13.2.2 用坐标表示轴对称教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.2.2 用坐标表示轴对称教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:14:06 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称
·13.2 画轴对称图形·
第二课时 用坐标表示轴对称
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在七年级下册已经系统学过平面直角坐标系的相关知识，并在研究了用坐标表示平移.学生已经拥有了一定的在平面直角坐标系中研究图形的能力和方法.加上学生已经在本章第1节的学习中非常熟练地掌握了轴对称图形、图形的轴对称的概念、轴对称的基本性质、线段的垂直平分线的性质等内容.
二、教学目标
1．探索并掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点；
2．会作已知图形关于坐标轴的对称图形．
三、重点难点
【教学重点】
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能作出关于坐标轴对称的图形．
【教学难点】
平面直角坐标系中，找对称点坐标之间的变换规律.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师：我们怎么确定平面直角坐标系内的点的坐标呢？
生：过这个点分别做x轴和y轴的垂线段，垂足所对应的数值分别就是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）.
师：怎样作一个点关于一条直线的对称点？
①过点A作对称轴l的垂线，垂足为O；
②延长AO至A'，使得OA' = AO.
点A'就是点A关于直线l 的对称点.
设计意图：回顾复习以前的相关知识，以便形成知识迁移，引出新课.
第二环节 【合作交流 探索新知】
思考：图 13.2-3 是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
探究1：关于x轴对称的点的坐标与已知点的坐标具有怎样的关系？
教师引导学生在图中找出对称点并填表：
师：对再找几个点，分别画出它们的对称点，你能发现什么规律？
生：横坐标 相等 ，纵坐标 互为相反数 .
探究2：关于y轴对称的点的坐标与已知点的坐标具有怎样的关系？
教师引导学生在图中找出对称点并填表：
师：再找几个点，分别画出它们的对称点，你能发现什么规律？
生：纵坐标 相等 ，横坐标 互为相反数 .
总结：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等.
点（x， y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）.
点（x， y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.
让学生抢答：
口诀：横轴横相等，纵轴纵相等.
设计意图：引导学生通过借助平面直角坐标系，画图直观的发现关于y轴、x轴对称点的坐标特点，从而概括出关于y轴、x轴对称的点的变化规律．
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.已知点P(2a+b，-3a）与点P'(8，b+2）.
（1）若点P与点P'关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点P与点P'关于y轴对称，求a，b的值.
例2.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，-5），B（4，2），C（-1，0）三点．
（1）点B关于x轴对称点B′的坐标为 ，
点C关于y轴对称点C′的坐标为 ；
（2）求（1）中的△AB′C′的面积．
例3.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出四边形关于y轴与x轴对称的图形.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，进一步巩固关于y轴、x轴对称的点的变化规律.
【答案】
例1.解：（1）∵ 点P与点P′关于x轴对称，
∴，
解得a = 2．b = 4；
（2）∵ 点P与点P′关于y轴对称，
∴，
解得a = 6，b = -20．
例2. （1）（4，-2），（1，0）；
（2）∵ A（1，-5），C′（1，0），
∴ AC′⊥x轴且AC′ = 0-(-5）= 5，
点B′到AC′的距离为4-1 = 3，
所以，△AB′C′的面积 = ×5×3 = ．
例3.解：根据关于y轴对称的点的坐标特征得到：
点A′的坐标为（5，1），
点B′的坐标为（2，1），
点C′的坐标为（2，5），
点D′的坐标为（5，4），
依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
就可得到四边形关于y轴对称的四边形A′B′C′D′.
根据关于x轴对称的点的坐标特征得到：
点A′′的坐标为（-5，-1），
点B′′的坐标为（-2，-1），
点C′′的坐标为（-2，-5），
点D′′的坐标为（-5，-4），
依次连接A′′B′′，B′′C′′，C′′D′′，D′′A′′，
就可得到四边形关于y轴对称的四边形A′′B′′C′′D′′.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.点M(1，2）关于x轴的对称点的坐标是( ）
A.(1，2） B.(1，-2） C.(-1，2） D.(2，1）
2．下列判断正确的是( ）
A．点(-3，4）与(3，4）关于x轴对称
B．点(3，-4）与点(-3，4）关于y轴对称
C．点(3，4）与点(3，-4）关于x轴对称
D．点(4，-3）与点(4，3）关于y轴对称
3.如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(-4，6），B(-6，2），E(2，1），则点D的坐标为( ）
A．(-4，6） B．(4，6）
C．(-2，1） D．(6，2）
4.已知点A(x，2），B(-3，y），若A，B关于x轴对称，则x+y = .
5.在平面直角坐标系中，点A的坐标(2，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是 ．
设计意图：本环节主要考察学生对新学知识的理解及掌握情况.
【答案】
1.B 2.C 3.B 4.-5 5.(-2，3）
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.已知A，B两点的坐标分别是(-2，3）和(2，3），则下面四个结论中正确的有（ ）.
①A，B两点关于x轴对称；
②A，B两点关于y轴对称；
③A，B两点之间的距离为 6；
④A，B两点之间的距离为 4.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.点(m，-1）和点(2，n）关于x轴对称，则mn等于( ）
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
3.（2019秋 曹县期末）点A（a，-1）与点B（2，b）关于y轴对称，则点（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形的关系是( ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．重合
D．以上都有可能
5.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3），则点M和点N的坐标分别是( ）
A．M(1，-3），N(-1，-3）
B．M(-1，-3），N(-1，3）
C．M(-1，-3），N(1，-3）
D．M(-1，3），N(1，-3）
6.（2020 雨花区校级一模）已知，点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称，则(m+n）2020 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．32020
7.若|3a-2|+|b-3|= 0，则P(-a，b）关于y轴的对称点P'的坐标为 .
8.已知实数m，n满足(m+2）2+= 0，则点P(m，n）和点Q(2m+2，n-2）关于 轴对称.
9.如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1），在图中分别画出与关于x轴和y轴对称的图形.
10.如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．
（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；
（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？
（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．
设计意图：通过小测反馈本节课学生对知识的掌握情况.
【答案】
B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B
7.(，3） 8.x
9.解：根据关于x轴对称的点的坐标特征得到：
点A′的坐标为（4，0），
点B′的坐标为（-1，-4），
点C′的坐标为（-3，-1），
然后描点连线，△A′B′C′即为所求；
根据关于y轴对称的点的坐标特征得到：
点A′′的坐标为（-4，0），
点B′′的坐标为（1，4），
点C′′的坐标为（3，1），
然后描点连线，△A′′B′′C′′即为所求；
10.解：（1）点A的坐标为（-2，0），
点B的坐标为（0，-3），
点D的坐标为（4，0），
点F的坐标为（0，3）；
（2）点B与点C的纵坐标相等，
线段BC平行于x轴；
（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（-3，3），
它与点C关于原点对称．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.在平面直角坐标系中，有点A（a，1），点B（-2，b）
（1）当A、B两点关于直线x = 1 对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB∥y轴，且AB = 3 时，求a-b的值．
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
设计意图：通过有梯度的训练，提高学生对知识的综合运用能力.
【答案】
1.解：（1）∵ A、B关于直线x = 1 对称，
∴ A、B的纵坐标相同，a-1 = 1-(-2），
∴ b = 1，a = 4；
即A（4，1），B（-2，1），
∴ S△ABC = 6×1÷2 = 3；
（2）当AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，
∴ a = -2，
∵ AB = 3，
∴ |b-1|= 3，解得b = -2 或b = 4，
∴ 当a = -2，b = -2 时，有a-b = 0，
当a = -2，b = 4 时，有a-b = -6．
2.解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是
A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图，当0＜a＜3 时，
∵ P与P1关于y轴对称，P（-a，0），
∴ P1（a，0），
又∵ P1与P2关于l：直线x = 3 对称，
设P2（x，0），可得： = 3，
即x = 6-a，
∴ P2（6-a，0），
则PP2 = 6-a-(-a）= 6-a+a = 6．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
这节课我们学到了什么？
关于x轴对称的两个点的坐标特征：
(x，y）(x，-y）
横坐标相同，纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的两个点的坐标特征：
(x，y） (-x，y）
横坐标互为相反数，纵坐标相同.
口诀：横轴横相等，纵轴纵相等.
设计意图：使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·13.2 画轴对称图形·
第二课时 用坐标表示轴对称
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在七年级下册已经系统学过平面直角坐标系的相关知识，并在研究了用坐标表示平移.学生已经拥有了一定的在平面直角坐标系中研究图形的能力和方法.加上学生已经在本章第1节的学习中非常熟练地掌握了轴对称图形、图形的轴对称的概念、轴对称的基本性质、线段的垂直平分线的性质等内容.
二、教学目标
1．探索并掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点；
2．会作已知图形关于坐标轴的对称图形．
三、重点难点
【教学重点】
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能作出关于坐标轴对称的图形．
【教学难点】
平面直角坐标系中，找对称点坐标之间的变换规律.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
师：我们怎么确定平面直角坐标系内的点的坐标呢？
生：过这个点分别做x轴和y轴的垂线段，垂足所对应的数值分别就是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）.
师：怎样作一个点关于一条直线的对称点？
①过点A作对称轴l的垂线，垂足为O；
②延长AO至A'，使得OA' = AO.
点A'就是点A关于直线l 的对称点.
设计意图：回顾复习以前的相关知识，以便形成知识迁移，引出新课.
第二环节 【合作交流 探索新知】
思考：图 13.2-3 是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
探究1：关于x轴对称的点的坐标与已知点的坐标具有怎样的关系？
教师引导学生在图中找出对称点并填表：
师：对再找几个点，分别画出它们的对称点，你能发现什么规律？
生：横坐标 相等 ，纵坐标 互为相反数 .
探究2：关于y轴对称的点的坐标与已知点的坐标具有怎样的关系？
教师引导学生在图中找出对称点并填表：
师：再找几个点，分别画出它们的对称点，你能发现什么规律？
生：纵坐标 相等 ，横坐标 互为相反数 .
总结：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等.
点（x， y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）.
点（x， y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.
让学生抢答：
口诀：横轴横相等，纵轴纵相等.
设计意图：引导学生通过借助平面直角坐标系，画图直观的发现关于y轴、x轴对称点的坐标特点，从而概括出关于y轴、x轴对称的点的变化规律．
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.已知点P(2a+b，-3a）与点P'(8，b+2）.
（1）若点P与点P'关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点P与点P'关于y轴对称，求a，b的值.
例2.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，-5），B（4，2），C（-1，0）三点．
（1）点B关于x轴对称点B′的坐标为 ，
点C关于y轴对称点C′的坐标为 ；
（2）求（1）中的△AB′C′的面积．
例3.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出四边形关于y轴与x轴对称的图形.
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，进一步巩固关于y轴、x轴对称的点的变化规律.
【答案】
例1.解：（1）∵ 点P与点P′关于x轴对称，
∴，
解得a = 2．b = 4；
（2）∵ 点P与点P′关于y轴对称，
∴，
解得a = 6，b = -20．
例2. （1）（4，-2），（1，0）；
（2）∵ A（1，-5），C′（1，0），
∴ AC′⊥x轴且AC′ = 0-(-5）= 5，
点B′到AC′的距离为4-1 = 3，
所以，△AB′C′的面积 = ×5×3 = ．
例3.解：根据关于y轴对称的点的坐标特征得到：
点A′的坐标为（5，1），
点B′的坐标为（2，1），
点C′的坐标为（2，5），
点D′的坐标为（5，4），
依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
就可得到四边形关于y轴对称的四边形A′B′C′D′.
根据关于x轴对称的点的坐标特征得到：
点A′′的坐标为（-5，-1），
点B′′的坐标为（-2，-1），
点C′′的坐标为（-2，-5），
点D′′的坐标为（-5，-4），
依次连接A′′B′′，B′′C′′，C′′D′′，D′′A′′，
就可得到四边形关于y轴对称的四边形A′′B′′C′′D′′.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.点M(1，2）关于x轴的对称点的坐标是( ）
A.(1，2） B.(1，-2） C.(-1，2） D.(2，1）
2．下列判断正确的是( ）
A．点(-3，4）与(3，4）关于x轴对称
B．点(3，-4）与点(-3，4）关于y轴对称
C．点(3，4）与点(3，-4）关于x轴对称
D．点(4，-3）与点(4，3）关于y轴对称
3.如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(-4，6），B(-6，2），E(2，1），则点D的坐标为( ）
A．(-4，6） B．(4，6）
C．(-2，1） D．(6，2）
4.已知点A(x，2），B(-3，y），若A，B关于x轴对称，则x+y = .
5.在平面直角坐标系中，点A的坐标(2，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是 ．
设计意图：本环节主要考察学生对新学知识的理解及掌握情况.
【答案】
1.B 2.C 3.B 4.-5 5.(-2，3）
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.已知A，B两点的坐标分别是(-2，3）和(2，3），则下面四个结论中正确的有（ ）.
①A，B两点关于x轴对称；
②A，B两点关于y轴对称；
③A，B两点之间的距离为 6；
④A，B两点之间的距离为 4.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.点(m，-1）和点(2，n）关于x轴对称，则mn等于( ）
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
3.（2019秋 曹县期末）点A（a，-1）与点B（2，b）关于y轴对称，则点（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4.将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形的关系是( ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．重合
D．以上都有可能
5.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3），则点M和点N的坐标分别是( ）
A．M(1，-3），N(-1，-3）
B．M(-1，-3），N(-1，3）
C．M(-1，-3），N(1，-3）
D．M(-1，3），N(1，-3）
6.（2020 雨花区校级一模）已知，点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称，则(m+n）2020 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．32020
7.若|3a-2|+|b-3|= 0，则P(-a，b）关于y轴的对称点P'的坐标为 .
8.已知实数m，n满足(m+2）2+= 0，则点P(m，n）和点Q(2m+2，n-2）关于 轴对称.
9.如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1），在图中分别画出与关于x轴和y轴对称的图形.
10.如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．
（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；
（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？
（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．
设计意图：通过小测反馈本节课学生对知识的掌握情况.
【答案】
B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B
7.(，3） 8.x
9.解：根据关于x轴对称的点的坐标特征得到：
点A′的坐标为（4，0），
点B′的坐标为（-1，-4），
点C′的坐标为（-3，-1），
然后描点连线，△A′B′C′即为所求；
根据关于y轴对称的点的坐标特征得到：
点A′′的坐标为（-4，0），
点B′′的坐标为（1，4），
点C′′的坐标为（3，1），
然后描点连线，△A′′B′′C′′即为所求；
10.解：（1）点A的坐标为（-2，0），
点B的坐标为（0，-3），
点D的坐标为（4，0），
点F的坐标为（0，3）；
（2）点B与点C的纵坐标相等，
线段BC平行于x轴；
（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（-3，3），
它与点C关于原点对称．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.在平面直角坐标系中，有点A（a，1），点B（-2，b）
（1）当A、B两点关于直线x = 1 对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB∥y轴，且AB = 3 时，求a-b的值．
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
设计意图：通过有梯度的训练，提高学生对知识的综合运用能力.
【答案】
1.解：（1）∵ A、B关于直线x = 1 对称，
∴ A、B的纵坐标相同，a-1 = 1-(-2），
∴ b = 1，a = 4；
即A（4，1），B（-2，1），
∴ S△ABC = 6×1÷2 = 3；
（2）当AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，
∴ a = -2，
∵ AB = 3，
∴ |b-1|= 3，解得b = -2 或b = 4，
∴ 当a = -2，b = -2 时，有a-b = 0，
当a = -2，b = 4 时，有a-b = -6．
2.解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是
A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图，当0＜a＜3 时，
∵ P与P1关于y轴对称，P（-a，0），
∴ P1（a，0），
又∵ P1与P2关于l：直线x = 3 对称，
设P2（x，0），可得： = 3，
即x = 6-a，
∴ P2（6-a，0），
则PP2 = 6-a-(-a）= 6-a+a = 6．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
这节课我们学到了什么？
关于x轴对称的两个点的坐标特征：
(x，y）(x，-y）
横坐标相同，纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的两个点的坐标特征：
(x，y） (-x，y）
横坐标互为相反数，纵坐标相同.
口诀：横轴横相等，纵轴纵相等.
设计意图：使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第八环节 【布置作业 夯实基础】