1.3　线段的垂直平分线　课件(共45张PPT)2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

(共45张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
第1课时
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
线段的垂直平分线
1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线.
4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
重点
难点
复习回顾
线段的垂直平分线具有什么特征？
垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
如图，MN是线段AB的垂直平分线，
交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.
A
B
M
N
O
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
复习回顾
由等腰三角形三线合一的性质可得顶角平分线垂直底边，并且平分底边．
如图，在△ABC中，AB=AC ，∠BAC的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．
A
B
C
∟
D
我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.
合作探究
B
B′
E
F
E
F
B
(B′)
拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′ ， FB=FB′.
合作探究
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA = PB.
要证明PA=PB，只需证明△PCA≌△PCB.
注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.
要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表.
合作探究
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA = PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90 °.
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).
归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言:
如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.
应用:
经常用来证明两条线段相等.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
真命题
运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.
想一想
已知：如图， 线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：∵过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵ PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线(三线合一).
∴AC=BC.
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
想一想
A
B
P
N
C
M
归纳
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的
垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．
几何语言：
A
B
P
N
C
M
应用:
经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.
典型例题
AD
由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.
例 已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
典型例题
AD
例 已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
你还有其他的证明方法吗？
典型例题
AD
方法2：可以用全等三角形证明:设AO交 BC于点D，先依据基本事实 SSS证明△ABO≌△ACO得到 ∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.
例 已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
D
典型例题
AD
例 已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
方法2：
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS). ∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.
即直线AO垂直平分线段BC.
D
对比一下哪种证明方法更好呢？
AD
(1)用尺规做出线段AB的垂直平分线.
做一做
已知:线段AB，如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
A
B
与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的
(2)请你就尺规作线段AB的垂直平分线方法的正确性给出证明，并与同伴进行交流.
做一做
证明： ∵AC=BC
∴ 点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线).
C
D
注：CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.
A
B
随堂练习
1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= °.
7
60
E
D
A
B
C
2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
随堂练习
A
C
B
D
A
3.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
随堂练习
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
E
D
A
C
B
线段垂直平分线的判定定理：
线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言:
如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言:
如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．
A
B
P
N
C
M
教科书 习题1.7
第1、2、3题
再见
1.3 线段的垂直平分线
第2课时
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
线段的垂直平分线
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.
2.掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
3.能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能.
4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
重点
难点
复习回顾
线段的垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言:
如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，
且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.
应用:
经常用来证明两条线段相等.
复习回顾
线段的垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言:
如图，线段AB，PA=PB，则点P在线
段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．
应用:
经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.
A
B
P
N
C
M
复习回顾
如何作已知线段的垂直平分线？
已知:线段AB，如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
A
B
典型例题
AD
两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形.然后结合前面学过的线段垂直平分线的判定定理和性质定理进行证明.
例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在边AC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC.
典型例题
AD
证明：∵点P在边AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
∴点P在边AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在边AC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC.
AD
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
┐
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点
议一议
归纳
三角形的外心：
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
三角形外心的位置：
(1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；
(2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处；
(3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.
AD
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能做出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
议一议
能作出无数个，
所作出的三角形不都全等.
1
A
D
C
B
A
a
h
D
C
B
A
a
h
1
A
( )
D
C
B
A
a
h
1
A
AD
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗
分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形.
议一议
AD
已知：如图，线段a，h.
求作： △ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.
a
h
作法：
(1)作线段BC=a.
(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.
(3)在l上截取DA= h.
(4)连接AB，AC.
△ABC就是所求作的等腰三角形.
A
B
C
D
l
典型例题
例3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知直线l和l上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢.
做一做
小明的作法如下，你能明白他的作法吗？
P
A
B
m
l
先在直线l上截取A、B两点，且这两点到点P的距离相等；
接着分别以点A、B为圆心，大于线段AB的一半的长为半径画弧，交于两点；
最后连接得到的两个交点，得到直线m即为所求.
你是怎样做的？
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢 说说你的作法，并与同伴进行交流.
P
A
B
K
l
分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线 l 的另一侧取点 K，过 P 点以 PK 长为半径作弧，与直线 l 相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决.
议一议
AD
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢 说说你的作法，并与同伴进行交流.
已知：直线 l，及 l 外一点 P .
求作： 直线m 垂直于直线l，且经过点 P.
作法：
1. 任取一点 K，使点 K 与点 P在直线l两旁；
2.以点 P为圆心，以 PK的长为半径作弧，交直线 l于点A和点 B；
3.作线段 AB 的垂直平分线m.
直线 m 垂直于直线 l，且经过点 P.
P
A
B
K
议一议
l
m
因为PA=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得.
1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
随堂练习
B
2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是(　　)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
随堂练习
A
B
A
C
D
3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO+BO+CO=　　cm.
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．
随堂练习
38°
15
C
B
O
A
C
B
A
O
5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
随堂练习
解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G，那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)，
BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
同理AF＝CF.
∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝2.
C
B
A
E
F
D
G
与线段垂直平分线有关的尺规作图问题：
线段的垂直平分线
三角形的外心
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
1.已知底边及底边上的高作等腰三角形．
2.经过直线外一点作已知直线的垂线.
教科书 习题1.8
第1、2、3题
再见