12.2.4直角三角形全等的判定（HL） 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 12.2.4直角三角形全等的判定（HL） 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 770.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:13:24 | ||
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文档简介
第十二章 全等三角形
·12.2三角形全等的判定·
第四课时
直角三角形全等的判定（HL）
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生已学习了证明一般三角形全等的方法，具有用尺规完成作图的能力及推理论证的能力，因此可以由一般到特殊，开展探究直角三角形全等的判定方法，学会用直角三角形解决实际问题.
二、教学目标
1．经历探索判定直角三角形全等的条件（HL）的过程，能运用HL证明两个直角三角形全等．
2．能根据不同的条件选择合适的判定方法证明三角形全等.
三、重点难点
【教学重点】
理解直角三角形全等的条件.
【教学难点】
灵活运用“斜边、直角边” 证明两个三角形全等.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 巩固基础】
判定两个三角形全等的方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS .
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
（1）若AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 SSS （用简写法）.
若AB = DE，BC = EF，则△ABC与△DEF
全等 （填“全等”或“不全等”），根据 SAS （用简写法）.
（3）若AB = DE，∠A =∠D，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 ASA （用简写法）.
（4）若BC = EF，∠A =∠D，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 AAS （用简写法）.
设计意图：全等三角形的判定是本章重点，通过复习回顾，巩固学生基础，减小新课学习难度.
第二环节 【创设情境 引入新课】
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员需要知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
师：你有什么办法吗？
学生独立思考，提出用SAS、ASA、AAS的方法可以证明.
国国拿着卷尺测量了两个三角形没有被遮住直角边和斜边，发现它们对应相等.于是国国判定这两个直角三角形全等，国国的结论正确吗？为什么呢？
引发学生思考，揭示课题——今天我们来学习直角三角形的判定.
设计意图：通过情境问题，提高学生学习的积极性、主动性，激发学生的好奇心，感受数学来源于生活，提高学习兴趣.
第三环节 【合作交流 探索新知】
任意画出一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画出一个Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
师生共用尺规作图，学生剪图、比较图.具体过程如下：利用尺规作出（1）画∠MC′N = 90°，（2）在射线C′M上截取B′C′ = BC；（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′.将△A′B′C′剪下来，放到△ABC上.
师：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
生：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或HL）.
教师引导学生写出符号语言.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
教师强调：“HL”定理只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用.
师生归纳：
判定两个三角形全等的方法：
设计意图：以学生为主体进行探究活动， 让学生通过亲身体验，更好地了解“HL”所需的条件，派样学生探究、概括基本事实的能力.
第四环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD.
求证：BC = AD.
例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
例3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生明确“HL”判定直角三角形的条件，规范证明过程.
【答案】
例1.证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴ BC = AD(全等三角形对应边相等)．
例2.解：∠ABC+∠DFE = 90°.
理由：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴ ∠ABC =∠DEF(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE = 90°,
∴ ∠ABC+∠DFE = 90°.
例3.解：猜想：BF⊥AE．
理由：∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACE =∠BCD = 90°．
又 BC = AC，BD = AE，
∴ Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴ ∠CBD =∠CAE．
又∵ ∠CAE+∠E = 90°．∴ ∠EBF+∠E = 90°．
∴ ∠BFE = 90°，即BF⊥AE．
第五环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 滦南县期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO = CO，AB = CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
2.如图，已知△ABC的两条高AD、BE交于F，AE = BE，若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： ；
若要运用“SAS”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： ；
若要运用“AAS”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： .
3.（2019春 桑植县期末）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4.（2019秋 乐亭县期末）如图，∠B =∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则∠2 =（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
5.（2019秋 香洲区期末）如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE = BF，下列结论错误的是（ ）
A．∠C =∠B B．DF∥AE
C．∠A+∠D = 90° D．CF = BE
设计意图：学生利用“HL”判定方法解答简单练习，加深对新学知识的理解，巩固好基础.
【答案】
1.A 2.AF = BC，EF = CE，∠AFE=∠C
3.C 4.B 5.C
第六环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A =∠C = 90°，AB = CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（ ）
A．EB = BD B．∠E+∠D = 90°
C．AC = AE+CD D．∠EBD = 60°
2.（2019秋 广安期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM = ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
3.（2019秋 沭阳县期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB = AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2019秋 端州区校级期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C =∠F = 90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是（ ）
A．AC = DF，∠B =∠E
B．∠A =∠D，∠B =∠E
C．AB = DE，AC = DF
D．AB = DE，∠A =∠D
5.（2019秋 蒙阴县期中）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ = PQ，PD = PE，则下列结论：①AE = AD；②∠B=∠C；③QP∥AD；④∠BAP =∠CAP；⑤△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②⑤
C．①②③④ D．①②③④⑤
6.（2019秋 当涂县期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB⊥BC于B，DE⊥BC于E．且AB = DE，AC = DF，若BF = 14，EC = 6，则BE = ．
7.（2019秋 南充期末）如图，在△ABC中，AC = BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE = CF = 3，BF = 4.5，则EF = ．
8.（2019春 邵阳县期中）如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA = PB，∠MON = 50°，∠OPC = 30°，则∠PCA = ．
9.已知：如图，△ABC中，AB = AC，AD是高.
求证：BD = CD，∠BAD =∠CAD.
10.（2019秋 嘉荫县期中）如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD = AF，AC = AE．求证：BC = BE．
设计意图：通过本环节练习让学生学会应用全等的性质进行进一步探究，培养学生的发散性思维.
【答案】
1.D 2.D 3.C 4.B 5.A
6.4 7.7.5 8.55°
9.证明：∵ AD是高，
∴ ∠ADB =∠ADC = 90°,
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)．
∴ BD = CD，∠BAD =∠CAD.
10.证明：∵ AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
且AD = AF，AC = AE，
∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴ CD = EF．
∵ AD = AF，AB = AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴ BD = BF．
∴ BD-CD = BF-EF．
即 BC = BE．
第七环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 牡丹江期中）已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD = BC，DE = BF，求证：AB∥DC．
2.（2019秋 扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 20，BC = 10，PQ = AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
设计意图：通过综合题型的练习，让学生能灵活应用知识解题，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ∠AED =∠CFB = 90°，∠AFB =∠CED = 90°，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF (HL)，
∴ AE = CF，
∴ AE+EF = CF+EF，
即AF = CE，
在△AFB和△CED中，
∴ △AFB≌△CED(SAS)，
∴ ∠ACD =∠BAC，
∴ AB∥CD．
2.解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP = BC时，
∵ ∠C =∠QAP = 90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
即AP = BC = 10；
②当P运动到与C点重合时，AP = AC，不合题意．
综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
第八环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
设计意图：通过知识小结，使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第九环节 【布置作业 夯实基础】
·12.2三角形全等的判定·
第四课时
直角三角形全等的判定（HL）
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生已学习了证明一般三角形全等的方法，具有用尺规完成作图的能力及推理论证的能力，因此可以由一般到特殊，开展探究直角三角形全等的判定方法，学会用直角三角形解决实际问题.
二、教学目标
1．经历探索判定直角三角形全等的条件（HL）的过程，能运用HL证明两个直角三角形全等．
2．能根据不同的条件选择合适的判定方法证明三角形全等.
三、重点难点
【教学重点】
理解直角三角形全等的条件.
【教学难点】
灵活运用“斜边、直角边” 证明两个三角形全等.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 巩固基础】
判定两个三角形全等的方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS .
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
（1）若AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 SSS （用简写法）.
若AB = DE，BC = EF，则△ABC与△DEF
全等 （填“全等”或“不全等”），根据 SAS （用简写法）.
（3）若AB = DE，∠A =∠D，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 ASA （用简写法）.
（4）若BC = EF，∠A =∠D，则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或“不全等”），根据 AAS （用简写法）.
设计意图：全等三角形的判定是本章重点，通过复习回顾，巩固学生基础，减小新课学习难度.
第二环节 【创设情境 引入新课】
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员需要知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
师：你有什么办法吗？
学生独立思考，提出用SAS、ASA、AAS的方法可以证明.
国国拿着卷尺测量了两个三角形没有被遮住直角边和斜边，发现它们对应相等.于是国国判定这两个直角三角形全等，国国的结论正确吗？为什么呢？
引发学生思考，揭示课题——今天我们来学习直角三角形的判定.
设计意图：通过情境问题，提高学生学习的积极性、主动性，激发学生的好奇心，感受数学来源于生活，提高学习兴趣.
第三环节 【合作交流 探索新知】
任意画出一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画出一个Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
师生共用尺规作图，学生剪图、比较图.具体过程如下：利用尺规作出（1）画∠MC′N = 90°，（2）在射线C′M上截取B′C′ = BC；（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′.将△A′B′C′剪下来，放到△ABC上.
师：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
生：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或HL）.
教师引导学生写出符号语言.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
教师强调：“HL”定理只适用于直角三角形，对于一般三角形不适用.
师生归纳：
判定两个三角形全等的方法：
设计意图：以学生为主体进行探究活动， 让学生通过亲身体验，更好地了解“HL”所需的条件，派样学生探究、概括基本事实的能力.
第四环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD.
求证：BC = AD.
例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
例3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生明确“HL”判定直角三角形的条件，规范证明过程.
【答案】
例1.证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴ BC = AD(全等三角形对应边相等)．
例2.解：∠ABC+∠DFE = 90°.
理由：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴ ∠ABC =∠DEF(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE = 90°,
∴ ∠ABC+∠DFE = 90°.
例3.解：猜想：BF⊥AE．
理由：∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACE =∠BCD = 90°．
又 BC = AC，BD = AE，
∴ Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴ ∠CBD =∠CAE．
又∵ ∠CAE+∠E = 90°．∴ ∠EBF+∠E = 90°．
∴ ∠BFE = 90°，即BF⊥AE．
第五环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 滦南县期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO = CO，AB = CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
2.如图，已知△ABC的两条高AD、BE交于F，AE = BE，若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： ；
若要运用“SAS”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： ；
若要运用“AAS”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： .
3.（2019春 桑植县期末）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4.（2019秋 乐亭县期末）如图，∠B =∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则∠2 =（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
5.（2019秋 香洲区期末）如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE = BF，下列结论错误的是（ ）
A．∠C =∠B B．DF∥AE
C．∠A+∠D = 90° D．CF = BE
设计意图：学生利用“HL”判定方法解答简单练习，加深对新学知识的理解，巩固好基础.
【答案】
1.A 2.AF = BC，EF = CE，∠AFE=∠C
3.C 4.B 5.C
第六环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A =∠C = 90°，AB = CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（ ）
A．EB = BD B．∠E+∠D = 90°
C．AC = AE+CD D．∠EBD = 60°
2.（2019秋 广安期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM = ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
3.（2019秋 沭阳县期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB = AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2019秋 端州区校级期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C =∠F = 90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是（ ）
A．AC = DF，∠B =∠E
B．∠A =∠D，∠B =∠E
C．AB = DE，AC = DF
D．AB = DE，∠A =∠D
5.（2019秋 蒙阴县期中）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ = PQ，PD = PE，则下列结论：①AE = AD；②∠B=∠C；③QP∥AD；④∠BAP =∠CAP；⑤△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②⑤
C．①②③④ D．①②③④⑤
6.（2019秋 当涂县期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB⊥BC于B，DE⊥BC于E．且AB = DE，AC = DF，若BF = 14，EC = 6，则BE = ．
7.（2019秋 南充期末）如图，在△ABC中，AC = BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE = CF = 3，BF = 4.5，则EF = ．
8.（2019春 邵阳县期中）如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA = PB，∠MON = 50°，∠OPC = 30°，则∠PCA = ．
9.已知：如图，△ABC中，AB = AC，AD是高.
求证：BD = CD，∠BAD =∠CAD.
10.（2019秋 嘉荫县期中）如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD = AF，AC = AE．求证：BC = BE．
设计意图：通过本环节练习让学生学会应用全等的性质进行进一步探究，培养学生的发散性思维.
【答案】
1.D 2.D 3.C 4.B 5.A
6.4 7.7.5 8.55°
9.证明：∵ AD是高，
∴ ∠ADB =∠ADC = 90°,
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)．
∴ BD = CD，∠BAD =∠CAD.
10.证明：∵ AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
且AD = AF，AC = AE，
∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴ CD = EF．
∵ AD = AF，AB = AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴ BD = BF．
∴ BD-CD = BF-EF．
即 BC = BE．
第七环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 牡丹江期中）已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD = BC，DE = BF，求证：AB∥DC．
2.（2019秋 扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 20，BC = 10，PQ = AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
设计意图：通过综合题型的练习，让学生能灵活应用知识解题，展现有梯度的教学理念.
【答案】
1.证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ∠AED =∠CFB = 90°，∠AFB =∠CED = 90°，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF (HL)，
∴ AE = CF，
∴ AE+EF = CF+EF，
即AF = CE，
在△AFB和△CED中，
∴ △AFB≌△CED(SAS)，
∴ ∠ACD =∠BAC，
∴ AB∥CD．
2.解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP = BC时，
∵ ∠C =∠QAP = 90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
即AP = BC = 10；
②当P运动到与C点重合时，AP = AC，不合题意．
综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
第八环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
设计意图：通过知识小结，使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第九环节 【布置作业 夯实基础】