12.2.2 三角形全等的判定（SAS） 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 12.2.2 三角形全等的判定（SAS） 教案 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 378.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:15:23 | ||
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文档简介
第十二章 全等三角形
·12.2三角形全等的判定·
第二课时 三角形全等的判定（SAS）
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生学习了“边边边”判定两个三角形全等的方法，已经掌握了证明方法的书写及用尺规作简单图形的方法.本课学习判定三角形全等的另一个条件——SAS，教学时，应根据该阶段学生的心理特征，以探究为主，让学生经历探究过程，体会两个三角形全等.
二、教学目标
1．经历探索判定三角形全等的条件（SAS）的过程，能运用SAS证明三角形全等．
2．通过三角形全等的证明，进一步培养有条理的思考和表达能力.
三、重点难点
【教学重点】
运用“边角边”证明两个三角形全等.
【教学难点】
理解证明的基本过程，学会综合分析法.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.你知道的判定两个三角形全等的方法有哪些？
生：1.全等三角形的定义.2.边边边.
2.你能写出SSS证明两个三角形全等的符号语言吗？
学生进行回答，教师适当鼓励学生.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ABC≌△A'B'C'(SSS).
3.除了SSS外，还有满足其他三个条件能判断三角形全等的情况吗？
师生共同回忆两个三角形满足六个条件中的三个时的四种情况：
1.三个角；2.三条边；3.两边一角；4.两角一边.
上节课已经探究了三个角与三条边，那两边一角是否可以证明两个三角形全等呢？
教师以此提出本课课题——今天我们一起来学习三角形全等的判定第二课时SAS.
设计意图：通过对上节课知识的回顾，自然的引出本节课的学习内容，引起学生的思考，激发学习兴趣，投入课堂.
第二环节 【合作交流 探索新知】
先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，使A′B′ = AB，A′C′ = AC，∠A′ =∠A(即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
师：怎么画△A′B′C′呢？
师生共用尺规作图，学生剪图、比较图.具体过程如下：（1）利用前面学习过的方法画∠DA′E =∠A，（2）在射线A′D上截取A′B′ = AB，确定点B'的位置，然后在射线A′E上截取A′C′ = AC，确定点C'的位置，（3）连接B′C′.将△A′B′C′剪下来，放到△ABC上.
师：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
生：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.
教师引导学生概括符号语言.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ABC≌△A'B'C'(SAS).
教师强调：注意，A必须是两边的夹角.
思考：
师：边角边可以判定两个三角形全等，那么当两个三角形满足两条边和其中一条边的对角分别相等时，这两个三角形一定全等吗？
师生活动：把一长一短的两根木根的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.（结合PPT展示）
学生通过探究发现：在△ABC和△ABD中，AB = AB，AC = AD，∠B =∠B.△ABC与△ABD不全等.
也就是说，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
师：现在你知道判定两个三角形全等的方法有哪些？
师生归纳：1.全等三角形的定义.2.SSS.3.SAS.
师：SSA可以证明两个三角形全等吗？
生：不可以.
设计意图：本环节以探究为主，通过PPT展示动画，动手实际操作等活动，让学生直观感受边角边判定两个三角形全等的定理.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.（2020 云南模拟）点C是AE的中点，∠A =∠ECD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDE．
例2.如图所示，AD⊥AE，AB⊥AC，AD = AE，AB = AC，求证：△ABD≌△ACE.
例3.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生直观体会边角边判定两个三角形全等在实际问题中的应用，更好的了解本课学习的重点.
【答案】
例1.证明：∵ 点C是AE的中点，
∴ AC = CE，
在△ACB和△CED中，
∴ △ABC≌△CDE(SAS).
例2.证明：∵ AD⊥AE，AB⊥AC，
∴ ∠CAB =∠DAE = 90°，
∴ ∠CAB+∠CAD =∠DAE+∠CAD，
即∠BAD =∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
例3.证明：在△ABC和△DEC中，
∴ △ABC≌△DEC(SAS).
∴ AB = DE.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 柯桥区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AO = BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 ．
2.（2019秋 正定县期末）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB∥DE，AB = DE，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．∠A =∠D B．AF = FC
C．BC = EF D．AF = DC
3.如图，下列两个三角形全等的是（ ）
A．③④ B．②③ C．①② D．①④
4.（2019秋 蒙阴县期末）如图，AC、BD相交于点O，OA = OB，OC = OD，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
5.如图所示，AB与CD相交于点E，AB = CD，DE = BE.求证：△AED≌△CEB.
设计意图：学生利用“SAS”判定方法解答简单练习，加深对新学知识的理解，巩固好基础.
【答案】
CO=DO 2.D 3.C 4.C
5.证明：∵ AB = CD，DE = BE，
∴ AB-BE = CD-DE，
即AE = CE.
在△AED和△CEB中，
∴ △AED≌△CEB(SAS).
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 建水县期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE = DF，连接BF，CE，下列说法：
①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD =∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE = AE．其中正确的是（ ）
①② B．③⑤
C．①③④ D．①④⑤
2. 如图，已知OA = OB，OC = OD，AD和BC相交于点E，AE = BE，则图中共有全等三角形的对数（ ）
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
3.如图，AO = BO，CO = DO，AD与BC交于点E，∠O = 40°，∠B = 25°，则∠BED等于（ ）
A．60° B．90° C．75° D．85°
4.（2019秋 东阿县期末）如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（ ）
A．（4，-1） B．（-1，3）
C．（-1，-1） D．（1，3）
5.（2019秋 孝义市期末）如图，已知△ABC中，∠A = 40°，∠B =∠C，BD = CE，BE = CF，则∠DEF = .
6.（2019秋 新化县期末）如图，在△ABC中，AB = 6，BC = 5，AC = 4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE = AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7.（2019秋 西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC = BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x = ．（用含a，b的代数式表示）
8.（2020 甘井子区模拟）如图，点C，F在BE上，BF = EC，AB = DE，∠B =∠E，求证：∠A =∠D．
9.（2020 岐山县一模）如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD = AC，延长BC至点E，使BF = CE，连接DE．求证：AB∥DE．
10.（2020 黄石模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DE，AB∥DE，BE = CF．
（1）求证：AC = DF；
（2）若∠D = 65°，求∠EGC的大小．
设计意图：运用“SAS”判定判定两个三角形全等是本课的重点，因此让学生多加练习，能熟练掌握解题技巧.
【答案】
C 2.C 3.B 4.D 5.70° 6.B
7.
8.证明：∵ BF = EC，
∴ BF-CF = EC-CF，
即BC = EF.
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
∴ ∠A =∠D.
9.证明：∵ AC∥FD，
∴ ∠ACB =∠DFE，
又∵ BF = CE，
∴ BF+CF = CE+CF，即BC = EF；
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
∴ ∠B =∠E，
∴ AB∥DE．
10.解：（1）∵ BC = BE+EC，EF = CF+EC，BE = CF，
∴ BC = EF，
又∵ AB∥DE，
∴ ∠B =∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS)，
∴ AC = DF.
（2）∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠F =∠ACB，
∴ DF∥AC，
∴ ∠D =∠EGC，
又∵ ∠D = 65°，
∴ ∠EGC = 65°．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 富锦市期末）如图△ABC，AB = 7，AC = 3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为（ ）
A．4＜AD＜10 B．2＜AD＜5
C．1＜AD＜ D．无法确定
2.（2019秋 内乡县期末）如图（1），AB = 7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC = 5 cm．点P在线段AB上以 2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)
（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB =∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
设计意图：倍长中线法是几何证明中一种常见的构造辅助线的方法，可以适当给学生讲解，同时动点问题是中考的热门题型，要求学生掌握.
【答案】
1.B
2.解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=5，
∴BP=AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）.
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t
解得：x=，t=.
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；
2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；
3.利用两个三角形全等证明对应线段或角相等.
设计意图：通过知识小结，使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·12.2三角形全等的判定·
第二课时 三角形全等的判定（SAS）
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生学习了“边边边”判定两个三角形全等的方法，已经掌握了证明方法的书写及用尺规作简单图形的方法.本课学习判定三角形全等的另一个条件——SAS，教学时，应根据该阶段学生的心理特征，以探究为主，让学生经历探究过程，体会两个三角形全等.
二、教学目标
1．经历探索判定三角形全等的条件（SAS）的过程，能运用SAS证明三角形全等．
2．通过三角形全等的证明，进一步培养有条理的思考和表达能力.
三、重点难点
【教学重点】
运用“边角边”证明两个三角形全等.
【教学难点】
理解证明的基本过程，学会综合分析法.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.你知道的判定两个三角形全等的方法有哪些？
生：1.全等三角形的定义.2.边边边.
2.你能写出SSS证明两个三角形全等的符号语言吗？
学生进行回答，教师适当鼓励学生.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ABC≌△A'B'C'(SSS).
3.除了SSS外，还有满足其他三个条件能判断三角形全等的情况吗？
师生共同回忆两个三角形满足六个条件中的三个时的四种情况：
1.三个角；2.三条边；3.两边一角；4.两角一边.
上节课已经探究了三个角与三条边，那两边一角是否可以证明两个三角形全等呢？
教师以此提出本课课题——今天我们一起来学习三角形全等的判定第二课时SAS.
设计意图：通过对上节课知识的回顾，自然的引出本节课的学习内容，引起学生的思考，激发学习兴趣，投入课堂.
第二环节 【合作交流 探索新知】
先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，使A′B′ = AB，A′C′ = AC，∠A′ =∠A(即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
师：怎么画△A′B′C′呢？
师生共用尺规作图，学生剪图、比较图.具体过程如下：（1）利用前面学习过的方法画∠DA′E =∠A，（2）在射线A′D上截取A′B′ = AB，确定点B'的位置，然后在射线A′E上截取A′C′ = AC，确定点C'的位置，（3）连接B′C′.将△A′B′C′剪下来，放到△ABC上.
师：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
生：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.
教师引导学生概括符号语言.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ABC≌△A'B'C'(SAS).
教师强调：注意，A必须是两边的夹角.
思考：
师：边角边可以判定两个三角形全等，那么当两个三角形满足两条边和其中一条边的对角分别相等时，这两个三角形一定全等吗？
师生活动：把一长一短的两根木根的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.（结合PPT展示）
学生通过探究发现：在△ABC和△ABD中，AB = AB，AC = AD，∠B =∠B.△ABC与△ABD不全等.
也就是说，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
师：现在你知道判定两个三角形全等的方法有哪些？
师生归纳：1.全等三角形的定义.2.SSS.3.SAS.
师：SSA可以证明两个三角形全等吗？
生：不可以.
设计意图：本环节以探究为主，通过PPT展示动画，动手实际操作等活动，让学生直观感受边角边判定两个三角形全等的定理.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.（2020 云南模拟）点C是AE的中点，∠A =∠ECD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDE．
例2.如图所示，AD⊥AE，AB⊥AC，AD = AE，AB = AC，求证：△ABD≌△ACE.
例3.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生直观体会边角边判定两个三角形全等在实际问题中的应用，更好的了解本课学习的重点.
【答案】
例1.证明：∵ 点C是AE的中点，
∴ AC = CE，
在△ACB和△CED中，
∴ △ABC≌△CDE(SAS).
例2.证明：∵ AD⊥AE，AB⊥AC，
∴ ∠CAB =∠DAE = 90°，
∴ ∠CAB+∠CAD =∠DAE+∠CAD，
即∠BAD =∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
例3.证明：在△ABC和△DEC中，
∴ △ABC≌△DEC(SAS).
∴ AB = DE.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 柯桥区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AO = BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 ．
2.（2019秋 正定县期末）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB∥DE，AB = DE，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．∠A =∠D B．AF = FC
C．BC = EF D．AF = DC
3.如图，下列两个三角形全等的是（ ）
A．③④ B．②③ C．①② D．①④
4.（2019秋 蒙阴县期末）如图，AC、BD相交于点O，OA = OB，OC = OD，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
5.如图所示，AB与CD相交于点E，AB = CD，DE = BE.求证：△AED≌△CEB.
设计意图：学生利用“SAS”判定方法解答简单练习，加深对新学知识的理解，巩固好基础.
【答案】
CO=DO 2.D 3.C 4.C
5.证明：∵ AB = CD，DE = BE，
∴ AB-BE = CD-DE，
即AE = CE.
在△AED和△CEB中，
∴ △AED≌△CEB(SAS).
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019秋 建水县期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE = DF，连接BF，CE，下列说法：
①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD =∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE = AE．其中正确的是（ ）
①② B．③⑤
C．①③④ D．①④⑤
2. 如图，已知OA = OB，OC = OD，AD和BC相交于点E，AE = BE，则图中共有全等三角形的对数（ ）
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
3.如图，AO = BO，CO = DO，AD与BC交于点E，∠O = 40°，∠B = 25°，则∠BED等于（ ）
A．60° B．90° C．75° D．85°
4.（2019秋 东阿县期末）如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（ ）
A．（4，-1） B．（-1，3）
C．（-1，-1） D．（1，3）
5.（2019秋 孝义市期末）如图，已知△ABC中，∠A = 40°，∠B =∠C，BD = CE，BE = CF，则∠DEF = .
6.（2019秋 新化县期末）如图，在△ABC中，AB = 6，BC = 5，AC = 4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE = AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7.（2019秋 西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC = BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x = ．（用含a，b的代数式表示）
8.（2020 甘井子区模拟）如图，点C，F在BE上，BF = EC，AB = DE，∠B =∠E，求证：∠A =∠D．
9.（2020 岐山县一模）如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD = AC，延长BC至点E，使BF = CE，连接DE．求证：AB∥DE．
10.（2020 黄石模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DE，AB∥DE，BE = CF．
（1）求证：AC = DF；
（2）若∠D = 65°，求∠EGC的大小．
设计意图：运用“SAS”判定判定两个三角形全等是本课的重点，因此让学生多加练习，能熟练掌握解题技巧.
【答案】
C 2.C 3.B 4.D 5.70° 6.B
7.
8.证明：∵ BF = EC，
∴ BF-CF = EC-CF，
即BC = EF.
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
∴ ∠A =∠D.
9.证明：∵ AC∥FD，
∴ ∠ACB =∠DFE，
又∵ BF = CE，
∴ BF+CF = CE+CF，即BC = EF；
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
∴ ∠B =∠E，
∴ AB∥DE．
10.解：（1）∵ BC = BE+EC，EF = CF+EC，BE = CF，
∴ BC = EF，
又∵ AB∥DE，
∴ ∠B =∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF(SAS)，
∴ AC = DF.
（2）∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠F =∠ACB，
∴ DF∥AC，
∴ ∠D =∠EGC，
又∵ ∠D = 65°，
∴ ∠EGC = 65°．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.（2019秋 富锦市期末）如图△ABC，AB = 7，AC = 3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为（ ）
A．4＜AD＜10 B．2＜AD＜5
C．1＜AD＜ D．无法确定
2.（2019秋 内乡县期末）如图（1），AB = 7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC = 5 cm．点P在线段AB上以 2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)
（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB =∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
设计意图：倍长中线法是几何证明中一种常见的构造辅助线的方法，可以适当给学生讲解，同时动点问题是中考的热门题型，要求学生掌握.
【答案】
1.B
2.解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=5，
∴BP=AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）.
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t
解得：x=，t=.
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；
2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；
3.利用两个三角形全等证明对应线段或角相等.
设计意图：通过知识小结，使学生系统地了解本课核心知识，加深理解，建立内在联系.
第八环节 【布置作业 夯实基础】