广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含解析）

2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中最小正周期为且是奇函数的为( )
A. B.
C. D.
3.已知扇形面积为，扇形的圆心角为，扇形的周长为
( )
A. B. C. D.
4.函数，的图象在区间的交点个数为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则( )
A. B.
C. D.
6.设且，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的有
( )
A. 为偶函数
B. 为增函数
C. 若，则
D. 若，则
10.已知，，且，则下列不等式恒成立的是
( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数，对任意的，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是
( )
A. B. 函数的单调增区间为
C. 函数为奇函数 D. 函数为上的增函数
12.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 与的定义域都是
B. 为偶函数且也为偶函数
C. 的值域为，的值域为
D. 与最小正周期为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为 ．
14.函数的最小值是 ．
15.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则_______．
16.设函数，，其，若，，且的最小正周期大于，则 ， ．
四、解答题：本题共8小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知求的值．
已知，求的值．
18.本小题分
函数图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为
求函数在上的单调递增区间；
当时，求的值域．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为
求的表达式，并求；
若，求的值．
20.本小题分
已知函数为奇函数，．
求的值；
判断函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为元，售价为元，月销售万瓶．
据市场调查，若售价每提高元，月销售量将减少瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润月总利润月销售总收入月总成本，该饮料每瓶售价最多为多少元？
为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
22.本小题分
已知函数与有相同的定义域．
解关于的不等式；
若方程有两个相异实数根，，且在区间上单调递减，证明：．
参考结论：，
23.本小题分
已知，函数．
若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
设，记为集合中元素的最大者与最小者之差．若对，恒成立，求实数的取值范围．
24.本小题分
若定义域为一切实数的函数满足：对于任意，都有，则称函数为“启迪”函数．
设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否是“启迪”函数，并说明理由；
设函数的表达式是，判断是否存在以及，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出、，若不存在，请说明理由；
设函数是“启迪”函数，且在上的值域恰好为，以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且只有一个零点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查交集的运算，涉及一元二次不等式求解，属于基础题
解不等式得到集合，再利用交集的定义及其运算求解即可．
【解答】
解：集合，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的周期与奇偶性，属于基础题．
【解答】
解：对于，最小正周期，故A错误；
对于，为非奇非偶函数，故B错误；
对于，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于，为偶函数，故D错误．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形的弧长及面积公式，属于基础题．
【解答】
解：由扇形面积公式得半径，所以弧长故扇形周长为．
4.【答案】
【解析】【分析】
由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
【解答】
解：由函数，的图象在区间的图象可得，
它们的交点个数为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换，属于基础题．
直接利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式．
【解答】
解：函数的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，
得到的图象，再将函数的图象向右平移个单位，
得到的图象．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，指数函数、对数函数的性质，属于中档题．
根据对数函数以及指数函数的性质，判断“ ”和“ ”之间的逻辑推理关系，结合充分必要条件的定义即可判断求解．
【解答】
解：当时，由，可得，
由于为上增函数，则，
当时，由，可得 ，
由于为上减函数，则，
则“ ”是“ ”的充分条件；
当时，取，满足条件，但无意义，
则“ ”不是“ ”的必要条件，
故“ ”是 “ ”充分不必要条件．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
【解答】
解：由题意得，偶函数在上单调递减，
，，，而，
故，
又，
所以，
又在上单调递减，
所以，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象，函数零点、方程的根的个数和二次方程根的分布，属于中档题．
利用分段函数的图象，结合指、对数函数的图象作出函数的图象，利用函数零点、方程的根的个数，结合图象把问题转化为关于的方程在有两个不同的实数根，再利用二次方程根的分布，计算得结论．
解：作函数的图象如下：
由图象知：要关于的方程有个不同的实数根，
设，则关于的方程在有两个不同的实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围为
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的性质，属于中档题．
先求出幂函数的解析式，再逐一分析求解即可．
【解答】
解：设幂函数，
则，所以，该函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，A错误；
由幂函数的性质可得，在定义域上，为增函数，B正确；
若，则，C正确；
当时，
，
并且，且，
所以，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
直接利用基本不等式依次判断各选项即可．
【解答】
解：因为，，
所以，当且仅当时取等号，
则，
，故A正确；
，故B错误；
，
当且仅当时取等号，故C正确；
因为，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
，
当且仅当，时取等号，
则，故D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
利用赋值法求，判断，通过赋值，结合奇函数的定义判断，根据单调性的定义判断．
【解答】
解：因为对任意的，都有，
取，可得，所以，A正确；
取，可得，，
所以函数为奇函数，C正确；
任取实数，且，则，
因为，所以，又当时，恒成立，
所以，所以，所以，
所以函数为上的增函数，D正确，B错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的性质，属于拔高题．
根据正弦函数和余弦函数性质判断；根据奇偶函数定义判断；根据复合函数值域判断；根据周期函数定义判断．
【解答】
解：对于，与的定义域都是，所以错；
对于，因为，，
和都是偶函数，所以对；
对于，因为，，所以的值域为，
因为，，在内单调递增，
所以的值域为，所以对；
对于，，是一个周期，所以错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
【解答】
解：由解得．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值即可．
【解答】
解：，易知，
由，
得
，
当且仅当 ，即时等号成立，
所以函数 的最小值是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性以及函数的求值问题，属于较难题．
由题意，得的周期为，则，推出当时，，由此可得答案．
【解答】
解：由，即有，
由，即有，
所以，即的周期为，则，
而，即，
若令，则，
当时，知：，结合，
所以，当时，，
所以，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题．
由题意求得，再由周期公式求得，最后由求得值．
【解答】
解： ，，且的最小正周期大于，
的最小正周期为，
，．
又，
即，
即，，
得，．
又，取，得．
故答案为 ．
17.【答案】解：原式．
，两边平方得，，，
，．
．

【解析】本题主要考查利用诱导公式化简求值，属于基础题。
18.【答案】解：函数图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，
故，所以；
故函数；
令，整理得：；
由于，则或，即和，
故函数的单调递增区间为和
由可知函数，
由于，所以，则，
故函数的值域为．
【解析】本题考查正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递增区间；
利用函数的定义域即可得出函数的值域．
19.【答案】解：因为，所以，
由三角函数定义，得，
所以．
因为，所以，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，．
【解析】本题考查三角函数的定义和三角函数化简求值，属于基础题．
利用三角函数的定义求得，再求函数值即可
求出，得，利用同角三角函数关系式即可求解．
20.【答案】解：函数定义域为因为函数为奇函数，
所以有，即．
又，
则
，
所以．
由知，．
任取，不妨设，
，
，，．
又，，
，
即，
函数是上的增函数．
因为函数为奇函数，
所以等价于
，
是上的单调增函数，
，即恒成立，
，
解得
所以实数得取值范围是．

【解析】本题考查函数的奇偶性，判断或证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于一般题．
根据奇函数性质可得，，代入即可得到的值；
利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可；
利用奇函数性质可推得，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在上恒成立的问题，求解即可．
21.【答案】解：设提价元，由题意，每瓶饮料利润为元，月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，月利润不低于原来月利润，
所以，，
即，，
所以，所以售价最多为，
故该饮料每瓶售价最多为元；
由题意，每瓶利润为元，月销售量万瓶，
设下月总利润为，，
整理得，
，
因为，所以，
，
当且仅当时取到等号，
故当售价为元时，下月的利润最大为万元．
【解析】本题考查了函数模型，利用不等式的知识解决实际问题．
设提价元，则每瓶利润为元，由此算出月销量，进而可以求出总利润的关系式，再求出原来的总利润，令提价的利润大于等于原来的利润，即可解出的范围，进而可以求解；
由题意可得每瓶利润为元，进而求出月销量，则可得月总利润，再利用函数的性质即可求解．
22.【答案】解：已知函数与有相同的定义域，
所以与的定义域都是，
方程的判别式，
当，即时，在上恒成立；
当，即时，的根为，
所以的解集为，且；
当，即时，的两根为，，
若，则，
所以的解集为，或；
若，则，所以的解集为
综上所述：当时，的解集为；
当时，的解集为或；
当时，的解集为，且；
当时，的解集为．
证明：由知，若方程有两个相异实数根，，
则，且，，
因为在上是减函数，
所以，
所以
．
因为时，，
又，所以．
因为
，
且，
所以，
所以，
所以．
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式的证明，属于难题．
由已知可得与的定义域都是，对方程的判别式分类讨论，即可求得不等式的解集；
由可得，且，，结合的单调性计算可得，利用参考结论可证，从而可证得结论成立．
23.【答案】解：方法：因为，
由题意得，即，
即，
所以，，
对于任意，，设，
所以，
因为，又，
所以，
而，所以，
所以，所以函数在区间上是单调递减的．
方法：因为，
由题意得，即，
即，
所以，，
因为，
所以函数图像的对称轴方程为，
因为，所以，即，
所以函数在上是单调递减的．
设，，
因为函数对称轴为，
当即时，在上单调递减，
，
当，
即时，，
当，
即时，，
当即时，在上单调递增，
，
综上可得：，
在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
对，恒成立，只需即可，解得，
所以的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数值域及单调性的判断，及函数含参的恒成立问题，属于较难题目．
根据最小值找出，，三者之间关系，从而表示，，单调性的判断可利用定义，也可利用二次函数对称轴．
找出解析式，恒成立，故找出的最小值，即可．
24.【答案】解：函数是“启迪”函数，不是“启迪”函数，说明如下：
因为，
所以，
对任意，都有，
所以是“启迪”函数；
，，
所以，
所以不是“启迪”函数；
如果函数是“启迪”函数，则有，即，
于是，结合，知，
因此；
若，不妨设，
由可知：
记作，其中，
只要充分大时，将大于，
又因为的值域为，等式将无法成立，
综上所述必有，即．
再由，，从而，解得，
当时，，，
又因为，显然两者不恒相等比如时，
综上所述，不存在以及，使得是“启迪”函数；
由函数是“启迪”函数，以及可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即，
由，及题设可知，
在的值域为，，
当时，当及时，
均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为，
此时，
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时在时和时的取值范围不同，
因而，
所以．
【解析】本题主要考查函数的新定义，函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于难题．
根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，再验证不具有性质，进而得到答案；
结合，并根据题意得，进而得在的值域为，，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
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