2024年中考数学高频考点专项练习——圆的切线的证明（含答案）

2024年中考数学高频考点专项练习——圆的切线的证明
1．如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．
2．如图，AB是的直径，点F在上，∠BAF的平分线AE交于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是的切线；
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
4．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，射线BO交AC于E点．交⊙O于D点，P是射线BD上一点，且CP=CB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当=时，求证：PC=PE．
5．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC＝2，AD＝4，求AB的长．
7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF．
（1）若CD=2，AF=3，求⊙O的周长；
（2）求证：直线BE是⊙O的切线．
9．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，CD=4，求线段AB的长．
10．已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ．求证： 是 的切线．
11．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求∠BAC的度数．（精确到0.1度）
12．如图，AB为⊙O直径，D为BC弧的中点，DE⊥AC于E，
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）已知：CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
14．已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．
15．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．
16．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．
17．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．
18．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
答案
1．证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，
又OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
2．解：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线．
3．解：（1）连接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=4，
∴CE=4．
4．（1）证明：连接CO，
∵∠A=60°
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵=，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCD=∠PBC=30°，
∴∠PCE=∠ACD+∠PCD=75°，
∵∠P=30°，
∴∠PEC=75°，
∴∠PEC=∠PCE=75°，
∴PC=PE．
5．解：（1）连结OA、OB、OC、BD，如图，
∵AB与⊙O切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
在△ABO和△CBO中
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵△ABO≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，DA=DC，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
同理：∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
6．（1）证明：连结OC
∵OA=OC，∴∠1=∠2
∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OC//AD
∴∠OCE=∠ADC
∵AD⊥DC∴∠ADC=90°
∴∠OCE=90°
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连结BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3，
即，∴AB=
把AC＝2，AD＝4代入，得：AB=6．
7．解；（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解法一：
过点O作OM⊥CD于点M，如图1，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB为△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=；
解法二：
过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O为EC的中点，
∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=．
8．解：（1）连接OC．设半径为r，
∵OA⊥CD，
∴DF=FC=，
在Rt△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=，OF=r﹣3，OC=r，
∴r2=（r﹣3）2+（）2，
∴r=4，
∴⊙O的周长为8π．
（2）证明：∵OA⊥CD，
∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90°
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠E=∠ACD，
∴∠ADC=∠E，
∴CD∥EB，
∴∠AFD=∠ABE=90°，
∴BE是⊙O的切线．
9．解：（1）证明：连结OD，如图，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
在Rt△ADC中，DC=4，
∴AC=DC=4，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=8．
10．解：连接OD．∵OD=OB，∴∠B=∠ODB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
11．（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=AC=6，AD垂直平分BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠DAE=∠BAD，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，即AD：6=5：AD，
∴AD=，
在Rt△ADE中，∵cos∠DAE===，
∴∠DAE≈23.4°，
∴∠BAC=46.8°．
12．（1）证明：连接OD、BC交于点F，如图所示：
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴∠FDE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BF=CF，
∵∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE=DF=2，CF=DE=4，
设⊙O的半径为r，则OF=r﹣2，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5．
13．（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=12．
解得：BE=12．
14．（1）证明：连接AB，OA，OF；
∵F是BE的中点，
∴FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥EC．
∴∠C=∠POF．
∴∠AOF=∠CAO．
∵∠C=∠CAO，
∴∠POF=∠AOF．
∵BO=AO，OF=OF，
∴∠OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙O的切线
（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴CE=10．
∵BE是⊙O的切线，
∴EB2=AE EC．
∴AE=3.6．
15．（1）证明：连结OD，如图，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
设BE=x，则DE=EF=x+2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴，即==，
∴x=2，
∴==．
16．（1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴，
∴=，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．
17．（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵BA=BC，
∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠CAF，
∴∠ABD=∠CAF，
∵∠ABD+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，
∴AF是⊙O的切线
（2）解：连接AE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，
∵CE：EB=1：3，
设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．
则AB长为4x，
在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE= ，
在Rt△AEC中，AC=4，AE= ，CE=x，
由勾股定理得： ，
解得： ，
∵x＞0
∴ ，即CE长为 ．
18．（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x﹣5，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴ = ，即 = ，
∴PF= ，
∴PD=PF﹣DF= ﹣2=