午练1 向量的概念与加减法运算
1.下列各量是向量的是( )
A.时间 B.速度
C.面积 D.长度
2.(多选题)下列说法错误的为( )
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若,则一定有直线AB∥CD
D.若向量共线,则点A,B,C必在同一直线上
3.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示( )
A.向正北方向走5 km
B.向正北方向走5 km
C.向正南方向走5 km
D.向正南方向走5 km
4.若A,B,C,M,N,P是不重合的点,则下列等式错误的是( )
A.+0=0+
B.=0
C.=0
D.
5.在△ABC中,=a,=b,则等于( )
A.a+b B.-a-b C.a-b D.b-a
6.在△ABC中,若||=||=||,则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
7.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= .
8.已知正方形ABCD的边长为1,则||= .
9.化简:= .
10.如图所示,设O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式:
(1);
(2).
11.在平行四边形ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD是矩形 菱形 正方形
午练1 向量的概念与加减法运算
1.B 速度既有大小又有方向,是向量,其余的量均是数量.
2.ABC 对于选项A,这两个向量的方向可能相反,故选项A错误;对于选项B,这两个向量只要方向和大小分别相同即可,起点也可以不同,故选项B错误;对于选项C,向量与向量所在的直线也可以重合,故选项C错误;选项D正确.故选ABC.
3.B 由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走5km.
4.B ,不是零向量,故选项B错误.
5.B =-a-b.
6.A 若||=||=||,则||=||=||=||,则△ABC为等边三角形.故选A.
7.2 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.
在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.
8.2 因为,
所以||=||=2||.
又正方形的边长为1,所以对角线|AC|=,
即||=,所以||=2.
9.0 -()==0.
10.解 (1)由题图可知,四边形OABC为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则,得.
(2)由题图可知,,
∴.
11.解 根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,得=a+b,=a-b.
当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;
当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;
当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.午练2 向量的数乘运算
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )
A.a与λa的方向相同
B.|λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|λa|=λ|a|
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于( )
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
3.(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论中正确的是( )
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
4.(多选题)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( )
A.a∥b
B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b|
D.b=-3a
5.点C在线段AB上,且||=|,若=λ,则λ=( )
A. B.- C. D.-
6.如图所示空间四边形ABCD,连接AC、BD,设M、G分别是BC、CD的中点,则等于( )
A. B.3 C.3 D.2
7.点C在线段AB上,且,则= = .
8.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=λ,则λ= .
9.已知3+λ,若A,B,C三点共线,则实数λ= .
10.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.
11.如图,已知=3=3,求证:△OAB∽△OA'B'.
午练2 向量的数乘运算
1.C 因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.
2.D 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
3.AB 对于选项A,根据向量数乘的运算律可得m(a-b)=ma-mb,故A正确;
对于选项B,根据向量数乘的运算律可得(m-n)a=ma-na,故B正确;
对于选项C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立,所以不能推出a=b,故C错误;
对于选项D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a=0时也成立,所以不能推出m=n,故D错误.故选AB.
4.ABD 由a=2e,b=-6e,可得b=-3a,即a∥b且a,b方向相反,故A、B、D正确;由上可得3|a|=|b|,故C错误.故选ABD.
5.D 点C在线段AB上,且||=|,如图所示.
因为=λ,即=-,所以λ=-.故选D.
6.C ∵M、G分别是BC、CD的中点,
∴.而.
∴=3.故选C.
7. - ∵,
∴可设AC=3k(k>0),CB=2k,∴AB=5k.
∴=-.
8.2 在平行四边形ABCD中,=λ,
所以λ=2.
9.2 由3+λ,整理得,因为A,B,C三点共线,所以=1,解得λ=2.
10.解 因为ka+3b与2a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),
即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.
由于a,b不共线,所以解得k=±.
即实数k的值为或-.
11.证明 ∵=3+3=3,
∴||=3||,||=3||,||=3||,
即=3,且的方向分别相同,∴△OAB∽△OA'B'.午练3 向量的数量积
1.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则的值等于( )
A.-2 B.2
C.-2 D.2
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为( )
A.2e B.e C.2e D.4e
3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为( )
A.60° B.120° C.135° D.150°
4.设a,b均为单位向量,且|a-b|=1,则|a-2b|=( )
A. B. C.3 D.7
5.(多选题)已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是( )
A.a·b=b·a
B.·b=a·
C.·c=a·c+b·c
D.·c=a·
6.P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ= .
8.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则= .
9.已知e1、e2是单位向量,其夹角为,若|me1+ne2|=(m,n∈R),则m+2n的最大值为.
10.已知|a|=3,|b|=4,|a-b|=.
(1)求
;
(2)求|a+2b|的值.
11.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b.
(1)求a·b;
(2)试用t来表示m·n的值;
(3)若m与n的夹角为钝角,试求实数t的取值范围.
午练3 向量的数量积
1.B =||||cos∠ABC=2××cos45°=2.
2.C a在b上的投影向量为|a|cos30°e=4×cos30°e=2e,故选C.
3.B 由已知得a·b=-36,所以a·b=-60.
设a,b的夹角为α,则有|a||b|cosα=-60,
即10×12×cosα=-60,于是cosα=-,故α=120°.
4.A 由题设,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1,又a,b均为单位向量,
∴a·b=,
∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3,则|a-2b|=.故选A.
5.ABC 由向量数量积的运算律可知A、B、C正确.
对于D,令m=a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC.
6.B 点P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,
则||=|-2|,可得||=||,即||=||,
等式||=||两边平方并化简得=0,∴,
因此,△ABC是直角三角形.故选B.
7.- ∵(2a+b)⊥(a+λb),
∴(2a+b)·(a+λb)=0,
∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.
∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,
∴2+λ++λ=0.∴λ=-.
8.22 由=3,得.
因为=2,
所以·=2,
即=2.
又=25,=64,所以=22.
9.2 已知e1、e2是单位向量,其夹角为,
则e1·e2=|e1|·|e2|cos,
等式|me1+ne2|=两边平方得2==m2+2mne1·e2+n2=m2+mn+n2=m2,
∴=2-m2≤2,可得-m+n≤,
∴-2≤m+2n≤2,
因此,m+2n的最大值为2.
10.解 (1)因为|a|=3,|b|=4,|a-b|=,
所以|a-b|2=|a|2-2|a|·|b|cos+|b|2,
即9-24cos+16=13,
即cos=,又∈[0,π],所以=.
(2)|a+2b|==
=
.
11.解 (1)a·b=1×2×cos60°=1.
(2)m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t+6-t-2×4=2t-2.
(3)由于m与n的夹角为钝角,于是m·n<0且m与n不平行.
其中m·n<0 2t-2<0 t<1,
而m∥n 3×2=(-1)×t t=-6,
于是实数t的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,1).午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示
1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则( )
A.零向量不能用e1,e2表示
B.对实数λ1,λ2,e1与λ1e1+λ2e2也可以作为一组基底
C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
2.已知=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
3.
如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,M是DC的中点,以{a,b}为基底表示向量=( )
A.b+a B.a+b
C. D.b-a
4.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( )
A.(-12,5) B.(12,5)
C.(-12,-5) D.(12,-5)
5.(多选题)下列各组向量中,不能组成基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
6.(2023成都质检)已知A(1,1),B(2,-4),C(x,-9),且,则x=( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
7.
如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .
8.已知a=(3,4),点A(1,-3),若=2a,则点B的坐标为 .
9.已知=(6,1),=(4,k),=(2,1),若A,C,D三点共线,则k= .
10.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边BC、CA、AB上的一个三等分点,求证:=0.
11.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),试求λ满足何条件时,
(1)点P在第一、三象限角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示
1.D 由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.
2.D 由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
3.A =b+a.
4.C 2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).
5.ACD A,C,D中向量e1与e2共线,不能组成基底;B中e1,e2不共线,所以可组成一个基底.
6.A =(1,-5),=(x-1,-10),
因为,所以1×(-10)=-5(x-1),解得x=3,故选A.
7. 因为E和F分别是边CD和BC的中点,可得),),
即2=2+2,又,
所以3=2+2,所以.
因为=λ+μ,所以λ=μ=,所以λ+μ=.
8.(7,5) 设点B的坐标为(x,y),
则=(x-1,y+3),2a=(6,8),
若=2a,则
9.4 由已知得=(10,k+1).
∵A,C,D三点共线,∴向量共线,
∴10-2(k+1)=0,∴k=4.
10.证明 根据题意,选取向量作为基底,
所以)=,
=-,
=-,
所以=0.
11.解 设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=(5-2,4-3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ).∵+λ(λ∈R),
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
∴∴P(5+5λ,4+7λ).
(1)若点P在第一、三象限角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,故λ=.
(2)若点P在第三象限内,则解得故λ<-1,即当λ<-1时,点P在第三象限内.午练5 向量数量积的坐标表示
1.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cos θ=( )
A. B.
C. D.
2.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.1 B.-1
C.-6 D.6
3.已知向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,那么m的值为( )
A. B.-
C.2 D.-2
4.向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为( )
A.± B.
C. D.
5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于( )
A. B.
C.5 D.25
7.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|= .
8.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是 .
9.已知向量a=(2,1),b=(3,-1).
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若c=(3,m)(m∈R),且(a-2b)⊥c,求m的值.
10.在平面四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,AD=4,连接AC,∠ACD=90°,∠CAD=30°.
(1)求;
(2)E为线段AD上的动点,求的最小值.
午练5 向量数量积的坐标表示
1.D 因为3b=3b+a-a=(5,4)-(2,1)=(3,3),
所以b=(1,1),所以cosθ=.
2.D 因为a=(2,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=3×2+0=6.故选D.
3.C 向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,则a·b=0,即4×(-1)+2m=0,解得m=2.故选C.
4.D 根据题意可得a·b=-1+2=1,|a|=,向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为×a=(-1,1)=(-).故选D.
5.C 不妨设e1=(1,0),e2=,则a=2e1+e2=,b=-3e1+2e2=(-2,),
所以a·b=·(-2,)=-,|a|=,|b|=,
设a,b的夹角为θ,则cosθ==-,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.故选C.
6.C ∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,
∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,
∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.
7.5 因为a⊥b,所以-2+2n=0.
于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),
所以3a+b=(1,7),
故|3a+b|=5.
8.(-3,12)∪(12,+∞) ∵向量a与向量b的夹角是锐角,
∴a·b=2m+6>0,即m>-3.
当a与b共线时,,∴m=12,此时a与b同向,夹角为0°.∴实数m的取值范围是(-3,12)∪(12,+∞).
9.解 (1)由a=(2,1),b=(3,-1),则a·b=2×3+1×(-1)=5,
由题得a=,b=,
设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=,由于θ∈[0,π],所以θ=.
即向量a与b的夹角为.
(2)由a=(2,1),b=(3,-1),
所以a-2b=(-4,3),又(a-2b)⊥c,
所以(a-2b)·c=0,又c=(3,m),
所以(-4)×3+3m=0,解得m=4.
10.解 (1)由于∠ABC=90°,如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.
由于AD=4,∠CAD=30°,故CD=2,AC=2.
又AB=BC,故BC=,AB=3,
∴B(0,0),C(,0),A(0,3),D(2,1),
∴=(-,0)·(,1)=-3.
(2)不妨设=t(0≤t≤1),
∴+t=(0,3)+t(2,-2)=(2t,3-2t),
=(-,0)+(2t,3-2t)=(2t-,3-2t),
∴=2t×(2t-)+(3-2t)2=16t2-18t+9,
故当t=时,取得最小值.午练7 余弦定理、正弦定理
1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=+1,b=-1,C=120°,则c=( )
A. B.
C.3 D.2
2.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
3.已知△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a=4,b=5,c=6
C.a=4,b=6,c=7
D.a=3,b=3,c=5
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=,B=60°,则A=( )
A.30° B.30°或150°
C.60° D.60°或120°
5.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为( )
A.9 B.18 C.9 D.18
6.在△ABC中,AC=3,BC=2,cos C=,则sin A=( )
A. B. C. D.
7.在△ABC中,已知b2=a2-c2+bc,则A= .
8.若△ABC的三条边a,b,c满足(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶9∶10,则△ABC的形状是 三角形.(填“直角”“锐角”或“钝角”)
9.在△ABC中,a=,b=2,B=45°,则C= .
10.已知△ABC的面积S=,A=,则= .
11.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.
12.如图所示,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.
(1)求角A和边长c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求BC的长.
午练7 余弦定理、正弦定理
1.A 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=(+1)2+(-1)2-2×(+1)×(-1)cos120°=10,解得c=.故选A.
2.C ∵cosB=,∴B=60°.
3.D 对于D,由余弦定理的推论,得cosC=<0,∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.同理可得选项A、选项B、选项C均为锐角三角形.故选D.
4.A ∵在△ABC中,B=60°,
∴根据正弦定理得,可得sinA=,
又△ABC中a5.C 由题意,得C=30°,所以AB=BC=6,
所以△ABC的面积S=AB·BC·sinB=×6×6×=9.
6.C 因为AC=3,BC=2,cosC=,所以sinC=,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2BC·ACcosC=9+4-2×3×2×=5,可得AB=.由正弦定理得,即,所以sinA=.故选C.
7. 在△ABC中,已知b2=a2-c2+bc,
则cosA=.由于08.钝角 ∵(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶9∶10,不妨设a+b=7k,则b+c=9k,c+a=10k(k是大于0的常数),解得a=4k,b=3k,c=6k.
由余弦定理的推论可得cosC==-<0.
∵09.75°或15° 由正弦定理得,得sinA=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.相应地,有C=75°或C=15°.
10.2 ∵△ABC的面积S=|||sinA=|||sin,∴||||=4.
∴=||||cosA=4cos=2.
11.解 由sin2A=sinBsinC和正弦定理,得a2=bc.
因为2a=b+c,所以a=,
所以=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.
从而a==b=c,故△ABC是等边三角形.
12.解 (1)∵sinA+cosA=0,∴tanA=-,
又0由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
即28=4+c2-2×2c×,
即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4.
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC,
∴16=28+4-2×2×2×cosC,
∴cosC=,∴CD=,∴CD=BC,
∴BC=2.午练8 余弦定理、正弦定理的应用
1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为( )
A. B.- C. D.-
2.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为( )
A.19 B.14 C.-18 D.-19
3.
如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100 m,点C位于BD上,则山高AB等于( )
A.100 m B.50 m
C.50 m D.50(+1)m
4.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离为35 m,则此电视塔的高度是( )
A.5 m B.10 m C. m D.35 m
5.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35°的方向航行了40 n mile到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,那么此船航行的方向和路程分别为( )
A.北偏东80°,20()n mile
B.北偏东65°,20()n mile
C.北偏东65°,20()n mile
D.北偏东80°,20()n mile
6.(多选题)如图,为对某失事客轮AB进行有效援助,现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明,其中A、B、C、D在同一平面内.现测得CD长为100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°.则( )
A.S△BCD=2 500平方米
B.AD=米
C.船AB长为米
D.BD=200米
7.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则= ,边长c的取值范围是 .
8.如图所示,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为 ;塔BB1的高为 m.
9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h在C处追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
10.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+c=3,.
(1)求角B的大小;
(2)若a午练8 余弦定理、正弦定理的应用
1.A ∵sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),
则cosC=.
2.D 由余弦定理的推论,得cosB=,所以=||||cos(π-B)=7×5×=-19.
3.D 在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,
∴,
∴AC==50()m.
在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=50()m,
∴AB=ACsin45°=50()×=50(+1)m.
4.A 设此电视塔的高度是xm,如图所示,
则AC=m,∠BCA=150°,AB=35m.
∴cos150°=,解得x=5.故选A.
5.C 由题可知∠ABC=105°.在△ABC中,AB=40,BC=40,
所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos105°=3200+1600,
所以AC=20().又因为,
所以sin∠BAC=,
所以∠BAC=45°,所以下次航行直接从A出发到C,此船的航向为北偏东65°,故选C.
6.ABC ∠BDM=30°,∠BCM=60°,则∠CBD=30°,所以BC=BD=100米,
所以S△BCD=CB·CD·sin∠BCD=×100×100×sin120°=2500平方米.
由题得,∠ADC=75°,∠ACD=45°,∠BDA=45°,
在△ACD中,,即,
所以AD=米,
在△BCD中,
BD==
=100米,
在△ABD中,
AB==
=
米.即船长为米.
7.4 (2,2) 因为C=2A,
所以sinC=2sinAcosA,由正弦定理得c=2acosA,
所以=2a=4.因为△ABC是锐角三角形,
所以C=2A∈,B=π-A-C=π-3A∈,
所以A∈,所以c=4cosA∈(2,2).
8. 45 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,
则AA1=60tanα,BB1=60tan2α.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以,所以AA1·BB1=900,
所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),
所以tan2α=,BB1=60tan2α=45.
9.解 (1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,
解得BC=28nmile.
所以渔船甲的速度为BC÷2=14(nmile/h).
(2)在△ABC中,AB=12nmile,∠BAC=120°,BC=28nmile,∠BCA=α,由正弦定理,得,
所以sinα=.
10.解 (1)由,可得bcosC=2acosB-ccosB,
由正弦定理可得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,
所以sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB.
因为sinA≠0,所以cosB=,可得B=.
(2)由正弦定理可得,a=sinA,c=sinC,
∴3=a+c=sinA+sinC
=sinA+sinA+
=sinA+sinA+cosA
=sinA+cosA=4sinA+,
整理可得,sinA+=,
由a所以cosA+=.