15.3.2分式方程的应用 第二课时（教案） 人教版数学八年级上册

第十五章 分式
·15.3分式方程·
15.3.2分式方程的应用 第二课时
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
本节课的主要内容是解含字母的方程及综合应用题.学生在前面已经学习了解分式方程和解分式方程的应用，对于本节课能够较好的掌握，但考虑到八年级的学生好奇心较重，教师可适当利用这点，让学生自主探究知识点.
二、教学目标
1．会解含字母的方程.
2．能够熟练掌握解分式方程的应用.
三、重点难点
【教学重点】
解含字母的方程．
【教学难点】
解分式方程中的综合性应用题.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
问题1：什么是分式方程？
师生活动：学生独立思考并作答.
问题2：解分式方程的步骤是什么？
师生活动：学生独立思考，请一位学生回答结果.
问题3：解分式方程+=1.
师生活动：学生独立计算，请一位学生在黑板上解答.教师提出增根的概念，并让全班交流，如果分式方程中有增根，应该怎样解题.教师教师顺势引入本节课的课题——解含字母的分式方程.
设计意图：对前面所学知识做归纳总结，为学生进一步学习作铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
问题1：若方程-2 =有增根，则m的值为多少？
师生活动：学生尝试回答，教师根据学生的回答情况进行评价，教师板演.
解：方程两边都乘以x-3，得到整式方程x-2(x-3)= m，
∵ 原分式方程有增根，
∴ x-3 = 0，
即x = 3.
将x = 3 代入整式方程x-2(x-3)= m，
解得m = 3．
归纳出根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤：
（1）把分式方程化为整式方程；
（2）令最简公分母为 0，求出未知数的值；
（3）把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值.
问题2：若关于x的分式方程+3 =无解，则实数m的值为多少？
师生活动：学生独立思考，形成思路后，由学生上黑板解答.
解：方程两边都乘以x-1，得到整式方程 7+3(x-1) = mx，
整理，得(m-3)x = 4.
当整式方程无解时，m-3 = 0，解得m = 3；
当整式方程(m-3)x = 4 的解为分式方程的增根时，x = 1，
∴ m-3 = 4，即m = 7.
∴ m的值为 3 或 7.
教师引导学生归纳出根据分式方程无解求字母参数的值的一般步骤：
（1）把分式方程化为整式方程；
（2）分类讨论：①当整式方程无解时，令一次项系数为 0，求出字母参数的值；
②当整式方程的解为分式方程的增根时，令最简公分母为 0，求出未知数的值，把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值.
问题3：当m为何值时，关于x的方程= -的解为负数？
师生活动：出示问题后请一位学生到黑板上解答，并说明理由.
解：方程两边都乘以(x+1)(x-2)，得
m = x2-2x-x2+1，
解得x = .
由该分式方程的解为负数，得
＜ 0 且≠-1 且≠2，
解得m＞1 且m≠3.
故当m＞1 且m≠3 时，关于x的方程= -的解是负数.
归纳出由分式方程的解是正数还是负数求分式方程中字母的取值范围的方法：
（1）先把分式方程去分母并求出方程的解；
（2）再列出不等式（组）求出字母的取值范围.
设计意图：主体活动，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1．已知= 3与= 5 的解相同，求m的值？
例2．已知关于x的分式方程：-1 =．
（1）当a = 5 时，求此方程的解；
（2）当a为何值时，方程的解为正数，请说明理由；
（3）当a为何值时，方程无解，请说明理由．
例3．（2019秋 香坊区期末）为改善交通拥堵状况，我市进行了大规模的道路桥梁建设．已知某路段乙工程队单独完成所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的 1.5 倍，如果按甲工程队单独工作 20 天，再由乙工程队单独工作 30 天的方案施工，这样就完成了此路段的．
（1）求甲，乙工程队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用是 2 万元，乙工程队每天的施工费用为 1.2 万元，要使该项目的工程费不超过 114 万元，则需要改变施工方案，但甲乙两个工程队不能同时施工，乙工程队最少施工多少天才能完成此项工程？
设计意图：通过例题对本节课有初步认识，巩固所学知识.
【答案】
例1.解：= 3，
去分母得：x+1 = 3x-3，
移项合并得：2x = 4，
解得：x = 2，经检验x = 2 是原方程的解，
由题意可知两个方程的解相同，
把x = 2 代入第二个方程得= 5，
解得：m = 10．
例2.解：分式方程去分母得：x2+2x-x2-x+2 = a，
整理得：x+2 = a．
（1）当a = 5 时，x+2 = 5，
解得：x = 3，
经检验：x = 3 是原方程的解．
（2）解关于x的分式方程得，x = a-2，
∵ 方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：a＞2 且a≠3；
（3）∵ 分式方程无解，
∴ (x+2)(x-1)= 0，
∴ x = -2 或x = 1．
当x = -2 时，a = 0；
当x = 1 时，a = 3，
∴ a = 0 或a = 3 时该分式方程无解．
例3.解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要 1.5x天，
依题意，得：+=，
经检验，x = 60 是原方程的解，且符合题意，
∴ 1.5x = 90．
答：甲工程队单独完成这项工程需要 60 天，乙工程队单独完成这项工程需要 90 天．
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工=(60- m)天，
依题意，得：2(60-m)+1.2m≤114，
解得：m≥45．
答：乙工程队最少施工 45 天才能完成此项工程．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1．（2019秋 长垣县期末）从-3，-2，-1，0，1，3 这六个数中，随机抽取一个数，记为a．关于x的方程 = 1 的解是负数，那么这 6 个数中所有满足条件的a的值有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
2．（2020春 仪征市期末）已知关于x的方程= 3 的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜6且m≠4 B．m＜6
C．m＞6且m≠8 D．m＞6
3．花园甜瓜是乐陵的特色时令水果．甜瓜一上市，水果店的小李就用 3000 元购进了一批甜瓜，前两天以高于进价 40% 的价格共卖出 150 kg，第三天她发现市场上甜瓜数量陡增，而自己的甜瓜卖相已不大好，于是果断地将剩余甜瓜以低于进价 20% 的价格全部售出，前后一共获利 750 元，则小李所进甜瓜的质量为（ ）kg．
A．180 B．200 C．240 D．300
4．（2020春 历下区期末）关于x的分式方程= -1 的解是负数，则m的取值范围是 ．
5．一维修工在隧道内抢修，其位置与入口距离为隧道全长的，他听到一列火车向隧道入口驶来，若他尽力奔跑，不论向哪头跑，火车到他跟前时，他都正好走出隧道．设火车的速度为 80 千米/小时，则维修工奔跑的速度是 千米/小时．
设计意图：再次巩固，使学生在参与的过程中得到充足的体验和发展.
【答案】
1.D 2.A 3.B
4.m＞-0.5且m≠0 5.16
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1．（2019秋 颍泉区期末）若关于x的分式方程= 3+有使分母为零的根，则m的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
2．（2020秋 西湖区校级月考）若关于x的分式方程-2 =无解，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．0 或 2 D．无法确定
3．甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3000 米．甲同学先步行600 米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 2 分钟．乙骑自行车的速度是（ ）米/分．
A．600 B．400 C．300 D．150
4．（2020 东坡区模拟）若关于x的方程= +1 的解不大于 4 的正数，则k的取值范围是 ．
5．（2020 历城区二模）若关于x的方程=有増根，则m = ．
6．（2019 九龙坡区模拟）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用 2a，a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运 270 吨．现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为 元．（按每吨运费 20 元计算）
7．（2020 麻城市校级模拟）关于x的分式方程=的解为正数，求m的取值范围．
8．（2020春 巴州区校级期中）当a为何值时，关于x的方程+=无解．
9．（2020 东莞市一模）某工厂准备今年春季开工前美化厂区，计划对面积为 2000 m2 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 480 m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 6 天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若工厂每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.5 万元，要使这次的绿化总费用不超过 10 万元，至少应安排甲队工作多少天？
10．（2020春 南岗区校级月考）某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多 50 元，用 4000 元购进甲种零件的数量是用 1500 元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为 260 元，乙种零件每件售价为190 元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的 2 倍还多 4 个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于 2400 元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
设计意图：灵活运用所学知识，加强学生学习积极性，提高学生思维的广度.
【答案】
1.A 2. C 3.C
4.-1＜k≤3且k≠0 5.5 6.2160
7.解：方程两边都乘以x-3，得：x-5 = -m，
解得x = 5-m，
∵ 分式方程的解为正数，
∴ 5-m＞0 且 5-m≠3，
解得m＜5 且m≠2．
8.解：方程两边同乘(x+2)(x-2)得：(1+a)(x+2)+(x-2)= 3，
整理得：(a+2)x = 3-2a，
（i）当a+2 = 0，即a = -2 时，原方程无解；
（ii）当a+2≠0，原方程有增根x = 2 或-2，
当x = 2 时，2a+4 = 3-2a，即a = -；
当x = -2 时，-2a-4 = 3-2a，无解，
即当a = -2 或-时原方程无解．
9.解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为x m2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为 2x m2，
根据题意得：-= 6，
经检验，x =40 是原方程的解，
∴ 2x = 80．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为 80 m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为 40 m2．
（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作 =(50-2y)天，
根据题意得：0.4y+0.5(50-2y)≤10，
解得：y≥25．
答：至少应安排甲队工作 25 天．
10.解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为(x+50)元，
依题意，得：= 2×，
解得：x = 150，
经检验，x = 150 是分式方程的解，且符合题意，
∴ x+50 = 200．
答：每个甲种零件的进价为 200 元，每个乙种零件的进价为 150 元．
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件(2m+4)个，
依题意，得：(260-200)m+(190-150)(2m+4)＞2400，
解得：m＞16，
∵ m为正整数，
∴ m的最小值为 17．
答：该商店本次购进甲种零件至少是 17 个．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1．（2020 浙江自主招生）关于x的方程= 的解为正整数，且关于x的不等式组，有解且最多有 7 个整数解，则满足条件的所有整数a值之和为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
2.两车在两城间不断往返行驶：甲车从A城开出，乙车从B城开出，且比甲车早出发 1 小时，两车在途中距A、B两城分别为 200 公里和 240 公里的C处相遇；相遇后乙车改为按甲车速度行驶，而甲车却提速若干公里/时，两车恰巧又在C处相遇；然后甲车再次提速 5 公里/时，乙车则提速 50 公里/时，两车恰巧又在C处相遇．那么从起行到第 3 次相遇，乙车共行驶了 小时．
设计意图：考察学生对本节课知识应用到其它知识点的掌握，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.B 2.10.2
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
通过本课时的学习，需要我们……
2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)检；(6)答.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，进一步理解本课知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】