2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（4）（含解析）

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2023-2024学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（4）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）
2．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在”I“所示区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，若CD＝8，BD＝2，则AB的长为（　　）
A．2 B．10 C．12 D．5
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且满足BC∥OD，若∠AOD＝130°，则∠BDC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．65°
7．在平行四边形ABCD中，如果点CM＝2DM，AM与BD相交于点N，那么△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：24 B．1：15 C．1：12 D．1：9
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　）
A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0
9．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（　　）
A． B． C． D．5
10．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．24﹣16 D．48﹣32
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 　 　．
12．已知线段a＝2cm、b＝8cm，那么线段a、b的比例中项等于 　 　cm．
13．如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC的长为 　 　．
14．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则的长 　 　．
15．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 　 　．
16．已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是 　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：．
18．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使；
（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．
19．为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
（1）若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为 　 　；
（2）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
21．公园草坪上有一架秋千OA，秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为α，sinα＝，已知秋千的长OA＝2m．
（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求A'到地面的距离；
（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰△PCD帐篷，已知BC＝0.6m，CD＝2m，帐篷的高PH为1.8m，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？
22．如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：①AD是⊙O的切线；
②△ACD∽△BAD；
（2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半径．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m，线段AB的两个端点分别为A（1，3），B（7，3）．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）若m＝4，且对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥6时，均满足y1≥y2，求t的取值范围；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
24．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．
（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；
（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin∠BCD的值；
（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【答案】C
【思路点拨】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．也可以利用顶点公式求解．
【解析】解：抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（0，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
2．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在”I“所示区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】用“Ⅰ”所示区域的圆心角除以周角即可．
【解析】解：由图知，指针落在数字“Ⅰ”所示区域内的概率是＝＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵，
∴3（x+3y）＝2y，
∴3x+9y＝2y，
∴3x＝2y﹣9y，
∴3x＝﹣7y，
∴＝﹣，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
【思路点拨】根据平行线分线段成比例，由DF∥AC得到＝，则可对A进行判断；由DE∥BC得到＝，则可对C进行判断；利用等量代换接着得到＝，则可对B进行判断；然后由DE∥BC得到＝，则可对D进行判断．
【解析】解：∵DF∥AC，
∴＝，所以A选项错误；
∵DE∥BC，
∴＝，所以C选项错误；
而＝，
∴＝，
∵DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴CF＝DE，
∴＝，即＝，所以B选项错误；
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
5．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，若CD＝8，BD＝2，则AB的长为（　　）
A．2 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【思路点拨】先根据垂径定理求得DE，然后根据勾股定理求出BE，再连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣BE，在Rt△ODE中利用勾股定理求出r的值，进而可得出AB的长．
【解析】解：∵AB⊥CD，CD＝8，BD＝2，
∴DE＝CE＝4，
∴BE＝＝＝2，
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，
OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，
∴AB＝10．
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且满足BC∥OD，若∠AOD＝130°，则∠BDC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．65°
【答案】C
【思路点拨】根据邻补角定义求出∠BOD，再根据平行线的性质求出∠ABC，进而根据直径所对的圆周角为直角求得∠BAC，根据圆周角定理得出∠BDC．
【解析】解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°，
∵BC∥OD，
∴∠ABC＝∠BOD＝50°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
7．在平行四边形ABCD中，如果点CM＝2DM，AM与BD相交于点N，那么△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：24 B．1：15 C．1：12 D．1：9
【答案】A
【思路点拨】先证明△DMN∽△BAN，进一步得到，则S△BAN＝9S△DMN，S△ADN＝3S△DMN，得到S△ABD＝S△BAN+S△ADN＝12S△DMN，则S ABCD＝2S△ABD＝24S△DMN，即可得到答案．
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAN＝∠DMN，∠ABN＝∠MDN，
∴△DMN∽△BAN，
∴，
∵CM＝2DM，
∴AB＝CD＝3DM，
∴，
∴，，
∴S△BAN＝9S△DMN，S△ADN＝3S△DMN，
∴S△ABD＝S△BAN+S△ADN＝12S△DMN，
∴S ABCD＝2S△ABD＝24S△DMN，
即△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为1：24，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△DMN∽△BAN是解题的关键．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　）
A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0
【答案】C
【思路点拨】用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对选项C进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对选项D进行判断．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
9．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A
【思路点拨】先利用格点、勾股定理求出AB、BC、AC的长，再利用勾股定理的逆定理说明三角形的形状，最后求出∠BAC的正弦．
【解析】解：由题图知AB＝＝5，
BC＝＝，
AC＝＝，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和逆定理是解决本题的关键．
10．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．24﹣16 D．48﹣32
【答案】C
【思路点拨】如图，连接OA，OB．设AF＝EF＝EG＝BG＝x，则FG＝x．构建方程求出x，可得结论．
【解析】解：如图，连接OA，OB．设AF＝EF＝EG＝BG＝x，则FG＝x．
由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形，
∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∴2x+x＝2，
∴x＝2﹣2，
∴阴影部分的面积＝4××（2）×（2﹣2）＝24﹣16．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 　（0，2）　．
【答案】（0，2）．
【思路点拨】令x＝0，求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．
【解析】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，
即y＝﹣4+6＝2，
则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令x＝0，求出y的值，此题难度不大．
12．已知线段a＝2cm、b＝8cm，那么线段a、b的比例中项等于 　4　cm．
【答案】4．
【思路点拨】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．
【解析】解：∵线段a＝2cm，b＝8cm，
∴线段a、b的比例中项＝＝4（cm）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．
13．如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC的长为 　2　．
【答案】2．
【思路点拨】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADB＝60°，然后解直角三角形即可求解．
【解析】解：∵OA⊥BC，，
∴＝，CE＝BE＝，
∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°，
在Rt△OCE中，OC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
14．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则的长 　　．
【答案】．
【思路点拨】连接OA，OB，圆周角定理可得∠AOB＝60°，得到△AOB为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝10，再利用弧长公式进行计算即可．
【解析】解：设圆心为O，连接OA，OB，则：OA＝OB，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝10，
∴的长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧长公式，是解题的关键．
15．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 　　．
【答案】．
【思路点拨】计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
【解析】解：因为密码由四个数字组成，如百位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，要试10次，同样，假设十位上的数字是1，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
16．已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是 　a＜0或a≥　．
【答案】a＜0或a≥．
【思路点拨】求得函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，2），函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），然后分两种情况讨论即可求得a的取值．
【解析】解：∵y1＝kx+4k﹣2＝k（x+4）﹣2，
∴函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，﹣2），
∵＝a（x+5）（x﹣1），
∴函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），
当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，
∴a＜0满足题意；
当a＞0时，∵无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，
∴x＝﹣4时，y2≤﹣2，即16a﹣16a﹣5a≤﹣2，
解得a≥，
∴a≥满足题意；
∴无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a＜0或a≥．
故答案为：a＜0或a≥．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：．
【思路点拨】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解析】解：原式＝2×+﹣（）2
＝﹣﹣1﹣
＝﹣．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使；
（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．
【思路点拨】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题．
【解析】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，此时AE＝AC，则点E即为所求；
（2）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
∴△CDE即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图﹣相似变换，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
（1）若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为 　　；
（2）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．
【思路点拨】（1）直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次，
则选取的2名学生恰为1男1女的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【思路点拨】（1）把点M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和﹣3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解析】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
21．公园草坪上有一架秋千OA，秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为α，sinα＝，已知秋千的长OA＝2m．
（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求A'到地面的距离；
（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰△PCD帐篷，已知BC＝0.6m，CD＝2m，帐篷的高PH为1.8m，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？
【思路点拨】（1）过A′作A′N⊥OA于C，解直角三角形即可得到结论；
（2）当秋千摆动的夹角最大时，由（1）知，HQ＝NB＝0.9m，由△PMQ∽△PCH可知MQ＝0.5m，求得A′N＝1.2m，当A′恰好在帐篷的边CP时，NQ＝1.7m，BH＝1.6m，于是得到结论．
【解析】解：（1）过A′作A′N⊥OA于C，
在Rt△ONA′中，sinα＝＝，
∴A′N＝×OA′＝×2＝1.2（m），
∴ON＝＝1.6（m），
∴NB＝AN+AB＝2﹣1.6+0.5＝0.9（m），
∴A'到地面的距离为0.9m；
（2）当秋千摆动的夹角最大时，由（1）知，HQ＝NB＝0.9m，
∵CH＝1，
∵MQ∥CH，
∴△PMQ∽△PCH，
∴＝，
∴MQ＝0.5m，
∴＝sinα＝，
∴A′N＝1.2m，
当A′恰好在帐篷的边CP时，NQ＝1.7m，BH＝1.6m，
∵NQ＞BH，
∴会撞到，
∴移动的距离为1.7﹣1.6＝0.1m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：①AD是⊙O的切线；
②△ACD∽△BAD；
（2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）①连接AO，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠DAO＝∠CAD+∠CAO＝90°，则可得出结论；
②根据相似三角形的判定方法可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出，求出DC＝2，则可得出答案．
【解析】（1）①证明：连接AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∵∠CAD＝∠B．
∴∠DAO＝∠CAD+∠CAO＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
②证明：∵∠CAD＝∠B，∠ADC＝∠BDA，
∴△ACD∽△BAD；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
∴，
∵△ACD∽△BAD，
∴，
∴，
∴BC＝DB﹣CD＝8﹣2＝6，
∴半径r＝3．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m，线段AB的两个端点分别为A（1，3），B（7，3）．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）若m＝4，且对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥6时，均满足y1≥y2，求t的取值范围；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【思路点拨】（1）将抛物线化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及对称性可得2≤x≤6时，y≥y2，进而求解．
（3）求出抛物线顶点运动轨迹，通过数形结合求解．
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m＝﹣（x﹣m）2+3m，
∴点C坐标为（m，3m）．
（2）当m＝4时，抛物线对称轴为直线x＝4，开口向下，
∴x＞4时，y随x增大而减小，
∵x2≥6，
当x＝6时，y2取最大值，
∵直线x＝6与直线x＝2关于直线x＝4对称，
∴2≤x≤6时，y≥y2，
∴，
解得2≤t≤5．
（3）∵抛物线顶点C坐标为（m，3m），
∴抛物线顶点在直线y＝3x上运动，
如图，点A在直线y＝3x上，点A与抛物线顶点重合时，m＝1，
∴m≥1时满足题意，
把A（1，3）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m得3＝﹣1+2m﹣m2+3m，
解得m＝1或m＝4，
当m＝4时，抛物线同时经过A（1，3），B（7，3），
∴1≤m＜4满足题意．
当m＞4时，抛物线与AB有一个交点，
把B（7，3）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+3m得3＝﹣49+14m﹣m2+3m，
解得m＝4或m＝13，
∴4＜m≤13满足题意．
综上所述，1≤m＜4或4＜m≤13．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合方法求解．
24．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．
（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；
（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin∠BCD的值；
（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．
【思路点拨】（1）过点D作DH⊥BC于点H，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH，利用直角三角形的边角关系定理求得CH，利用勾股定理求得CD，利用角平分线的定义和平行线的性质得到CD＝CE，则BE＝BC﹣CE；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，利用（1）的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC，CM，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，利用勾股定理求得BE，利用相似三角形的判定与性质求得AN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可．
【解析】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵DH⊥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH＝AB＝4，BH＝AD＝6．
∵，
∴，
∴CH＝3，
∴CD＝＝5．
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝5．
∴BC＝BH+CH＝9，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣5＝4．
（2）过点D作DM⊥BC于点M，如图，
由（1）知：AD＝BM＝6，DM＝AB＝4，CD＝CE．
∵DG＝4，AD＝6，
∴AG＝2．
∴BG＝＝2．
∵△CGB∽△BAG，
∴∠BAG＝∠CGB＝90°，，
∴，
∴BC＝10，
∴CM＝BC﹣BM＝4，
∴DM＝CM＝4，
∴△DMC为等腰直角三角形，
∴∠BCD＝∠CDM＝45°，
∴sin∠BCD＝sin45°＝；
（3）①当点G在AD上时，如图，
由（1）知：CD＝CE，
∵F是DE中点，
∴CF⊥DE，
在△DGF和△DCF中，
，
∴△DGF≌△DCF（ASA），
∴DG＝DC．
∵AG＝1，AD＝6，
∴DG＝5，
∴CD＝DG＝5；
②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，如图，
由（1）知：CD＝CE，
∵F是DE中点，
∴CF⊥DE，
∴CG为DE的垂直平分线，
∴GD＝GE．
∴GD2＝GE2，
∴AG2+AD2＝BG2+BE2，
∴12+62＝32+BE2，
∴BE＝2．
∵AD∥BC，
∴△ANG∽△BCG，
∴，
∴，
在△DNF和△DCF中，
，
∴△DNF≌△DCF（AAS），
∴CD＝ND．设CD＝x，则BC＝CE+BE＝x+2，AN＝DN﹣DA＝CD﹣DA＝x﹣6，
∴，
∴x＝9+，
∴CD＝9+
综上，CD的长为5或9+．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线．
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