泉州惠南中学 2023 年秋季 12 月月考试卷
高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
班级 座号 姓名
第Ⅰ卷（选择题 共 60分）
一、选择题：（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．每小题只有一个正确选项）
1．已知集合 A {x∣ 1 x 1},B x∣0 x 2 ，则 A B （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1,2 D． 1,2
【答案】B
【详解】因为集合 A {x∣ 1 x 1},B x∣0 x 2 ，
故 A B {x | 0 x 1}，故选：B
2.设 a log 2 0.50.52，b 0.5 ， c 2 ，则 a b c的大小顺序是（ ）
A．b a c B． a b c
C．b c a D． a c b
【答案】B
【详解】 a log0.52 log0.51 0，0 b 0.52 0.50 1， c 20.5 20 1，
a b c .
故选：B
3.函数 y ax与 y xa的图象如右图所示，则实数 a的值可能是（ ）
A 1
1
．2 B．3 C． 2 D． 3
【答案】D
【详解】显然 a 0．由 y ax 0，知①是函数 y a x的图象，②是函数 y xa的图象．
由函数 y ax的图象可知 0 a 1，排除 A，B．
由②知，函数 y xa在 x 0时有意义，排除 C， 故选：D．
4.函数 f x lnx x 8的零点所在的区间为（ ）
A． 4,5 B． 5,6 C． 6,7 D． 7,8
【答案】C
试卷第 1页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
【详解】因为函数 y ln x, y x 8在 0, 上都是增函数，
所以 f x 在 0, 上单调递增，因为 f 6 ln6 2 0, f 7 ln7 1 0，
所以 f x 的零点所在的区间为 6,7 . 故选：C.
5.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前
二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为 1， 0.58等星的星等值为 0.58 .已知两个天体
E1
的星等值m1，m2，和它们对应的亮度 E1，E2满足关系式m1 m2 2.5lg （ E1 0， E2 0E ），则 1等2
星的亮度是 6等星亮度的（ ）
1 1
A． 倍 B．10倍 C． 倍 D．100倍
10 100
【答案】D
E1
【详解】由题意得：当m1 1，m2 6时，m1 m2 5 2.5lg E ，2
E1 E1 2
即： lg 2，解之得： 10 100E E ，故 D项正确. 故选：D.2 2
6．若不等式 ax2 x c 0的解集为 x 3 x 2 ，则函数 y ax 2 x c的零点为（ ）
A 2和3 B.2和 3 C． 3,0 和 2,0 D． 3,0 和 2,0
【答案】A
【详解】因为 ax2 x c 0的解集为 x 3 x 2 ，
所以方程ax2 x c 0的两根分别为 3和 2，且 a<0，
3
1
2
a a 1
则 ，解得 ，
3 2
c
c 6
a
故函数 y ax 2 x c x 2 x 6 x 2 x 3 ，
则与 x轴的交点坐标为 3,0 和 2,0 ，所以零点为 2和3 . 故选：A.
7 y log x2．函数 0.3 6x 55 的单调递减区间是（ ）
A． ,3 B． 5,3 C． 3,11 D． 11,
【答案】B
【详解】由 x2 6x 55 0，解得 5 x 11，
故函数 y log 20.3 x 6x 55 的定义域为 5,11 ，
令 x2 6x 55，其在 5,3 上单调递增，在 3,11 上单调递减，
第 2页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
又因为函数 y log0.3 为减函数，
2
所以函数 y log0.3 x 6x 55 的单调递减区间为 5,3 . 故选：B.
4 x2 , x 0, x x
8.已知 f x 1 ，若 x1 x2 x3满足 f x1 f x2 f x3
1 2
，则 x 的取值范围为（ ） , x 0 3
x
A． 0，2 3 B． 0， 15 C． 0，8 D． 0，64
【答案】C
4 x2 , x 0 x2 4, x 2
2
【详解】 f x 1 4 x , 2 x 0 ，
, x 0
x 1 , x 0
x
画出函数图像，如图所示，设 f x1 f x2 f x3 a，则 a 0,4
x 1x1 4 a， x2 4 a， 3 ，a
1
2 2
2 = 16 2 ≥ x x a 16 a
0 ,
1 2 a 16 a 2 8 ，
3 x3 2
1 2
当且仅当 a 16 a2 ，即 a 2 2时等号成立，故 ∈ 0,8 ， 故选：C.3
二、选择题：（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．）
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A f (x) x 1 g(x) x
2 1
． 与 B． f (t) t 1 与 g(x) x 1
x 1
C． f (x) lnex与 g(x) 3 x3 D． f (x) eln x与 g(x) x 2
【答案】BC
【详解】对于 A， f x 定义域为R ， g x 定义域为 x | x 1 ，定义域不相同，不是同一函数，A错误；
对于 B，函数 f x 与 g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；
试卷第 3页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
对于 C，函数 f x x x R ，函数 g x x x R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函
数，故正确；
对于 D， f x x x 0 ， g x x ，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D错
误． 故选：BC
10．下列说法正确的有（ ）
b m b
A．若 a b，则 ac2 bc2 B若a b 0，m 0，则
a m a
a b
C．．若 2 2 ，则 a b D．若 1 a 5， 2 b 3，则 4 a b 3c c
【答案】BCD
【详解】对 A：若 c 0，则 ac2 bc2，故 A错误；
b m b m (a b )
对 B：作差得： a m a a (a ， m )
∵a b 0,m 0，则 a m 0,a b 0，
m(a b) b m b
∴ 0 a(a m) ，则 ，故 C正确； a m a
a b 1
对 C：若 2 2 ，可知 2 0，则 a b，故 B正确；c c c
对 D，∵ 2 b 3，∴ 3 b 2，又 1 a 5，则 4 a b 3，故 D正确．
故选：BCD．
11．下列命题正确的是（ ）
A．若函数 f 1 x 的定义域为 0,2 ，则函数 f(x)的定义域为 1，1
3x2 2 1
B． f x 1 的最小值为
2 4
C． f (x)
x 1
( 2, 1)
x 图象关于点 成中心对称 2
2
D．若 x 0 x x 4，则 的最大值是 3
x
【答案】ABD
【详解】对于 A：函数 f 1 x 的定义域为 0,2 ，所以1 x 1,1 ，
所以函数 f(x)的定义域为 1，1 ，A正确；
B 1
t 1 t
对于 ：令 t 3x2 2 2 ，则 y ，因为 t 2
，且 y
2 2
在定义域内递减，
1 t 1 2 3x
2 2
1 1 1
所以 ，所以 y 的最小值为 ，所以 B正确； 2 2 4 2 4
第 4页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
1 1
对于 C，函数 f (x) 1 的图象可视为双曲线 y 向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位而得，
x 2 x
因此 f (x)
x 1
x 图象关于点
( 2,1)成中心对称，C错误；
2
D x 0 x
2 x 4
对于 ，当 时， 1 (x 4 ) 1 2 x 4 3 ，当且仅当 x 2时取等号，D正确. 故
x x x
选：ABD.
12．已知 f (x)的定义域为 R且 f x 1 为奇函数，f x 2 为偶函数，且对任意的x ，x1 2∈（1，2），且x1≠x2，
f (x2 ) f (x1)
都有 0x x ，则下列结论正确的是（ ）2 1
A． f (x)是偶函数 B． f 2023 0
C． f (x)的图象关于（2，0）对称 D． f ( 7 19 ) f ( )
4 8
【答案】ABD
【详解】 f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，
所以 f (x)的图象关于点 (1，0)对称且关于直线 x 2对称，
所以 f (1 x)= f (1 x)， f (2 x)=f (2 x)， f (1) 0，
f (2 x) f (2 x) f (1 1 x)= f [1 (1 x)] f (x)
f (x 4) f (2 x)=f (x)，所以 f (x)是周期函数，4是它的一个周期（ 由图象的对称性也归纳得到）．
f ( 1) f (3) f (2 1) f (2 1) f (1) 0，
f (2023) f (4 506 1) f ( 1) 0，B正确；
f ( x) f (2 x) f (2 x) f [2 (2 x)]=f (x)， f (x)是偶函数，A正确；
因此 f (x)的图象关于点（n,0）对称,其中 n为奇数，得不到 C；
f x f x
对任意的 x1, x2 1,2
1 x x 2 ，且 1 2 ，都有 0，即1 x1 x2 2时，f (x1) f (x2 )，所以 f (x)在 (1, 2)x1 x2
是单调递增，
f ( 7)=f (7) f (19 ， )=f (
19
) f ( 19 4) f (13)， 2
7 13
1，
4 4 8 8 8 8 4 8
f (7) 13 f ( )，∴ f (
7
) f (19)，故 D正确． 故选：ABD．
4 8 4 8
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知命题 p : x 0，5x2 4x 1 0 ，则命题 p的否定为
【答案】 x 0，5x2 4x 1 0 .
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{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
14．若幂函数 y f (x)的图像经过点 2,
1
，则 f(5)= .
2
1
【答案】
5
【详解】设 f (x) x ，则 f (2) 1 2 ，所以 1，
2
1 1
则 f (x) x 1 , f(5)= 故答案为：
5 5
1 log3 4 x , x 215.已知 f x x 1 ，则 f f 1 ，满足 f x 2 的 x的范围是 ．
2 , x 2
【答案】 2 x 1或 x 2 .
2 1
【详解】由题， f 1 1 log3 3 2，则 f 1 f 2 2 2；
当 x 2时， f x 2 log3 4 x 1 log3 4 x log3 3 4 x 3 x 1；
当 x 2时， f x 2 2x 1 2 2x 1 21 x 2 .
综上， x 1或 x 2 .
故答案为： 2； x ≤ 1或 x ≥ 2
lnx , x 0
16．已知函数 f x x f 2 x af x a2 1 0log x , x 0，若关于 的方程 有 4个不等实根，则
a的
3
取值范围为 .
【答案】 1,1
【详解】函数 f x 的图像如图，
2 2
关于 x的方程 f x af x a 1 0有 4个不等实根，
令 t f x , g t t 2 at a2 1，
则 g t 0的一个根在 ,0 中，另一个根在 0, 中，
所以 g 0 a2 1 0，可得 a 1,1 . 故答案为： 1,1 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
第 6页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
17．（10分）计算：
0.5 2 2
(1) 3 0 5
1 10 3
2 2 2 2 π
16 27 4
log 1
(2) 2
2 2 log32 log49 lg2
1
.
log510
5
【答案】(1)0 (2)
2
【详解】（每小题单个运算正确各得 1分，总结果正确得 5分）
0.5 2 2
1 3 0（ ） 5 1 2 2 10 3 2 2 π
16 27 4
1 2 1 2
81
2
2 3
2 2 3 3
2
64
2 1 3 9 4 9
2
2
16 27 4 4 3 16
9 22 4 9
9 9 9
4
0 . ..............5分
3 8 4 8 8
1 1 1
（2）原式= log3 2 log2 3 + lg2 + lg5 = 1 + 1 = ...............10分2 2 2
18. 12 2 2（ 分）设集合 A x | x ax 6a 0 ,B {x | 0 x 2 8} .
(1)求 RB
(2)若 A B B，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) ∞， 2 ∪ 6， +∞ ; (2)a 2或 a 3 .
【详解】
（1）由 0 x 2 8 2 x 6，故 B {x | 2 x 6}. ..............3分
RB= ∞， 2 ∪ 6， +∞ ..............4分
（2）由 A B B B A， ..............5分
2 2
而 A x | x ax 6a (x 2a)(x 3a) 0 ， ..............6分
当 a 0时 A 0 ，不合题意， ..............7分
2 2a
当 a 0时 A
x | 2a x 3a ，则 ，解得 a 2， ..............9分
6 3a
2 3a当 a<0时 A x | 3a x 2a ，则 ，解得 a 3， ..............11分
6 2a
综上， a 2或 a 3 . ..............12分
试卷第 7页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
1
19.（12分）对于函数 f x x a a R ．2 1
(1)判断函数 f x 的单调性，并用定义证明；
(2)是否存在实数 a使函数 f x 为奇函数？证明你的结论．
1
【答案】(1)函数 f x 在定义域内单调递减，证明见解析 (2) a ，证明见解析
2
【详解】（1）解：由题意，函数 f x 1
2x
a a R ， x R ，
1
函数 f x 在定义域内单调递减， ..............1分
证明：设 x1 x2 R ，则
x2 x1
f x1 f x
1 a 1 a 1 1 2 22 x x 2 1 1 2 2 1 2x1 1 2x2 1 2x 1 2x 1 ， ..............3分 1 2
由指数函数的图象与性质知， 2x2 2x1 0，则 2x2 2x1 0， ..............4分
∴ f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ， ..............5分
∴函数 f x 1 x a a R 在定义域内单调递减. ..............6分2 1
（2）解：当 a
1
时函数 f x 为奇函数. ..............7分
2
∵函数 f x 为奇函数，
1 2 x 1 1
∴由奇偶性的定义知， f x
2 x
a x a 1 x a f x a ， 1 2 1 2 1 2x 1
解得： a
1
. ..............9分
2
a 1 f x 1 1证明：当 时， x ， x R ，2 2 1 2
f x 1 1 2
x 1
∵ x x 1
1 1 1 1
x x f x ， ..............11分2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1
∴函数 f x 为奇函数，
1
∴当 a 时，函数 f x 为奇函数 . ..............12分
2
20.（12分）海丝公园池塘里浮萍的面积 y（单位：m2）与时间 t（单位：月）的关系如下表所示：
时间 t /月 1 2 3 4
浮萍的面积 y / m2 3 5 9 17
现有以下三种函数模型可供选择：① y kt b，② y p a t q ，③ y m loga t n，其中 k ,b, p,q,m,n,a均
第 8页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
为常数， a 0且 a 1.
(1)选出你认为最符合题意的函数模型，并求出 y关于 t的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m2,31m2, 211m2 所经过的时间分别为 t1, t2 , t3，写出一种 t1, t2 , t3满足
的等量关系式，并说明理由.
【答案】(1)模型②， y 2t 1 ，没说明理由不扣分 (2) t1 t2 t3 1，理由见解析
【详解】（1）选择函数模型② y p a t q . ..............2分
p a1 q 3 p 1
2
依题意，得 p a q 5
， 解得 a 2， ..............5分
p a
3 q 9 q 1
所以 y关于 t的函数解析式为 y 2t 1 . ..............6分
（2） t1 t2 t3 1 ...............7分
理由：依题意，得 2t1 1 15， 2t2 1 31， 2t3 1 211，
所以 2t1 14， 2t2 30， 2t3 210， ..............10分
所以 2t1 2t2 420，
所以 2t1 2t2 2t1 t2 420 2 2t3 2t3 1， ..............11分
所以 t1 t2 t3 1. ..............12分
21.（12分）已知函数 f x ln 2 x ln 2 x .
(1)写出函数 f x 的定义域并判断其奇偶性；
(2)若存在 x使得不等式 f x m 1成立，求实数m的最大值.
【答案】(1)定义域为 2,2 ，偶函数 (2) ln4 1 .
【详解】（1）解：由函数 f x ln 2 x ln 2 x 有意义，
2 x 0
则满足 x 2 x 2 2 0
，解得 ，
所以函数 f x 的定义域为 2,2 ，关于原点对称， ..............2分
又由 f x ln 2 x ln 2 x ln 2 x ln 2 x f x ， ..............4分
所以函数 f x 为定义域上偶函数. ..............5分
（2）解：若存在 x使得不等式 f x m 1成立，即 f (x)max m 1， ..............6分
试卷第 9页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
由 f x ln 2 x 2 x ln 4 x2 ，其中 x 2,2 ， ..............7分
因为函数 g x 4 x2在 2,0 上单调递增，在 0,2 上单调递减， ..............8分
所以函数 f x 在 2,0 上单调递增，在 0,2 上单调递减， ..............9分
可得 f (x)max f 0 ln4， ..............10分
所以m 1 ln4，即m ln4 1， ..............11分
所以实数m的最大值为 ln4 1 ..............12分
22．（12分）设函数 f (x) x2 ax b(a,b R)．
(1)若 f (x)在区间[0,1]上的最大值为b，求 a的取值范围；
(2)存在实数 a，使得当 x [0,b]时， 2 f (x) 6恒成立，求b的最大值及此时 a的值.
【答案】 (1)a 1； (2)b的最大值是 3，此时a 2 .
【详解】
（1）函数 f (x)的图象是开口向上的抛物线，
则 f (x)在区间[0,1]上的最大值必是 f (0)和 f (1)中较大者，而 f (0) b，..............1分
于是 f (0) f (1)，即b 1 a b， ..............2分
所以 a 1 . .............3分
（2）由当 x [0,b]时， 2 f (x) 6恒成立，得 2 f (0) 6 ，即 2 b 6，............4分
①当 a 0时，如图，
显然函数 f (x)在区间[0,b]上单调递增， f (x)min f (0)， f (x)max f (b)，
b 2 b 2
故 b2 ab b 6，即 6 ， ..............5分 a b 1 b
6
而函数 g(b) b 1在[2,6]上是增函数，
b
于是 g(b)min g(2) 0 ，即有 a 0，
因此 a 0，此时 b2 b 6，b 2； ..............6分
②当 0 b
a
时，如图，
2
第 10页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
显然函数 f (x)在区间[0,b]上单调递减， f (x)min f (b)， f (x)max f (0)，
b a a 2b a 2b
2
f b 2 b2于是 ，即 ab b 2 ，则 a 2 b 1， .............7分
b f 0 b 6
b 6 b 6
2
由不等式性质得 2b b 1，
b
2 2 2
即b 1，而当 2 b 6时，b 3，因此b 1不可能成立； ..............8分
b b b
a
③当 b a时，如图，
2
b 6 b 6
a 4b a 2 a2
于是 f (x)min f ( ) ， f (x) f (0)，则 2，即 b 2 ，2 max 4 4
a
b a
a
b a 2 2
a2
必有 2 a，即 (a 2)2 4 0，显然此不等式不成立； ..............9分
4
④当b a时，如图，
b2 a b 6 ab b 6 1 b 4b a
2
2 a2
于是 f (x)min f (
a) ， f (x)max f (b)，则 4 ，即 b 2 4 ， ..........10分2 b a 0
0 a b
2 b 6 2 b 6
试卷第 11页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}
6
b 1 a
b 2
从而 a 2 b 2
6
，因此b 1 2 b 2 ，即 (b b 6) 2 4(b 2) 0 ，整理得 (b 2)(b 3)(b 2 3b 6) 0 ，
b b
2 b 6
解得 2 b 3， ..............11分
所以b的最大值是 3，此时 a 2 . ..............12分
第 12页，共 12页
{#{QQABLYaAggCIAAAAARhCQQVICkIQkBACCAoOhAAAMAIAQANABCA=}#}泉州患南中学2023年秋季12月月考试卷
高一数学
考试时间：120分钟
满分：150分
班级
座号」
姓名」
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项)
1.已知集合A={-1
A.(O,1)
B.[0,)
c.（-1,2]
D.(1,2]
2.设a=10go.s2,b=0.52,c=25,则a、b,c的大小顺序是（)
A.bB.aC.b3.函数y=a与y=x°的图象如右图所示，则实数a的值可能是(）
A.2B.3
C.
4.函数f(x)=nx+x-8的零点所在的区间为（)
A.(4,5)
B.(5,6)
c.(6,7)
D.(7,8)
5星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）
在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1,0.58等星的星等值为
-0.58.已知两个天体的星等值M,m,和它们对应的亮度R,E满足关系式%-m,=-251g号
(E>0,E2>0),则1等星的亮度是6等星亮度的()
A商
B.10倍
c倍
D100倍
6.若不等式m2-x-c>0的解集为{-3A-2和3
B.2和-3
C.（-3,0)和(2,0)
D.(3,0)和(-2,0)
7、函数y=logo（-x2+6x+55)的单调递减区间是（)
第1页共4贞
A.（oo,3]
B.（-5,31.C.3,11)
D.(11,too)
4-x2,xs0,
若x<<名，满足()=∫（名）=(3)，则5的取值范围为
X
()
A.[0,23
B.[0,V1因
C.0,8
D.[0,64]
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)
,9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（)
A.f倒=x+1与g=-
x-1
B.f)=k-1与g(x)=x-
C.fx)=lne与g(x)=F
D.fx)=en与g(x)=
10.下列说法正确的有
A.若a>b,则ac2>bc2
B若a>b>0,m>0,则+m>b
C者导>总，则>0
D.若-111.下列命题正确的是()
A.若函数(1-x)的定义域为[0,2]，则函数x)的定义域为[-1,1]
3x2+
B.(
的最小值为号
C.f)=2图象关于点(-2-》成中心对称
D.若x>0,则二r+x=4的最大值是-3
12.已知函数(x)的定义域为R且fx+为奇函数，f(x+2)为偶函数，且对任意的x,x2∈
(1,2,且≠，都有飞，)-1>0，则下列结论正确的是（)
为2一
A.(x)是偶函数
B.f(2023)=0
C.(x)的图象关于(2,0)对称
D>1)
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