15.1.3分式的约分（教案） 人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 15.1.3分式的约分（教案） 人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-18 20:44:08 | ||
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文档简介
第十五章 分式
·15.1分式·
第三课时 分式的约分
教案
班级： 课时： 课型：
一、学情分析
学生在学习过分数的约分和因式分解的基础下学习本节课的内容，为后面分式的乘法除法做铺垫.对于分子分母含有多项式的约分时应注意约分的小窍门，这也是学习分式约分时的难点，需要多加练习.
教学目标
1.了解分式约分的概念和理论根据．
2.理解最简分式的概念，会用分式的基本性质将分式约分．
三、重点难点
【教学重点】
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分．
【教学难点】
约分时最大公因式的确定.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.
2.用公式表示为：
=，=（C≠0）
（其中A，B，C都是整式）
师生互动：老师带领学生以问答形式回顾分式的基本性质.
填空：
=；（2）=；
（3）=；（4）=
设计意图：通过回顾分数的基本性质，从旧知引入新知，既考虑了学生的接受新知的能力，也避免学生对旧知的遗忘.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.化简下面的分数：= =.
师：分数是如何约分的
生：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
2.观察下列化简过程，你能发现什么？
==.
师生活动：小组讨论，共同探究.
师：这一过程实际上是将分式中分子与分母的公因式约去.
引入概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
师：分式约分的依据是什么？
生：分式的基本性质.
3.观察经过约分后的分式，分子与分母还有没有公因式？
师生活动：学生观察式子，思考并尝试找出公因式，发现式子没有公因式.
引入概念：像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
4.被约分成，也是最简分式.
设计意图：本环节通过师生共同观察分析探究，上升到规律的总结，培养了学生抽象概括的能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.约分
（1）；（2）；（3）
例2.约分
（1）；（2）
例3.先约分，再求值：，其中x = 2，y = 3．
设计意图：本环节通过对例题的讲解，使得学生对分式的约分理解更加深入，理解更加透彻.
【答案】
解:（1）原式 ==；
原式 ==；
原式 ==
解:（1）原式 ==
原式 ==2（x-y）
解：∵==-（x-y）=y-x，
其中x = 2，y = 3，
∴ 原式 = y-x = 3-2 = 1．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
（2020 安徽一模）计算的结果为（ ）
A．-a2 B．-a C．a D．a2
2.（2020春 姜堰区期中）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
3.（2019秋 南岸区校级期末）下列约分正确的是（ ）
A.=x3 B. C.= D.=
4.若=，则A = .
5.约分．
（1）；（2）；
（3）；（4）
设计意图：本环节在于夯实基础，通过常见习题的多次练习，加强学生对新知的熟悉程度.
【答案】
B 2. B 3.D 4.m2-3m
5.解：（1）=；
（2）=ab+2；
（3）==；
（4）==.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1．下列分式中，不能再约分的分式有（ ）
①，②，③，④，⑤
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2.（2020春 常州期末）分式可化简为（ ）
A．x-y B． C．x+y D．
3．（2020 清苑区一模）化简正确的是（ ）
A．==
B．==x-1
C．==x+1
D．==
4．M = a2-b2，N = a+b，则M：N的值为 ．
5．（2019春 利辛县期末）下列各式①；②；③；④；⑤中分子与分母没有公因式的分式是 ．（填序号）．
6.（2019秋 江汉区期末）已知分式化简后的结果是一个整式，则常数a = ．
7．（2019秋 西城区校级期中）约分.
（1）；（2）.
8.化简：.
9．已知A = 8x2y6+4xy3-2xy，B = 4xy，求的值（xy≠0）．
10．（2019秋 洛川县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中， 是和谐分式（填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）若a为正整数，且为和谐分式，a = ；
（3）利用和谐分式，化简-÷.
设计意图：通过本环节的练习，深化学生对分式的约分的运用，体现学以致用的教学思想.
【答案】
A 2.C 3.C 4.a-b 5.③⑤ 6.±
（1）==；
（2）==
=
8.解：原式 ==
9.解：因为A = 8x2y6+4xy3-2xy，B = 4xy，
所以==
==2xy5+y2-.
10.（1）②；
（2）∵ 分式为和谐分式，且a为正整数，
∴ a = 4或a = 5；
（3）原式 =-==
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
（2020 浙江自主招生）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
a-b-1 B．a+b-1
C．-a+b+1 D．-a-b+1
2.（2020 浙江自主招生）设a+b+c = abc（abc≠0），化简：= .
设计意图：本环节习题对学生解题的灵活性要求较高，同时拓宽了学生的知识面，体现了分层教学的理念.
【答案】
解:原式= ==，
由数轴可得，a-b＜0，
原式 = -(a-b-1)= -a+b+1．
2.解：分子 = a(1-b2)(1-c2)+b(1-c2)(1-a2)+c(1-a2)(1-b2)
= a(1-b2-c2+b2c2)+b(1-c2-a2+a2c2)+c(1-a2-b2+a2b2)
=(a+b+c)-ab(a+b)-bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc)，
∵ a+b+c = abc，
∴ 分子 = abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)
= abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)
= abc+3abc
= 4abc，
所以==4.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.约分是根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去.
2.约分的最后的结果必须是最简分式.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·15.1分式·
第三课时 分式的约分
教案
班级： 课时： 课型：
一、学情分析
学生在学习过分数的约分和因式分解的基础下学习本节课的内容，为后面分式的乘法除法做铺垫.对于分子分母含有多项式的约分时应注意约分的小窍门，这也是学习分式约分时的难点，需要多加练习.
教学目标
1.了解分式约分的概念和理论根据．
2.理解最简分式的概念，会用分式的基本性质将分式约分．
三、重点难点
【教学重点】
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分．
【教学难点】
约分时最大公因式的确定.
四、教学过程设计
第一环节 【复习旧知 引入新课】
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.
2.用公式表示为：
=，=（C≠0）
（其中A，B，C都是整式）
师生互动：老师带领学生以问答形式回顾分式的基本性质.
填空：
=；（2）=；
（3）=；（4）=
设计意图：通过回顾分数的基本性质，从旧知引入新知，既考虑了学生的接受新知的能力，也避免学生对旧知的遗忘.
第二环节 【合作交流 探索新知】
1.化简下面的分数：= =.
师：分数是如何约分的
生：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
2.观察下列化简过程，你能发现什么？
==.
师生活动：小组讨论，共同探究.
师：这一过程实际上是将分式中分子与分母的公因式约去.
引入概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
师：分式约分的依据是什么？
生：分式的基本性质.
3.观察经过约分后的分式，分子与分母还有没有公因式？
师生活动：学生观察式子，思考并尝试找出公因式，发现式子没有公因式.
引入概念：像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
4.被约分成，也是最简分式.
设计意图：本环节通过师生共同观察分析探究，上升到规律的总结，培养了学生抽象概括的能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.约分
（1）；（2）；（3）
例2.约分
（1）；（2）
例3.先约分，再求值：，其中x = 2，y = 3．
设计意图：本环节通过对例题的讲解，使得学生对分式的约分理解更加深入，理解更加透彻.
【答案】
解:（1）原式 ==；
原式 ==；
原式 ==
解:（1）原式 ==
原式 ==2（x-y）
解：∵==-（x-y）=y-x，
其中x = 2，y = 3，
∴ 原式 = y-x = 3-2 = 1．
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
（2020 安徽一模）计算的结果为（ ）
A．-a2 B．-a C．a D．a2
2.（2020春 姜堰区期中）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
3.（2019秋 南岸区校级期末）下列约分正确的是（ ）
A.=x3 B. C.= D.=
4.若=，则A = .
5.约分．
（1）；（2）；
（3）；（4）
设计意图：本环节在于夯实基础，通过常见习题的多次练习，加强学生对新知的熟悉程度.
【答案】
B 2. B 3.D 4.m2-3m
5.解：（1）=；
（2）=ab+2；
（3）==；
（4）==.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1．下列分式中，不能再约分的分式有（ ）
①，②，③，④，⑤
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2.（2020春 常州期末）分式可化简为（ ）
A．x-y B． C．x+y D．
3．（2020 清苑区一模）化简正确的是（ ）
A．==
B．==x-1
C．==x+1
D．==
4．M = a2-b2，N = a+b，则M：N的值为 ．
5．（2019春 利辛县期末）下列各式①；②；③；④；⑤中分子与分母没有公因式的分式是 ．（填序号）．
6.（2019秋 江汉区期末）已知分式化简后的结果是一个整式，则常数a = ．
7．（2019秋 西城区校级期中）约分.
（1）；（2）.
8.化简：.
9．已知A = 8x2y6+4xy3-2xy，B = 4xy，求的值（xy≠0）．
10．（2019秋 洛川县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中， 是和谐分式（填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）若a为正整数，且为和谐分式，a = ；
（3）利用和谐分式，化简-÷.
设计意图：通过本环节的练习，深化学生对分式的约分的运用，体现学以致用的教学思想.
【答案】
A 2.C 3.C 4.a-b 5.③⑤ 6.±
（1）==；
（2）==
=
8.解：原式 ==
9.解：因为A = 8x2y6+4xy3-2xy，B = 4xy，
所以==
==2xy5+y2-.
10.（1）②；
（2）∵ 分式为和谐分式，且a为正整数，
∴ a = 4或a = 5；
（3）原式 =-==
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
（2020 浙江自主招生）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
a-b-1 B．a+b-1
C．-a+b+1 D．-a-b+1
2.（2020 浙江自主招生）设a+b+c = abc（abc≠0），化简：= .
设计意图：本环节习题对学生解题的灵活性要求较高，同时拓宽了学生的知识面，体现了分层教学的理念.
【答案】
解:原式= ==，
由数轴可得，a-b＜0，
原式 = -(a-b-1)= -a+b+1．
2.解：分子 = a(1-b2)(1-c2)+b(1-c2)(1-a2)+c(1-a2)(1-b2)
= a(1-b2-c2+b2c2)+b(1-c2-a2+a2c2)+c(1-a2-b2+a2b2)
=(a+b+c)-ab(a+b)-bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc)，
∵ a+b+c = abc，
∴ 分子 = abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)
= abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)
= abc+3abc
= 4abc，
所以==4.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.约分是根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去.
2.约分的最后的结果必须是最简分式.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】