2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（1）（含解析）

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2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　）
A．2 B．5 C．10 D．12
3．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（　　）
A．76° B．38° C．24° D．33°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
5．若要得到抛物线y＝（x+5）2﹣3，可以将抛物线y＝x2（　　）
A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
8．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，E，C，G是的四等分点，线段EF，CD，GH都与弦AB垂直，若AO＝6，那么线段AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O 　 　（填“上”、“内部”或“外部”）．
12．已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则这个圆柱的全面积为 　 　cm2．
13．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 　 　秒．
14．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2+c的图象交于A（﹣1，1），B（2，4）两点，则当kx+b＞ax2+c时，x的取值范围为 　 　．
15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．将一组完全一样的宽1cm，高5cm的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示．其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角α的正切值为．
（1）求DF的长为 　 　cm．
（2）若③号骨牌与地面的夹角β的正切值为，则BD的长为 　 　cm．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：．
18．ETC（Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过A通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0）和B（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果点E（4，m）在该函数图象上，求△ABE的面积．
20．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝　 　度，∠ADG＝　 　度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）学生DF身高1.5米，为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
22．某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是 　 　元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
23．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上一点（点E不与点B、C重合），过点A作AF⊥AE，交边CD的延长线于点F，直线EF分别交射线AC、射线AD于点M、N．
（1）当点E在边BC上时，如果，求∠BAE的余切值；
（2）当点E在边BC延长线上时，设线段BE＝x，y＝EN MF，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当CE＝3时，求△EMC的面积．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据已知条件设m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．
【解析】解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
2．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　）
A．2 B．5 C．10 D．12
【答案】B
【思路点拨】设袋中有红球x个，根据概率公式结合摸出红球的概率为，列出方程，解方程即可．
【解析】解：设袋中有红球x个，
由题意得：＝，
解得：x＝5，
即袋中红球的个数为5，
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（　　）
A．76° B．38° C．24° D．33°
【答案】B
【思路点拨】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解析】解：∵＝，∠AOB＝76°，
∴∠C＝∠AOB＝38°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵sinA＝，
∴cosB＝sinA＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，熟练掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
5．若要得到抛物线y＝（x+5）2﹣3，可以将抛物线y＝x2（　　）
A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】B
【思路点拨】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解析】解：将抛物线y＝x2先向左平移5个单位长度，得：y＝（x+5）2，再向下平移3个单位长度，得：y＝（x+5）2﹣3，
故选：B．
【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行判断．
【解析】解：∵AB＝2AD，
∴＝2，
当＝时，DE∥BC，
∴＝＝2，
即＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
7．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【答案】B
【思路点拨】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解析】解：∵y＝﹣2x2+x﹣m
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【思路点拨】根据H是AB的黄金分割点求出AH2＝BH AB，求出，S2＝BH BC＝BH AB，再得出答案即可．
【解析】解：∵H是AB的黄金分割点，
∴AH2＝BH AB，
∵，S2＝BH BC＝BH AB，
∴S1＝S2，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．
9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，E，C，G是的四等分点，线段EF，CD，GH都与弦AB垂直，若AO＝6，那么线段AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理以及圆的对称性即可求出答案．
【解析】解：如图，由题意可知，延长CD一定过圆心O，连接OE交AD于点M，
∵∠AOB＝120°，E，C，G是的四等分点，线段EF，CD，GH都与弦AB垂直，
∴AD＝BD，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝30°，
∵EF⊥AD，OD⊥AD，
∴EF∥OD，
∴∠FEM＝∠DOM＝30°，
在Rt△EFM中，∠FEM＝30°，
∴FM＝EM，
同理DM＝OM，
∴FM+DM＝（EM+OM）
即DF＝OE，
在Rt△AOD中，∠OAD＝＝30°，
∴OD＝OA＝3，AD＝OA＝3，
∵OD＝OA＝6，
∴DF＝OD＝3，
∴AF＝AD﹣DF＝3﹣3，
故答案为：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理以及圆的对称性，掌握圆的对称性，勾股定理、垂径定理是正确解答的前提．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】连接DO，OF，然后SSS，可以判定△DAO≌△DFO，从而可以得到∠DFO的度数，再根据折叠的性质可知∠DFE＝90°，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，本题得以解决．
【解析】解：连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中，
，
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝2+x，BE＝4﹣x，OB＝2，
∵∠OBE＝90°，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O 　内部　（填“上”、“内部”或“外部”）．
【答案】内部
【思路点拨】根据点和圆的位置关系得出即可．
【解析】解：∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离是d，当d＞r时，点在圆外，当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
12．已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则这个圆柱的全面积为 　20π　cm2．
【答案】20π．
【思路点拨】先求出圆柱的底面积与侧面积，再根据全面积等于两个底面与一个侧面的面积之和计算即可得解．
【解析】解：底面积＝πr2＝π 22＝4π（cm2），
侧面积＝2πr l＝2π×2×3＝12π（cm2），
所以，圆柱的全面积＝2×4π+12π＝8π+12π＝20π（cm2）．
故答案为：20πcm2．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形并熟悉圆柱有两个底面和一个侧面是解题的关键．
13．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 　2　秒．
【答案】2．
【思路点拨】当h＝10米时，得10＝t2+10t，解方程即可得到答案．
【解析】解：当小球飞行的高度h为10米时，即h＝10米，
∴10＝t2+10t，
解得t1＝t2＝2，
∴当飞行2秒时，它的飞行高度为10米．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根据题意建立方程是解决问题的关键．
14．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2+c的图象交于A（﹣1，1），B（2，4）两点，则当kx+b＞ax2+c时，x的取值范围为 　﹣1＜x＜2　．
【答案】﹣1＜x＜2．
【思路点拨】根据题意可知当一次函数图象在二次函数图象上方的部分的自变量的取值，即为不等式的解集，根据两个函数图象的交点的横坐标，即可求解．
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2+c的图象交于A（﹣1，1），B（2，4）两点，
∴当kx+b＞ax2+c时，x的取值范围为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点睛】本题考查了根据交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 　2π　．
【答案】2π．
【思路点拨】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∴AC＝2，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴S扇形CAE＝＝2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16．将一组完全一样的宽1cm，高5cm的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示．其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角α的正切值为．
（1）求DF的长为 　2　cm．
（2）若③号骨牌与地面的夹角β的正切值为，则BD的长为 　　cm．
【答案】（1）2 （2）
【思路点拨】（1）根据题意，在Rt△DE'F中，根据②号骨牌与地面夹角α的正切值为，E'F＝1，即可求得DF的长；
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，根据题意，在Rt△BMN中，由边角关系可知，设MN＝k（k＞0），则BN＝3k，根据勾股定理即可求出k，得到MN、BN的长；在Rt△PMN中，由边角关系可得PN的长，进而求得BP的长；在Rt△PC'D中，由边角关系可得PC′的长，再根据勾股定理求得PD的长，即可得到BD的长．
【解析】解：（1）在Rt△DE'F中，∠DFE'＝90°，E'F＝1，
∵，
∴DF＝2E'F＝2，
故答案为：2；
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，如图2所示：
则∠BNM＝90°，∠DC'P＝90°，BM＝5，∠MPN＝α，C'D＝1，
若③号骨牌与地面的夹角β的正切值为，
在Rt△BMN中，，
设MN＝k（k＞0），则BN＝3k，根据勾股定理，得MN2+BN2＝BM2，
∴k2+（3k）2＝52，
解得：，
∴，，
在Rt△PMN中，，
∴，
在Rt△PC'D中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的应用，理清题意，熟练掌握锐角三角函数的定义，正确的添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：．
【思路点拨】先代入并计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解析】解：原式＝1﹣sin45°++×
＝1﹣++×
＝1+
＝．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．ETC（Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过A通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
【思路点拨】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图，共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，由概率公式即可得到结论．
【解析】解：（1）小李通过A通道的概率为 ；
（2）画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
∴P（小李和小赵经过相同通道）＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0）和B（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果点E（4，m）在该函数图象上，求△ABE的面积．
【思路点拨】（1）把A，B两点坐标代入二次函数y＝x2+bx+c得关于b，c的二元一次方程组，解方程组求出b，c即可；
（2）先令二次函数y＝x2﹣4x+3的函数值y＝0，列出关于x的一元二次方程，从而求出抛物线与x轴的交点坐标，再把E（4，m）代入二次函数y＝x2﹣4x+3得E点坐标，最后根据△ABE的面积＝梯形BEAO的面积﹣△AOB的面积，列出算式进行计算即可．
【解析】解：（1）把点A（1，0）和B（0，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如右图所示：
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
∴二次函数与x轴交点坐标为C（3，0），A（1，0），
把点E（4，m）代入y＝x2﹣4x+3得：
m＝42﹣4×4+3
＝16﹣16+3
＝3，
∴点E（4，3），
∴BE＝|4﹣0|＝4，OA＝1，OB＝4，
∴△ABE的面积＝梯形BEAO的面积﹣△AOB的面积
＝
＝
＝
＝6．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式．
20．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝　60　度，∠ADG＝　30　度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）学生DF身高1.5米，为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）
【思路点拨】（1）根据题意得出∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）根据题意，先求得AG＝2，解Rt△ADG即可求解；
（3）根据题意得出AC＝CD＝3，解Rt△AGC，得出，然后根据AB＝AG+GB，即可求解．
【解析】解：（1）依题意，DG⊥AG，
∵∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
∴∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，
∴∠ACG＝90°﹣∠CAG＝60°；∠ADG＝90°﹣∠DAG＝30°，
故答案为：60；30；
（2）∵AB＝3.5，DF＝1.5，
∴AG＝AB﹣BG＝3.5﹣1.5＝2，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴（米），
∵BF＝GD，
∴图中BF的长度为2米；
（3）∵∠DAC＝30°，∠ADG＝30°，
∴AC＝CD＝3，
∴（米），
∴BA＝AG+GB＝（米），
∴设备的最低安装高度BA是4.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理得∠P＝∠C，而∠1＝∠C，则∠1＝∠P，于是根据平行线的判定即可得到CB∥PB；
（2）解：连接OC，如图，有（1）得∠1＝∠P＝30°，再根据垂径定理得到＝，则利用圆周角定理得∠BOC＝2∠P＝60°，于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB＝BC＝3，
易得⊙O的直径为6．
【解析】（1）证明：∵∠P＝∠C，
而∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
22．某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是 　（x﹣50）　元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
【思路点拨】（1）用售价﹣成本＝利润得出结论；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（55，70）和（60，60）代入解析式，即可得到结论；
（3）根据每天获得的利润＝单件服装的利润×销售量列出函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）每件服装的利润为（x﹣50）元，
故答案为：（x﹣50）；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（55，70）和（60，60）代入上式得，，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+180；
（3）由题意得，w＝（x﹣50）（﹣2x+180）﹣600＝﹣2（x﹣70）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为200，
∴售价为70元时，当日的利润最大，最大利润是200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上一点（点E不与点B、C重合），过点A作AF⊥AE，交边CD的延长线于点F，直线EF分别交射线AC、射线AD于点M、N．
（1）当点E在边BC上时，如果，求∠BAE的余切值；
（2）当点E在边BC延长线上时，设线段BE＝x，y＝EN MF，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当CE＝3时，求△EMC的面积．
【思路点拨】（1）根据全等三角形、相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义进行计算即可；
（2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出EN MF＝AE2，再根据勾股定理得出AE2＝36+x2即可；
（3）利用相似三角形的判定和性质求出△EMC的边CE上的高MP即可．
【解析】（1）解：如图1，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝6，∠B＝∠ADC＝90°＝∠ADF，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°＝∠DAF+∠DAE，
∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，DF＝BE，
∵，AD＝6＝DN+AN，
∴DN＝1，AN＝5，
∵DN∥EC，
∴＝，
设BE＝x，则DF＝x，EC＝6﹣x，
∴＝，
解得x＝2或x＝3，
经检验，x＝2，x＝3都是原方程的根，
∴BE＝2或BE＝3，
在Rt△ABE中，
cot∠BAE＝＝＝3或cot∠BAE＝＝＝2，
答：∠BAE的余切值为2或3；
（2）如图2，由（1）得AE＝AF，
∵AE⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∵∠AEF＝45°＝∠MAN，∠M＝∠M，
∴△MAN∽△MFA，
∴∠ANE＝∠MAF，
∴△ANE∽△MAF，
∴＝，
∴EN MF＝AE AF＝AE2，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝x，
∴AE2＝AB2+BE2＝36+x2，
∴y＝EN MF，
∴y＝36+x2（x＞6）；
（3）当点E在BC上时，如图1，过点M作MP⊥BC，垂足为P，
∵CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3，
由（1）可知，当BE＝3时，DN＝1，
∴AN＝6﹣1＝5，
∵AN∥EC，
∴△AMN∽△CME，
∴＝＝，
∵AC＝＝6，
∴MC＝AC＝，
在Rt△PMC中，
PM＝MC＝，
∴△EMC的面积为CE MP＝×3×＝；
当点E在BC的延长线上时，如图2，过点M作MP⊥BC，垂足为P，
由（1）可得，DF＝BE＝6+3＝9，
由＝得，＝，
解得DN＝，
∴AN＝6+＝，
由△MCE∽△MAN得，
＝，
即＝，
解得MP＝，
∴△EMC的面积为CE MP＝×3×＝；
综上所述，△EMC的面积为或．
【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，由对称性质知A（﹣1，0），B（3，0），将A、B关坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F关于直线x＝1对称，即可求解；
（3）分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ＝OB三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，将A，B两点坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点C，令x＝0，得y＝3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（3，0）、C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
点E、F关于直线x＝1对称，又点E到对称轴的距离为1，
∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，
将x＝2代入y＝﹣x+3中，得：y＝﹣2+3＝1，
∴F（2，1）；
（3）△BOQ能为等腰三角形．理由如下：
如图，连接BC交MN于Q，
∵M（2t，0），MN⊥x轴，
∴Q（2t，3﹣2t），
∵△BOQ为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
①当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB，
∴OM＝MB
∴2t＝3﹣2t，
∴t＝；
②当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中，
∵∠OBQ＝45°，
∴，
∴，即，
∴；
③当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0，
而t＞0，故不符合题意．
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了考查了待定系数法求解析式，抛物线的对称性质，等腰三角形的性质．解题的关键是要注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
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