三角形，
∴ t = 10-2t，解得t = ，
∴ 点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知 10 秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴ AN = AM，
∴ ∠AMN =∠ANM，∴ ∠AMC =∠ANB，
∵ AB = BC = AC，
∴ △ACB是等边三角形，∴ ∠C =∠B，
在△ACM和△ABN中 ，
∴ △ACM≌△ABN（AAS），∴ CM = BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴ CM = y-10，NB = 30-2y，CM = NB，y-10 = 30-2y，
解得：y = ．故假设成立．
∴ 当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为 秒．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.已知等腰三角形的一边长为 6，一个内角为 60°，则它的周长是（　　）
A．12 B．15 C．18 D．20
2.（2020春 扶风县期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD = CE，∠1 = 15°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3.（2019秋 宜兴市期中）如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD = BE = CF．则△DEF的形状是　 　．
4.（2019秋 孝南区期末）如图，AD是等边△ABC的中线，E是AC上一点，且AD = AE，则∠EDC = 　 　°．
5.（2019 思明区校级模拟）如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：
（1）∠PBC = 15°；（2）AD∥BC；（3）直线PC与AB垂直；（4）四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
设计意图：新知巩固，观察学生对知识的掌握情况，是否能运用知识求解简单习题.
【答案】
1.C 2.D 3.等边三角形. 4.15. 5.D
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 永城市期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2 = 120°，则∠3 的度数为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2.（2020春 西湖区期末）如图，将边长为 5 cm 的等边三角形ABC沿边BC向右平移 3 cm，得到△DEF，则四边形ADFB的周长为（　　）cm．
A．20 B．21 C．22 D．23
3.（2019 杭州模拟）如图，△ABC中，AB = AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（　　）
A． β = B．α =
C． β = D．α =
4.（2020 浙江自主招生）如图，在等边△ABC中，BD = 2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（　　）
A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP
C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP
5.（2019秋 太仆寺旗期末）小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆OA = OB = 18 cm，若衣架收拢时，∠AOB = 60°，则A、B的距离为　 　cm．
6.（2020 贵州三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG = CD，DF = DE，则∠E = 　 　度．
7.（2019秋 长清区期末）如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF = 　 　．
8.（2020春 朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠A = 120°，AB = AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
9.（2019秋 南岗区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE = BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．
（1）求证：CE = CF；
（2）若BD =CE，AB = 9，求线段DF的长．
10.（2019秋 永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF = 60°．
（1）如图 1，若∠1 = 50°，求∠2；
（2）如图 2，连接DF，若∠1 =∠3，求证：DF∥BC．
设计意图：通过本环节练习，培养学生正确应用所学的知识的应用能力，发展学生合情推理能力，突出本课重点.
【答案】
1.B 2.B 3.B 4.A 5.18. 6.15. 7.120°.
8.证明：∵ ∠A = 120°，AB = AC，
∴ ∠B =∠C = 30°，
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED =∠CFD = 90°，
∴ ∠BDE =∠CDF = 60°，
∴ ∠EDF = 60°，
∵ D是BC的中点，∴ BD = CD，、
在△BDE与△CDF中，
，
∴ △BDE≌△CDF，
∴ DE = DF，
∴ △DEF是等边三角形．
9.证明：（1）∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC = BC，∠BAC =∠ABC =∠ACB = 60°，
∵ AE = BD，
∴ AC-AE = BC-BD，
∴ CE = CD，且∠ACB = 60°，
∴ △CDE是等边三角形.
∴ ∠ECD = ∠DEC = 60°.
∵ EF⊥DE，
∴ ∠DEF = 90°，
∴ ∠CEF = 30°.
∵ ∠DCE =∠CEF+∠CFE = 60°，
∴ ∠CEF = ∠CFE = 30°，
∴ CE = CF.
（2）∵ BD =CE，CE = CD，∴ BD =CD，
∵ AB = 9，
∴ BD = 3，CD = 6，
∵ CE = CF = CD，
∴ CF = 6.
∴ DF = DC+CF = 12.
10.解：（1）∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B =∠A =∠C = 60°，
∵ ∠B+∠1+∠DEB = 180°，
∠DEB+∠DEF+∠2 = 180°，
∵ ∠DEF = 60°，
∴ ∠1+∠DEB =∠2+∠DEB，
∴ ∠2 =∠1 = 50°；
（2）∵ ∠B+∠1+∠DEB = 180°，
∠FDE+∠3+∠DEF = 180°，
又∵ ∠B = 60°，∠DEF = 60°，∠1 =∠3，
∴ ∠FDE =∠DEB，
∴ DF∥BC．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 中原区校级期末）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．
（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3 = 0，求证：h1+h2+h3 = h；
（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
2.（2019春 垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD = DE．
（1）如图 1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图 2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
设计意图：本环节在于拓展学生知识面，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.解：（1）如图①，连接AP，则 S△ABC = S△ABP+S△APC，
∴ BC AM =AB PD+AC PF，
即 BC h =AB h1+AC h2.
又∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AB = AC，
∴ h = h1+h2；
（2）点P在△ABC内时，h = h1+h2+h3，理由如下：
如图②，连接AP、BP、CP，则 S△ABC = S△ABP+S△BPC+S△ACP，
∴ BC AM =AB PD+AC PE+BC PF ，
即 BC h =AB h1+AC h2+BC h3.
又∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AB = AC，
∴ h = h1+h2+h3；
点P在△ABC外时，h = h1+h2-h3，理由如下：
如图③，连接PB、PC、PA，
由三角形的面积公式得：S△ABC = S△ABP+S△ACP-S△BCP，
∴ BC AM =AB PD+AC PE-BC PF ，
∵ AB = BC = AC，
∴ h1+h2-h3 = h.
2.解：（1）AD = CE，
证明：如图 1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵ △ABC是等边三角形，∴ △APD也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD，∠APD =∠ABC =∠ACB =∠PDC = 60°，
∵ DB = DE，∴ ∠DBC =∠DEC，
∵ DP∥BC，∴ ∠PDB =∠CBD，∴ ∠PDB =∠DEC，
又∠BPD =∠A+∠ADP = 120°，∠DCE =∠A+∠ABC = 120°，
即∠BPD =∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB = ∠DEC，∠BPD =∠DCE，DB = DE，
∴ △BPD≌△DCE，
∴ PD = CE，∴ AD = CE；
（2）如图，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵ △ABC是等边三角形，∴ △APD也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD，∠APD =∠ABC =∠ACB =∠PDC = 60°，
∵ DB = DE，∴ ∠DBC =∠DEC，
∵ DP∥BC，∴ ∠PDB =∠CBD，∴ ∠PDB =∠DEC，
在△BPD和△DCE中，，
∴ △BPD≌△DCE，
∴ PD = CE，∴ AD = CE.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
一、等边三角形的性质：
1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°.
2.等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴.
二、等边三角形的判定方法：
1.等边三角形的定义.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，突出重点.
第八环节 【布置作业 夯实基础】