第01讲建立二元一次方程组【寒假预习】2024年七年级数学下学期（湘教版）含解析

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第01讲 建立二元一次方程组【寒假预习】
2023年七年级数学下学期（湘教版）
【学习目标】
1．了解二元一次方程及二元一次方程组的概念．
2．理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念．
3．会判断一组数是不是二元一次方程组的解．
4．掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤．
5．了解解二元一次方程组的基本思路．
6．初步体会化归思想在数学学习中的运用．
7．掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤．
8．熟练运用消元法解简单的二元一次方程组．
9．培养学生的分析能力，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组．
【基础知识】
1．二元一次方程：
（1）定义：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程．
（2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值．
2．二元一次方程组：
（1）定义：有2个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有2个方程的方程组．
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
【考点剖析】
【二元一次方程的定义】
1．若是关于 的二元一次方程，则 的值为 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．解为的方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，以为解的是（ ）
A． B．
C． D．
【二元一次方程的解】
4．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x，y的方程组的解是 ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【判断是否是二元一次方程组】
8．已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．下列二元一次方程的其中一个解是的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．将方程移项，得
B．将方程两边同除以，得
C．将方程去括号，得
D．将方程去分母．得
【已知二元一次方程组的解求参数】
11．下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
12．在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（　　）．
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
13．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
【二元一次方程的定义】
14．若关于，的方程是二元一次方程，则 .
15．若是二元一次方程，则 ．
16．若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ．
【二元一次方程的解】
17．请写出二元一次方程的一组解 ．
18．某区教研室组织36名数学老师到一所重点中学参加教学研讨活动．计划租用8座车和4座车若干辆，要求每辆车都要坐满，则该教研室共有 种租车方案．
19．一个圆盘里摆12颗糖，一个方盘里摆13颗糖，小张发现他有110颗糖恰好可以摆满所有的盘子，请问这时圆盘有 个．
【判断是否是二元一次方程组】
20．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
21．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
22．判断 （填“是”或“不是”）方程组的解．
【判断是否是二元一次方程组的解】
23．下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ．
24．若方程组的解是，则b＝ ．
【判断是否是二元一次方程组的解求参数】
25．己知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为
26．方程组的解是，则 ， ．
27．已知方程组和的解相同，则 .
解答题
【二元一次方程的定义】
28．已知关于，的二元一次方程．
(1)求，的值；
(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）．
数对
判断数对是否是方程的解
【二元一次方程的解】
已知二元一次方程，先用含的代数式表示，再分别计算当时，的值；当时，的值．
【判断是否是二元一次方程组】
30．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1)
(2)
【判断是否是二元一次方程组的解】
判断是否为方程组的解．
【判断是否是二元一次方程组的解求参数】
32．定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点．
(1)若点为方程的坐标点，则______；
(2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义（只含有两个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程）是解答的关键．
【详解】解：∵是关于 的二元一次方程，
，
故选：D．
2．B
【分析】根据二元一次方程组解的定义可知，将代入原方程组，则必须能使原方程组成立，将依次代入各选项计算，即可解答．
【详解】解：把分别代入四个方程组：
A、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
B、，∴是方程组的解，故此选项符合题意；
C、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
D、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念；一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；熟练掌握定义是解题的关键．
3．B
【解析】略
4．C
【分析】直接把，代入各方程进行检验即可．
【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
5．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
故选：A．
6．C
【分析】此题考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．
【详解】解：根据定义可知①②③是二元一次方程，④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代数式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后为，是二元一次方程．故正确的有①②③⑦，共4个，
故选：．
7．B
【分析】首先把所给的方程化为，然后根据二元一次方程的定义可得和的系数不为零，即可求得的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
根据二元一次方程的定义可得：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解．把代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故选：C
9．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把分别代入各选项验证即可．
【详解】解：A．当时，，故不符合题意；
B．当时，，故不符合题意；
C．当时，，故符合题意；
D．当时，，故不符合题意；
故选C．
10．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程．熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：将方程移项，得， A错误，故不符合要求；
将方程两边同除以，得， B错误，故不符合要求；
将方程去括号，得，C正确，故符合要求；
将方程去分母，得，D错误，故不符合要求；
故选：C．
11．B
【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判断即可；
【详解】解：A.中，x的次数是2，故A选项不符合题意；
B.是二元一次方程组，故B选项符合题意；
C.中y在分母上，故C选项不符合题意；
D.中有3个未知数，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查二元一次方程组定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“只有两个未知数,含未知数的项的最高次数都应是一次,两个方程都是整式方程”,继而选出本题答案．
【详解】解:①符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组，
②第一个方程含有两个未知数但含未知数的项的次数为,故不是二元一次方程组，
③不符合二元一次方程组定义,故不是二元一次方程组，
④符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组，
故是二元一次方程组的是①④，
故选:B．
13．D
【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键．
【详解】解：A、B、C均不符合二元一次方程组的定义，D是二元一次方程组，
故选：D．
14．2
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握，解这两个方程即可得答案．
【详解】解：是二元一次方程，
，
解得：，
，
故答案为：5．
16．8
【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义．
17．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程解的定义，根据“使二元一次方程两边相等的未知数的值是二元一次方程的解”进行解答即可．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴是原方程的一组解，
故答案为：（答案不唯一）．
18．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设租用8座车辆，4座车辆，由题意得：，即，结合都是非负整数，即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设租用8座车辆，4座车辆，
由题意得：，
，
都是非负整数，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
共有中租车方案，
故答案为：．
19．7
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设圆盘有x个，方盘有y个，列出方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设圆盘有x个，方盘有y个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：当时，，且无其他正整数解，
∴圆盘有7个，
故答案为：7．
20．④
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④．
故答案为：④．
21．1
【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果．
【详解】解：根据题意知，，
解得，，，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
22．不是
【分析】将代入到方程组中去检验即可．
【详解】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的步骤是关键．
23．③
【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确．
【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解．
①不正确
②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是的整式方程．而②中未知数的指数不一定为．
②不正确
③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二元一次方程都有无数对方程的解．
方程是二元一次方程，故它的解有无数个．
③正确．
④解为的方程组不是唯一的，有无数个．
④正确．
【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解．
24．-3
【分析】把代入方程组得：，解方程组即可．
【详解】解：把代入方程组得：
，
解得：，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解集本题的关键是运用代入法求解．
25．
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，再求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
26． 8
【分析】本题考查了求二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，即可求出m和n的值．
【详解】解：把代入，得：
，
∴，，
故答案为：8；．
27．14
【解析】略
28．(1)，
(2)是；不是；是；不是
【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，，解得，的值即可；
（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可．
【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，，
解得，．
（2）由（1）可知，关于，的二元一次方程，
当时，，是方程的解，
当时，，不是方程的解，
当时，，是方程的解，
当时，，不是方程的解，
故答案为：是；不是；是；不是
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
29．用含的代数式表示是，当时，；当时，
【分析】把当作已知数，当作未知数，解关于的方程，可得，当时，解关于的一元一次方程；当时，解关于的一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，解得，
∴用含的代数式表示是，当时，；当时，．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程．把二元一次方程转化为一元一次方程是解题的关键．
30．(1)是，理由见解析
(2)是，理由见解析
【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答．
【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组．
31．是
【分析】把代入原方程组的两个方程，从而可得答案．
【详解】解：把代入①，
把代入②，
所以同时满足方程①与②，
所以是二元一次方程组的解，
【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键．
32．(1)5
(2)或
【分析】（1）将点代入方程，即可解答．
（2）将点代入方程，得再代入，即可解答．
【详解】（1）将点代入方程，得，
解得．
（2）由题意得：，，b，c为正整数，
∴或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键
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