2023-2024学年福建省三明市四地四校高二上学期期中联考数学试题(含解析）

2023-2024学年福建省三明市四地四校高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为
( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.命题的否定为
( )
A. B.
C. D.
5.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知，则下列说法正确的是
( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则
7.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是
( )
A. B.
C. D.
8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为
( )
A. 或 B.
C. D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，若，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
10.下列函数中最小值为的是
( )
A. B.
C. D.
11.函数的图象如图，则
( )
A.
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
12.已知是定义在的奇函数，且时，，则下列结论正确的是
( )
A. 增区间为 B. 有个根
C. 的解集为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为__________．
14.计算： ．
15.若函数为奇函数，则实数的值为__________．
16.用米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
求
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若不等式的解集为，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数
请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．
20.本小题分
已知，求的最小值
已知是正实数，且，求的最小值．
21.本小题分
某公司生产某种产品每年需要固定投资万元，此外每生产件该产品还需要额外增加投资万元，已知年销售总收入单位：万元关于年产量单位：件满足函数：
记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为万元年利润年销售总收入年总投资．
求万元关于件的函数关系式
该公司的年产量为多少件时，所得年利润最大并求出最大值．
22.本小题分
已知函数
判断函数的奇偶性，并加以证明；
证明：函数在上是减函数；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
根据元素与集合的关系进行逐个判断即可．
【解答】
解：因为，，，，
所以正确的是．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：设幂函数为常数，
幂函数的图象过点，
，
即，
解得，
．
故选：．
利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可．
本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查必要、充分条件的判断，属于基础题．
解方程得或，根据充分、必要条件的定义得出结果．
【解答】
解：由，解得或，
所以“”能推出“或”，“或”推不出“”；
“”是“或”的充分不必要条件，
即是的充分不必要条件
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】
解：根据存在量词命题的否定是全称命题得命题：“，”的否定是：
．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否是同一个函数，判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则是否相同，属于基础题．
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【解答】
解：的定义域为，
A.的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是相同函数
B.，的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是相同函数．
C.，，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是相同函数．
D.，得两个函数的定义域和对应法则相同，所以表示的是相同函数．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础．
根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】
解：若时，不等式不成立，A错误．
B.由不等式的性质可知若，则成立，B正确．
C.当时，不等式不成立，B错误．
D.当时，D错误．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图像的应用，函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的奇偶性，由题意取的特值，排除选项即可．
【解答】
解：因为函数为奇函数，故排除，
当时，，可以排除选项B
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，方程的根与系数的关系，确定出，，的值是解题的关键，属于基础题．
根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可．
【解答】
解：由不等式的解集为，得到，
方程的两个根分别为，，
由韦达定理得：，，
所以，，，
所以不等式可化简为，即，
解得或，
所以不等式的解集为或
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的包含关系，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
由已知结合集合包含关系对进行分类讨论即可求解．
【解答】
解：因为，，，
若时，，则，符合题意；
若，则，
由，得或，解得或，
综上所述，实数的取值为或或，
10.【答案】
【解析】【分析】
对于选项A，举反例判断即可；
对于选项B，利用基本不等式判断即可；
对于选项C，利用复合函数的单调性求解即可；
对于选项D，配方法化简，从而判断．
本题考查了函数的最值的求法，利用了复合函数的性质及配方法等，属于中档题．
【解答】
解：对于选项A，当时，，故错误；
对于选项B，
，
当且仅当，即时，等号成立；故正确；
对于选项C，
，，
故；故错误；
对于选项D，
，
当且仅当时，等号成立；故正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域与值域，属于基础题；
根据函数图象可判断函数的定义域和值域，判断由图象可得，判断由图象可得对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，判断．
【解答】
解：由函数图象可知函数定义域为，故B错误；
由函数图象可知函数值域为，故C正确；
由图象可知，，，故，A正确；
由图象可知对于任意的时，与是一一对应关系，故此时都有唯一的自变量与之对应，D正确，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性、方程根的个数和解不等式，属于一般题．
利用奇函数的性质求出时的解析式，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：由是定义在的奇函数知，
时，，
故时，，D错误
由上可知
由可得或或，故B正确；
由的解析式知在和上均单调递增，故A正确
由，可得或
解得或，故C正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数定义域求法，根据函数形式列出所需满足的条件，解不等式组，可得结果．
【解答】
解：由题意得
解得，且，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数与指数幂的运算，利用指数的运算性质可求得所求代数式的值．
【解答】
解：
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，掌握函数的奇偶性的特点是解题的关键，属于基础题．
根据奇函数性质求解即可．
【解答】
解：因为函数为奇函数，
所以，所以，即，因为，则，
所以．
16.【答案】
【解析】【分析】设窗框的长为，根据木材的总长度是表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，属于中档题．
【解析】设窗户的长为，则宽为，面积设为则当且仅当，即时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时，窗户的长宽之比为．
17.【答案】解：，
因为，，所以当时，
有解得．
【解析】本题主要考查集合的交集运算，集合的关系，属于基础题．
根据集合的交集定义求即可；
由题意可得，解得实数的取值范围．
18.【答案】解：当时，，
，解得或，
不等式的解集为．
若不等式的解集是，
则，
解得，
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查不等式的解法及恒成立问题，属于基础题．
时，不等式化为，求解集即可；
利用判别式，求出的取值范围．
19.【答案】解：图象如图所示
定义域为，
单调递增区间为，单调递减区间为，，，
值域为．
【解析】本题主要考查分段函数图象的作法，分段函数的定义域求法，以及由分段函数的图象求函数的单调区间和值域，属于基础题．
根据函数解析式，分别作出各段图象即可；
由解析式可求出函数的定义域，由图观察，即可得到单调区间以及值域．
20.【答案】解：，即，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为
解：，是正实数，且，
则
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．
由题意可得，然后结合基本不等式即可求解；
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．由题意可得，然后结合基本不等式可求．
21.【答案】解：当时，，
当时，，
故
当时，，
当时，，
当时，，
故年产量为件时，取得最大年利润万元．
【解析】本题考查了函数模型的应用，二次函数的性质，分段函数，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题意，将实际问题转化为数学问题，利用分段函数表示即可；
由中分段函数，分别求各段的最大值进行比较，即可求出函数的最大值．
22.【答案】解：的定义域为，，，且，为偶函数．
证明：设，，且．
则
．
，，，
，，，，
在上是减函数，
由，得，
又是偶函数，
，
又，，
且在上为减函数，
，
即，即
解得，或
不等式的解集是，或．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，利用函数单调性解不等式，属于中档题．
利用函数的奇偶性定义，判断函数的奇偶性；
利用函数单调性定义，证明函数在上是减函数；
由函数奇偶性、单调性可得，解得，即为不等式的解集．
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