30.4 二次函数的应用 同步练习
1、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k＝—————————
2、已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O，求这条抛物线的顶点P的坐标
3、、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）（A） （B） （C）（D）
4、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为___________________．
5、已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式.
6、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（10分）
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
7、已知函数的图象经过点（3,2）．求这个函数的解析式；并指出图象的顶点坐标；当时，求使的x的取值范围．
8、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A．＝4 B. ＝3 C. ＝－5 D. ＝－1。
9、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1)
10、已知二次函数，则当 时，其最大值为0．
11、抛物线与直线交于点，求这两个函数的解析式。
12、二次函数的图象过点和两点，且对称轴是直线，求该函数的解析式。
13、某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
14、已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
15、已知二次函数的最小值为1，求m的值．
16、如图（1），在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
图（1） 图（2）
17、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？
18、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
19、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．
（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，
写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，
并求出S的最小值．
20、如图（2），在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
21、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
22、如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
23、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
参考答案
1．–3 2．（２，－４） ３．Ａ
４．ｙ＝－(ｘ＋２)2 －５
５．ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ＋３
6、(1)7.5元 6125元 （2） 5元
7、y=x2-2x-1 （1, -2） x≥3
8、D 9、C 10、1/2
11、y= y= 。 + 4
12、
13、14元 360元
14、C
15． m=10。
16. （1）AE+EC=AC，而EC=DF=y，所以AE=AC–y=8–y
（2）∵ ∴ ∴ 其中
（3）四边形DECF的面积为DE与DF的乘积，所以S=xy=x（8–2x）
即 ，所以S的最大值为8。
17．（1）配方得 ，所以对称轴为x=13，而开口又向下，所以在对称轴左边是递增的，对称轴右边是递减的。所以x在[0，13]时学生的接受能力逐步增强，在[13，30]时学生的接受能力逐步降低。
（2）代入x=10得=59
（3）在二次函数顶点处学生的接受能力最强，即在第13分时接受能力最强。
18． （1）由题意，3x+BC=24，所以 ，而面积S=BC×AB=
即
（2）即S=45，代入得，解得x=5，即AB=5米
（3）
∵BC的最大长度为10m，即，∴，∴x∈[，8]∵对称轴为x=4且开口向下 ∴在[，8]上函数递减
∴当x=时取得最大值=，所以能围出比45 m2更大的花圃。当AB= 米的时候即取得最大值 m2
19．（1）因为AB=3，BC=4，根据勾股定理得到AC=5，又在△AGE和△ADC中，，即，即。同理，即，即。
而EG+FH=EF，即，又AE+FC+EF=AC=5，所以AE+FC=5-EF，所以
，解得
（2）EG=x，则由得。
△AGE的面积=AG×GE=×= 。△ADC的面积=FH×HC=×==，所以S=+= 其中。配方得，当x=时取得最小值
20． A点为发球点，B点为最高点。球运行的轨迹是抛物线，因为其顶点为（9，5．5）所以设，再由发球点坐标（0，1．9）代入得，所以解析式为代入C点的纵坐标0，得y≈20.12>18，所以球出边线了。
21. （1）设二次函数为代入三点坐标（0，0），（1，-1.5），（2，-2），解得
, , ，所以二次函数为
（2）代入s=30得，解得t=10所以截止到10月末公司累积利润可达到30万元（3）第8个月所获利润即是前八月利润减去前七月利润
即=，所以第8个月公司获利万元。
22．（1）篮球的运行轨迹是抛物线，建立如图所示的坐标系
因为顶点是（0，3.5），所以设二次函数的解析式为，
又篮圈所在位置为（4-2.5，3.05），代入解析式得，得
所以函数解析式为（2）设球的起始位置为（-2.5，y），则=2.25即球在离地面2.25米高的位置，所以运动员跳离地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2 即球出手时，运动员跳离地面的高度为0.2米。
23、(1) 按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。现在单价定为每千克55元，即涨了5元，所以月销售量减少50kg，所以月销售量为500-50=450kg，月销售利润为（55-40）×450=6750 元。
(2) 设销售单价为每千克x元，则上涨了x-50元，月销售量减少（x-50）×10kg，即月销售量为500-10（x-50），所以利润为y=[500-10（x-50）] ×（x-40），
即
(3)月销售利润达到8000元，即，解得x=60或x=80
当x=60时，销售量为500-10（60-50）=400，
当x=80时，销售量为500-10（80-50）=200
而月销售量不超过10000元，即销售量不超过，而400>250，所以x=60应舍去，所以销售单价应定于80元。
30.4二次函数的应用
教学设计思想：本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题，重点是实际应用题，在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系，在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来，融会贯通，使学生的认识更加深刻。另外，在利用图像法解方程时，图像应画得准确一些，使求得的解更准确，在求解过程中体会数形结合的思想。
教学目标：
1．知识与技能
会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。
2．过程与方法
通过本节内容的学习，提高自主探索、团结合作的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。
3．情感、态度与价值观
通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。
教学重点：解决与二次函数有关的实际应用题。
教学难点：二次函数的应用。
教学媒体：幻灯片，计算器。
教学安排：3课时。
教学方法：小组讨论，探究式。
教学过程：
第一课时：
Ⅰ.情景导入：
师：由二次函数的一般形式y=（a≠0），你会有什么联想？
生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式（a≠0）。
师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决。
现在大家来做下面这两道题：（幻灯片显示）
1．解方程。
2．画出二次函数y=的图像。
教师找两个学生解答，作为板书。
Ⅱ.新课讲授
同学们思考下面的问题，可以共同讨论：
1．二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标是什么？它与方程的根有什么关系？
2．如果方程（a≠0）有实数根，那么它的根和二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标有什么关系？
生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2；方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。
生乙：我们经过讨论，认为如果方程（a≠0）有实数根，那么它的根等于二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标。
师：说的很好；
教师总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。
师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。
[学法]：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
问题：已知二次函数y=。
（1）观察这个函数的图像（图34-9），一元二次方程=0的两个根分别在哪两个整数之间？
（2）①由在0至1范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程=0精确到十分位的正根吗？
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y
-1
-0.89
-0.76
-0.61
-0.44
-0.25
-0.04
-0.19
0.44
0.71
1
②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程=0精确到百分位的正根吗？
x
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
y
-0.040
-0.018
0.004
0.027
0.050
0.073
0.096
0.119
0.142
0.166
0.190
（3）请仿照上面的方法，求出一元二次方程=0的另一个精确到十分位的根。
（4）请利用一元二次方程的求根公式解方程=0，并检验上面求出的近似解。
第一问很简单，可以请一名同学来回答这个问题。
生：一个根在（-2，-1）之间，另一个在（0，1）之间；根据上面我们得出的结论。
师：回答的很正确；我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第（2）问。
教师分析：我们知道方程的一个根在（0，1）之间，那么我们观看（0，1）这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢？
生：通过列表可以看出，在（0.6，0.7）范围内，y值有-0.04至0.19，如果方程精确到十分位的正根，x应该是0.6。
类似的，我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。
对于第三问，教师可以让学生自己动手解答，教师在下面巡视，观察其中发现的问题。
最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。
教师总结：我们发现，当二次函数（a≠0）的图像与ｘ轴有交点时，根据图像与ｘ轴的交点，就可以确定一元二次方程的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的ｘ的值进行细分，并求出相应得ｙ值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程所要求的精确度的近似解。
Ⅲ.练习
已知一个矩形的长比宽多3m，面积为6。求这个矩形的长（精确到十分位）。
板书设计：
二次函数的应用（1）
一、导入 总结：
二、新课讲授 三、练习
第二课时：
师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例？
生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。
师：好，看这样一个问题你能否解决：
活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。
回答下面的问题：
1．设每个小矩形一边的长为xm，试用x表示小矩形的另一边的长。
2．设四个小矩形的总面积为y，请写出用x表示y的函数表达式。
3．你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？
4．你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？
学生思考，并小组讨论。
解：已知周长为40m，一边长为xm，看图知，另一边长为m。
由面积公式得 y=（x·）
化简得 y=
代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=4，y=5。y的最大值为5。
画函数图像：
通过图像，我们知道y的最大值为5。
师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢？
生：两种；一种是画函数图像，观察最高（低）点，可以得到函数的最值；另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。
师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。
总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法：
（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。
（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。
师：现在利用我们前面所学的知识，解决实际问题。
活动2：如图34-11，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，
（1）AC=______;
（2）设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.
（3）总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？
（4）总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置？
教师讲解：二次函数进行配方为y=，当a>0时，抛物线开口向上，此时当x=时，；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x=时，。对于本题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为0≤x≤2。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x的取值范围。
解答过程（板书）
解：（1）当BC=x时，AC=2-x（0≤x≤2）。
（2）S△CDE=,S△BFG=,
因此，S=+=2-4x+4=2+2，
画出函数S=+2（0≤x≤2）的图像，如图34-4-3。
（3）由图像可知：当x=1时，；当x=0或x=2时，。
（4）当x=1时，C点恰好在AB的中点上。
当x=0时，C点恰好在B处。
当x=2时，C点恰好在A处。
[教法]：在利用函数求极值问题，一定要考虑本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取得范围内画。
练习：
如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP，并且交DC与点Q。
（1）Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗？为什么？
（2）当点P在什么位置时，Rt△ADQ的面积最小？最小面积是多少？
小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，则可求某些实际问题中的极值，求极值时可把配方为y=的形式。
板书设计：
二次函数的应用（2）
活动1： 总结方法：
活动2： 练习：
小结：
第三课时：
我们这部分学习的是二次函数的应用，在解决实际问题时，常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。
师：在日常生活中，有哪些量之间的关系是二次函数关系？大家观看下面的图片。
（幻灯片显示交通事故、紧急刹车）
师：你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗？
学生思考，讨论。
师：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离。刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。
请看下面一个道路交通事故案例：
甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方。同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了。事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离是12m，乙车的刹车距离超过10m，但小于12m。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离S甲（m）与车速x（km/h）之间的关系为S甲=0.1x+0.01x2，乙车的刹车距离S乙（m）与车速x（km/h）之间的关系为S乙=。
教师提问：1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗？甲车是否违章超速？
2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗？乙车是否违章超速？
学生思考！教师引导。
对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2：
（1）当S甲=12时，我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。
（2）当S甲=11时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗？
（3）由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短，就一定能说明事故责任者是甲车吗？为什么？
生甲：我们能知道甲车刹车前的行驶速度，知道甲车的刹车距离，又知道刹车距离与车速的关系式，所以车速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲车没有违章超速。
生乙：同样，知道乙车刹车前的行驶速度，知道乙车的刹车距离的取值范围，又知道刹车距离与车速的关系式，求得x在40km/h与48km/h（不包含40km/h）之间。可见乙车违章超速了。
同学们，从这个事例当中我们可以体会到，如果二次函数y=（a≠0）的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程=M，确定它所对应得x值，这样，就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了。
下面看下面的这道例题：
当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：
v/（km/h）
40
60
80
100
120
s/m
2
4.2
7.2
11
15.6
（1）在平面直角坐标系中描出每对（v，s）所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。
（2）利用图像验证刹车距离s（m）与车速v（km/h）是否有如下关系：
。
（3）求当s=9m时的车速v。
学生思考，亲自动手，提高学生自主学习的能力。
教师提问，学生回答正确答案，教师再进行讲解。
课上练习：
某产品的成本是20元/件，在试销阶段，当产品的售价为x元/件时，日销量为（200-x）件。
（1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式。
（2）当日销量利润是1500元时，产品的售价是多少？日销量是多少件？
（3）当售价定为多少时，日销量利润最大？最大日销量利润是多少？
课堂小结：本节课主要是利用函数求极值的问题，解决此类问题时，一定要考虑到本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取的范围内画。
板书设计：
二次函数的应用（3）
一、案例 二、例题
分析： 练习：
总结：
课件8张PPT。30.4二次函数的应用（1） 二次函数有着广泛的应用，利用二次函数的图
像，我们可以求出一元二次方程的近似解，通过建
立二次函数模型并利用它的有关性质，还可以解决
一些实际问题．做一做1. 解方程x2-x-2=02. 画出二次函数y=x2-x-2的图像大家谈谈 1、二次函数y=x2-x-2的图像与x轴交点的横
坐标是什么？它与方程x2-x-2=0的根有什么关系？ 2、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那
么它的根和二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交
点的横坐标有什么关系？ 一般地，如果二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图像与x轴相交，
那么交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c=0的根．x1=2 x2=-1x1=2 x2=-1与方程的根相同一起研究：已知二次函数y=x2+x-1． 1. 观察这个函数的图像，一元二次方程
x2+x-1=0的两个根分别在哪两个整数之间？ 2.（1）由在0至1范围内的x值所对应的y值
（见下表），你能说出一元二次方程x2+x-1=0
精确到十分位的正根吗？ （2）由0.6至0.7范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程x2+x-1=0精确到十分位的正根吗？ 3. 请仿照上面的方法，求出一元二次方程x2+x-1=0的另一个精确到十分位的根． 4. 请利用一元二次方程的求根公式解方程x2+x-1=0，
并验证上面求出的近似解． 我们发现，当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有交点时，根据图像与x轴的交点，就可以确定一元二次方程ax2+bx+c=0的根在哪两个连续整数之间，为了得到更精确的近似值，对在这两个连续整数之间的x值进行细分，并求出相应的y值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程ax2+bx+c=0所要求的精确度的近似值．练习 已知一个矩形的长比宽多3m，面积为6m2，求这个矩形的长（精确到十分位）．解：设矩形的长为 x m，则宽为（x-3）m，
依题意得：x（x-3）=6 即x2-3x-6=0令y=x2-3x-6，则此二次函数的图像为：所以x介于4和5之间，见下表：-2-1.49-0.96-0.410.160.75所以x介于4.3和4.4之间，见下表：-0.41-0.35-030-0.24-0.18-0.13-0.07所以 x≈４.４作业：课本： 习题 1、2
预习下一节内容．
