午练20 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算
1.下列事件:
①连续两次抛掷同一枚骰子,两次都出现2点;
②走到十字路口,遇到绿灯;
③北京明天下雨;
④买了一注彩票中奖.
其中是随机事件的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是( )
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
3.同时抛掷两枚硬币,两枚都是正面向上为事件M,至少有一枚是正面向上为事件N,则有( )
A.M N B.M N
C.M=N D.M∩N=
4.连续抛掷一枚均匀硬币3次,事件“至少2次出现正面”的对立事件是( )
A.只有2次出现反面
B.至少2次出现正面
C.有2次或3次出现正面
D.有2次或3次出现反面
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.4,则不用现金支付的概率为( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
6.以下结论正确的是( )
A.事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率
B.事件A与事件B是对立事件,则它们一定是互斥的
C.事件A与事件B互斥,则有P(A)=1-P(B)
D.事件A与事件B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
7.一箱产品中有正品4件,次品3次,从中任取2件,下列四个事件:①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中两个事件互斥的是 .(填序号)
8.在抛掷一枚骰子的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点有.
9.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件 “a<3且b>1”呢
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件 “a=b”呢
午练20 有限样本空间与随机事件、
事件的关系和运算
1.D 由随机事件的概念可知①②③④都是随机事件.
2.D 抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则为“至多抽到1件次品”.故选D.
3.A
4.D 连续抛掷一枚均匀硬币3次,事件“至少2次出现正面”的对立事件是“有2次或3次出现反面”.故选D.
5.A 由题意可知,不用现金支付的概率为1-0.2-0.4=0.4.故选A.
6.B 对于A,事件A与事件B的和事件的概率一定大于或等于其中一个事件的概率,故A错误;对于B,对立事件一定是互斥事件,故B正确;对于C,事件A与事件B互斥,则有P(A)≤1-P(B),故C错误;对于D,事件A与事件B满足P(A)+P(B)=1,则A,B不一定是对立事件,故D错误.故选B.
7.①④ 从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件,
∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的,
∴①④是互斥事件.
8.2,4,5,6 A={2,4},B={1,2,3,4},={5,6},A∪={2,4,5,6}.
9.解 这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1).
“a=b”这一事件包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).午练21 古典概型、概率的基本性质
1.等可能地从集合{1,2,3}的所有子集中任选一个,选到非空真子集的概率为( )
A. B. C. D.
2.
如图所示的三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为26,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )
A. B. C. D.
3.(多选题)下列结论错误的是( )
A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0
B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥
C.若事件A与B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥
4.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是( )
A. B. C. D.
5.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为 .
6.从装有3个红球和2个蓝球(除颜色外完全相同)的盒子中任取两个球,则选到的两个球颜色相同的概率为 .
7.某工厂生产了一批滑雪板,这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测,已知抽到不是三等品的概率为0.97,抽到一等品或三等品的概率为0.88,则抽到一等品的概率为 .
8.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是.
9.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
10.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
排队等候的人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.
午练21 古典概型、概率的基本性质
1.B 集合{1,2,3}的所有子集有 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8个,它们等可能,选到非空真子集的事件A有{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共6个,所以选到非空真子集的概率为P(A)=.故选B.
2.B 由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为26-20=6,从1,2,3,4,5中任取两个数字的样本点总数为10,其中“两个数字之和为6”的样本点数为2个,则所求概率为.
3.CD 若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;当A与B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C错误;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.
4.C 该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-.
5. ∵试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈1,2,3,4,5,6},∴n(Ω)=36,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,∴n=3m,
满足这个条件的有(1,3),(2,6),共有2种结果,
∴向量p与q共线的概率P=.
6. 3个红球记为a,b,c,2个蓝球记为A,B,
则任取两个球有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10种选法,
其中颜色相同的有ab,ac,bc,AB,共4种选法,
∴选到的两个球颜色相同的概率为.
7.0.85 从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测,抽到不是三等品的概率为0.97,抽到一等品或三等品的概率为0.88,
∴抽到一等品或二等品的概率为0.97,
抽到二等品的概率为1-0.88=0.12,
则抽到一等品的概率为P=0.97-0.12=0.85.
8.0.96 设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.
9.解 (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有 50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.设x1,x2为从评分在[40,60)的受访职工中随机抽取的2人,则(x1,x2)表示一个样本点,A=“从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10种结果,又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,故所求的概率P=.
10.解 记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.午练22 事件的相互独立性、频率与概率
1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
2.某商场举行抽奖活动,若甲、乙两人获奖的概率分别为,且两人是否获奖相互独立,则这两人中至少有一人获奖的概率为( )
A. B. C. D.
3.(2023揭阳质检)若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.互斥且独立
4.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
5.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的概率接近于0.6
6.下列四个说法中正确的是( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此出现正面的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.抛掷骰子100次,点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
7.
如图所示,用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.5,则系统正常工作的概率为 .
8.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
9.在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球,从中取4个,求取出2个白球2个黑球的概率”问题时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表白球,用5~9代表黑球.因为是摸出4个球,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .
10.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如表所示:
分组 [0,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500 h的概率.
午练22 事件的相互独立性、频率与概率
1.B 恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为×1-+1-×.故选B.
2.C 两人中至少有一人获奖的概率为P=.
3.B 因为P(A)=,P(B)=,
又因为P(AB)=≠0,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,不互斥也不对立.故选B.
4.B 随机数容量越大,频率越接近概率.
5.B 0.6是正面朝上的频率,不是概率.
6.D 对于A,次品率是大量产品的估计值,任取200件,其中不一定有10件是次品,故A错误;
对于B,抛硬币出现正面的概率是,而不是,故B错误;
易知C错误;
对于D,利用频率计算公式求得频率为,故D正确.
故选D.
7.0.81 当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.5,则系统正常工作的概率为P=0.9×[1-(1-0.8)(1-0.5)]=0.81.
8.0.98 至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.
9.摸出的4个球中,只有1个白球 分析题意,易知数字4代表白球,数字6,7,8代表黑球,因此这组随机数的含义为摸出的4个球中,只有1个白球.
10.解 (1)频率依次填0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1500h的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1500h的频率是=0.6,即灯管使用寿命不足1500h的概率约为0.6.
