15.3.1分式方程 教案 人教版八年级数学上册

第十五章 分式
·15.3分式方程·
15.3.1分式方程
教案
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学情分析
本节课的主要内容是解分式方程.本节课之前，学生已掌握简单的整式方程的解法，学习过分式的四则运算.分式方程与整式方程在概念上是不同的，但它们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要检验这一环节是学生最容易忘记的，所以在教学中要强调.讲解分式方程的解法时，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性.
二、教学目标
1．了解分式方程的概念，会辨别整式方程与分式方程.
2．掌握解分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程.
3.理解解分式方程时可能无解的原因.
三、重点难点
【教学重点】
解分式方程的基本思路和解法．
【教学难点】
理解解分式方程时可能无解的原因.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
问题1：什么是整式？我们学过哪些整式方程？
师生活动：学生独立思考并作答.
问题2：下列方程中，哪些是整式方程？
①x+1 = 2；②2x+3y = 1；③+= 1(a，b为常数)；④=.
师生活动：出示问题后让学生口答，并说明理由.此题解决后进一步提问方程④有什么特点？让学生思考，教师引入本节课的课题——分式方程.
设计意图：对前面所学知识做归纳总结，为学生进一步学习作铺垫.
第二环节 【合作交流 探索新知】
问题1：方程④=.有什么特点？
师生活动：学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出分式方程的概念：
方程④的分母中含未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
问题2：你能试着解分式方程=吗？
师生活动：鼓励学生尝试不同的解法，并展示在黑板上，学生相互交流.
板书：（其中一种方法）
解方程：=.
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，
得 90×(30-v)= 60×(30+v).
解得v = 6.
检验：将v = 6 代入原方程中，左边==右边，
因此v = 6 是原方程的解.
追问1：将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，小组代表回答结果——关键步骤是“去分母”.
追问2：解分式方程的基本思路？具体做法是什么？
师生活动：学生尝试解释，教师根据学生回答情况进行引导.
教师引导学生归纳：
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
问题3：解方程：=.
师生活动：教师提出问题，学生独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解x = 5.有学生认为x = 5是原分式方程的解，有学生发现当x = 5时，分式，都没有意义，但不能解释其原因.教师组织学生小组讨论，教师适时点拨.最后达成共识：实际上这个分式方程无解.
问题4：回顾解分式方程=和=的过程，你能概括出解分式方程应该注意什么？
师生活动：学生先独立思考，然后小组合作讨论，小组代表发言.
教师巡视，指导学生归纳和表达.
在讨论的基础上，教师引导学生归纳出：
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；
否则，这个解不是原分式方程的解.
设计意图：主体活动，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.解方程：=.
例2.解方程：=-2.
例3.解方程：-1 =.
设计意图：通过例题对本节课有初步认识，巩固所学知识.
【答案】
例1.解：方程两边乘x(x-3)，
得 2x = 3x-9.
解得x = 9.
检验：当x = 9 时，x(x-3)≠0，
所以，原分式方程的解为x = 9.
例2.解：方程两边乘(x-3)，
得 2-x = -1-2(x-3).
解得x = 3.
检验：当x = 3 时，x-3 = 0，
因此x = 3 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
例3.解：方程两边乘(x-1)(x+2)，
得x(x+2)-(x-1)(x+2)= 3.
解得x = 1.
检验：当x = 1 时，(x-1)(x+2)= 0，
因此x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1．下列方程中是分式方程的是（ ）
A．=（x≠0） B．-=
C．=+ D．-= -1
2．（2020 哈尔滨）方程 =的解为（ ）
A．x = -1 B．x = 5 C．x = 7 D．x = 9
3．解分式方程+=分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．最简公分母是(x+1)(x-1)
B．去分母，得 2(x-1)+3(x+1)= 6
C．解整式方程，得x = 1
D．原方程的解为x = 1
4．当x = 时，代数式的值比的值大 1．
5．分式方程+=的解是 ．
设计意图：再次巩固，使学生在参与的过程中得到充足的体验和发展.
【答案】
1.A 2.D 3.D 4.- 5.无解
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1．（2019秋 嘉定区期末）下列关于x的方程： +x = 1，+=，=，= 2中，分式方程的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（2020 武侯区校级模拟）分式方程+1 =的解为（ ）
A．无解 B．x = 1 C．x = -1 D．x = -2
3．分式方程x+= 8+的根是（ ）
A．x = 8 B．x = 1
C．无解 D．有无数多个
4．（2020 包头）分式方程+=1的解是 ．
5．（2020 盐城）分式方程= 0的解为x = ．
6．（2020 樊城区模拟）定义：a*b =，则方程
2*(x+3)= 1*(x+3)的解为 ．
7．解方程：（1）+= 3；（2）-= 0.
8．（2020春 泰兴市校级期中）解方程+=．
9．（2019 长春模拟）小明解方程+= 3 出现了错误，解答过程如下：
方程两边都乘以(x-2)，得1-(1-x)= 3（第一步）
去括号，得 1-1+x = 3（第二步）
移项，合并同类项，得x = 3（第三步）
检验，当x = 3 时x-2≠0（第四步）
所以x = 3 是原方程的解．（第五步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，原方程化为第一步的根据是 ．
（2）请写出此题正确的解答过程．
10．解方程：
① =-1 的解x = ；② =-1 的解x = ；
③ =-1 的解x = ；④=-1 的解x = ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
设计意图：灵活运用所学知识，加强学生学习积极性，提高学生思维的广度.
【答案】
1.C 2. B 3.C
4.x = 5.1 6.无解
7.（1）解：方程两边乘(2x-1)，
得 2x-5 = 3(2x-1).
解得x = -.
检验：当x = -时，2x-1≠0，
所以，原分式方程的解为x = -.
（2）解：方程两边乘x(x-1)，
得 2x-1-(x-1)= 0.
解得x = 0.
检验：当x = 0 时，x(x-1)= 0，
因此， x = 0不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
8.解：方程两边乘x(x+1)(x-1)，
得 2(x+1)-4x = 3(x-1).
解得x = 1.
检验：当x = 1 时，x(x+1)(x-1)= 0，
因此， x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
9.（1）一，去分母；
（2）解方程+= 3.
方程两边乘(x-2)，
得 1-(1-x)= 3(x-2).
解得：x = 3.
检验：当x = 3 时，x-2≠0，
所以，原分式方程的解为x = 3．
10.解：①x = 0；②x = 1；③x = 2；④x = 3．
（1）第⑤个方程：=-1，解为x = 4．
第⑥个方程：=-1，解为x = 5．
（2）第n个方程：=-1，解为x = n-1.
方程两边都乘x+1，得n = 2n-(x+1)．
解得x = n-1，
检验：当x = n-1时， x+1≠0，
所以，原分式方程的解为x = n-1．
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1．+++ =-的解为 ．
2.先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+ = 2+的解为x1 = 2，x2 =；方程x+ = 3+的解为x1 = 3，x2 =；方程x+= 4+的解为x1 = 4，x2 =；…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+= 5+的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+= a+的解是 ；
（3）由（2）可知，在解方程： y+=时，可变形转化为x+= a+的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
设计意图：考察学生对本节课知识应用到其它知识点的掌握，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.x = -3
2.（1）x1 = 5，x2 =；（2）x1 = a，x2 =；
（3）解：y+=.
y+=.
(y+1)+= 3+，
即y1+1 = 3，y2+1 =.
解得：y1 = 2，y2 = -.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，进一步理解本课知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】