河南省南阳市唐河县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 （含答案）

2022年秋期期终阶段性文化素质监测八年级
数　学　试　题
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟。
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上。答在试题卷上的答案无效。
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．数据：，，，，其中是无理数的是
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
3．已知△ABC中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在△ABC中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
4．有下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
A． B．
C． D．
5．如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是
A． B． C． D．
第5题图 第7题图
6．如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
7．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB与点D和E；
分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交与点F；
作直线CF；
则直线CF就是所求作的垂线，根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为
A．△CDF B．△CDK C．△CDF D．△DEF
8．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为
A．7 B．8 C．7或8 D．9
9．如图，在△ABC中，，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB=5，BC=13，则BD的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
第9题图 第10题图
10．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．9的平方根是 ．
12．某市从参加数学质量检测的全体学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为研究对象，结果如表所示：
分数段 0~60 60~72 72~84 84~96 96~108 108~120
人数（人） 5 8 30 32 15
百分比 20% 40%
则被抽取的学生人数是_________人．
13．若，，则值为__________．
14．在中，，，．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是
第14题图 第15题图
15．如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若DF=3，则的长为__________．
三、解答题(共75分)
16．（每小题5分，共15分）
（1）计算：
（2）化简：
（3）因式分解：
17．（7分）尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形．在下面的△ABC中，请你也按要求用尺规作出下列图形，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作出的角平分线交BC边于点D；
（2）作出AC边上的垂直平分线交AD于点G；
（3）连接GC，若，，则的度数__________．
18．（8分）某校为了检查体育锻炼的效果，抽取部分学生进行模拟测试[模拟成绩分为40分，50分、60分、70分四个等级（满分70分）]，相关人员依据测试结果绘制如下两幅尚不完整的统计图，请根据图表解答下列问题：
（1）本次参与模拟测试的学生人数为___________；
（2）扇形统计图中“60分”所对的扇形的圆心角为__________，补全条形统计图；
（3）若将60分及以上的分数定为优秀级别，请你估算1200名学生中达到优秀级别的人数．
19．（7分）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗 请你写出计算过程.
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是AB上一点，连接CD，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
（1）求证：△CEA≌△CDB；
（2）求证：BD2+AD2=DE2．
21．（9分）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x－y=－3，xy=－2，则x2+y2=____________，(x+y)2=____________；
（2）若m+n－p=－10，(m－p)n=－12. 求(m－p)2+n2的值；
（3）若a2+ab+b2=10，a2－ab+b2=4，则a－b=____________．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t秒（t>0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为_________．
（3）在整个运动中，直接写出△BCP是以BC为腰的等腰三角形时t的值．
23．（10分）（1）【阅读验证】公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”．
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程：
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．
求证：a2+b2=c2
证明：由图可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG
∵S正方形ABDE=c2，S△ABC=ab，正方形FCHG边长为(a－b)，
∴
即．
（2）【操作发现】如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E．
①求证：CE＝BC＋DE；
②聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程．
（3）【拓展应用】
如图3，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积．
2022年秋期期终阶段性文化素质监测八年级
数学试题参考答案及评分细则
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．C　 2．D　3．D　 4．A　 5．B　 6．A　 7．C　 8．C 9．D 10．B
10．把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．±3 12．150 13．－14 14． 15．2
三、解答题（本大题满分75分）
16．（15分）
解：（1）原式=……………………………2分
……………………………………… .5分
解：（2）
………………………………………………2分
…………………………………………………………………4分
＝4x－6y.……………………………………………………………………………………5分
解：（3）
…………………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………5分
17.（7分）（1）解：作的角平分线交BC边于点D，如图所示，
如图所示，是的角平分线，交于点．……………………………2分
（2）作边上的垂直平分线交于点，如图所示，
如图所示，是边上的垂直平分线．………………………………………………4分
（3）．………………………………………………………………………………7分
18.（8分）（1）20；……………………………………………………………2分
（2）144°，……………………………………………………………………………4分
图见详解； 条形图如下：
………………………………………5分
（3）解：根据题意，60分所占的百分比为；，……………6分
1200名学生中达到优秀级别的人数为：
（人）；……………………………………………………8分
19. （7分）解：设旗杆高米，则绳子长为米，…………………………1分
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
在Rt△ABC中，，
∴，……………………………………………………………4分
解方程得：，…………………………………………………7分
答：旗杆高度为15米．
20.（9分）
(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，………………………………………2分
∴∠ACB－∠ACD=∠DCE－∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△CDB与△CEA中，
……………………………………………………………4分
∴△CDB≌△CEA．…………………………………………………………5分
(2)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，………………………………………………………………6分
由（1）得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC=∠B=45°，BD=AE，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°，………………………………………8分
∴AE2+AD2=DE2，
∴BD2+AD2=DE2．………………………………………………………………9分
21.（9分）（1）5，1 ………………………………………………（每空2分）4分
（2）解：∵m+n－p=－10，(m－p)=－12，
即(m－p)+n=－10，(m－p)n=－12，
∴(m－p)2+n2=［(m－p)+n］2－2(m－p)n………………5分
=(－10)2－2×(－12)=124；……………………………………………………7分
（3）±1 …………………………………………………………………………9分
22.（10分）（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得：AC＝=4．……………………………2分
设斜边AB上的高为h，
∵AB hAC BC，…………………………………………………3分
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．………………………………………………………………………4分
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；
…………………………………………………………………7分
（3）t的值为0.5或5或5.3…………………………（每写对一个1分）10分
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：
∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t．
故答案为：．
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB CH＝AC BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
综上，t的值为0.5或5或5.3．
23.（10分）（1）斜边的平方；……………………………………………………1分
（2）①证明：在等腰直角三角板ABD中
由已知得AD＝AB，∠BAD＝90°
∴∠BAC＋∠DAE＝90°
又∵BC⊥l，DE⊥l
∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°
∴∠DAE＝∠ABC………………………………………………………………2分
∴Rt△ABC≌Rt△DAEAAS）…………………………………………………3分
∴BC＝AE，AC＝DE…………………………………………………4分
又∵CE＝AC＋AE
∴CE＝BC＋DE．……………………………………………………………5分
②解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b
∴S梯形BCED＝(BC＋DE)×CE＝(a＋b)2＝a2＋ab＋b2……………………6分
又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝ab＋c2＋ab
∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2＋ab………………………………………………7分
整理得a2＋b2＝c2 ………………………………………………………8分
（3）飞镖状图案的面积为24.……………………………………………10分
解：∵飞镖模型的周长为24，观察可知4（AB+AC）=24
∴AB+AC=6
∵OB=OC
∴AB=5，OB=3，OA=4
∴飞镖状图案的面积＝4S△ABO＝4××3×4＝24．
已知a+b=4，ab=3，求a2+b2的值.
解∵a+b=4，∴(a+b)2=42，即a2+2ab+b2=16.
∵ab=3，∴a2+b2=(a+b)2－2ab=10
第8题图
第7题图