四川省峨眉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含答案）

峨眉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学题
注意事项：
1．本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，合计150分。考试结束后本试卷由学生自行保管，答题卡必须按规定上交。
2．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考号填写清楚，并将考号填涂到对应方框内，请仔细核对。选择题答案进行填涂时请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷试题卷上无效。
3．主观题作答时，不能超过对应的答题边框，超出指定区域的答案无效。
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分，每个小题只有一项符合题目要求）
1．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．方程的根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，则，，三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．设定义在区间上的函数是奇函数，（，且），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点，，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A． B．所有的正方形都是矩形
C． D．至少有一个实数，使
10．已知，，且则函数与函数的图像不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．若在区间上递减，则的取值可以是为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
12．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是
C．的最小值是2 D．的最大值是
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数（且）的图象恒过点__________．
14．计算的结果是__________．
15．已知，则__________．
16．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）计算
（1） （2）
18．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）为何值时，的解集为．
20．（12分）科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（单位；分钟）的变化规律满足关系式：．
（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？
（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求的取值范围．
21．（12分）已知函数是奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的单调性；
（3）若方程有三个不同的根，求的取值范围．
22．（12分）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又．
（1）求证为奇函数；
（2）求证：为上的减函数；
（3）解关于的不等式：．（其中）
参考答案
1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D
9．AC 10．ACD 11．AB 12．BC
4．解：设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，由题意知得．
6．分析：，，，所以最大．
11．解：设，则所以．
12．解：由基本不等式可知，，当且仅当，即，显然无实根，不成立，故A错误；
，当时取得等号，故B正确；
时，，当且仅当即时取等号，故C正确；
在时，没有最大值，故D错误．
13．
14．原式
．
15．
16．
17．【解析】（1）原式；
（2）原式
18．解：（1）由题意，
当时，，
（2），当，时，解得，满足题意
当，时，如图得或
解得，或综上所述：，或
19．解（1）由题意知且和1是方程的两根，
解得．不等式，即为，
解得或．所求不等式的解集为．
（2），即为
若此不等式的解集为，则，．
20．解：（1）由题意，得，
令，解得（负值舍去），
因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度．
（2）由题意得对一切恒成立，
则由，得，
令，则，且，
构造函数，
所以当时，函数取得最大值，则．
因此，实数的取值范围是．
21．解：（1）设，则，时，．
，又函数是奇函数
，，
（2）如图所示：的单调递减区间是，单调递增区间是，
（3）方程有三个不同的根，如题所示
22．解：（1）由题意中，令得
再令得，为奇函数
（2）令，则，
，
为上的减函数；
（3）不等式化为：
又为上的减函数，，
整理的，又，即，解得．