2023-2024学年广东省佛山市南海区高一上学期学业水平测试数学试题(含解析）

2023-2024学年广东省佛山市南海区高一上学期学业水平测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
A. B. C. D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为( )
A. B. C. D.
5.设则( )
A. B. C. D.
6.已知函数为奇函数，且当时，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数在上单调递减，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是实数，下列命题正确的是( )
A. 是的充分不必要条件
B. 是的既不充分也不必要条件
C. 是的充分不必要条件
D. 是的必要不充分条件
10.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数则( )
A.
B.
C. 有唯一零点
D. 若当时，，则的最大值是
12.对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现关于，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题，，则命题的否定为 ．
14.函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则 ．
15.已知函数若函数有三个零点，写出满足条件的的一个值 ．
16.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合，，若 ，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数在区间上有最大值，最小值．
求，的值
设，，求的最小值．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
求时的解析式
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
判断并证明函数的奇偶性
若
(ⅰ)判断在的单调性，并用定义加以证明
(ⅱ)解不等式：．
21.本小题分
当环境相对稳定时，初始温度为的物体，经过一段时间后的温度为可以用牛顿冷却定律来描述：，其中为环境温度，为环境参数当室温保持为时，李华在点时用智能电热水壶烧升水，开始时水温与室温一致，加热时水的温度与时间成一次函数，分钟后水温达到，水壶停止工作，壶中热水开始自然冷却，点分时，壶中水温为．
求点起壶中水温单位：关于时间单位：分钟的函数
若李华在水烧开时需离开一段时间，于是将智能电热水壶设定为保温状态，此时水壶会自动检测壶内水温，当水温高于临界值时，加热设备不工作当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致李华离开后，壶中的水在几点几分开始第二次加热结果保留整数参考数据：，
22.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数，．
函数的图象是否有对称中心请用题设定理证明
当时，记，中较小者为，请讨论是否对任意，都有最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
利用交集和补集运算即可求解．
【解答】
解：由题意，得
则，故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查根据对数函数和指数函数的性质比较大小，属于基础题．
依据对数函数和指数函数的性质，确定、、的范围，然后判定选项．
【解答】
解：，
，
，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性的判定，关键是熟悉常见函数的单调性、奇偶性．根据题意，依次分析选项，验证是否满足单调递增以及奇函数，即可得答案，属于基础题
【解答】
解：根据题意，若图象又关于原点对称，则函数是奇函数，依次分析选项：
对于、 是指数函数，不是奇函数，不符合题意，故A错；
对于、在上为增函数，且，是奇函数，故B符合题意；
对于、是反比例函数，在其定义域上不是增函数，故C不符合题意；
对于，是偶函数，故D不符合题意．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数运算的实际应用，也考查了运算求解能力，属于基础题．
把代入中，直接求解即可．
【解答】解：在中，，
所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
根据分段函数的解析式，分别求出与的值，由此能求出．
【解答】
解：函数，
，，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性解不等式，属于基础题．
根据奇偶性和单调性的关系将不等式转化为，，解不等式即可．
【解答】
解：偶函数在区间内单调递减，，
若，则等价为，
即，得，即，
即不等式的解集为
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的恒成立问题，考查了初等函数的最值问题，属于中档题．
求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答．
【解答】
解：当时，，则，
因为对任意的，都存在，使得成立，
因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，
而当时，，，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
举反例可判断命题、、、的正误．
【解答】解：当，时，，但，可得不是的充分条件，因此不正确；
B.当，时，，但，可得不是的充分条件，当，时，，但，可得不是的必要条件，因此正确；
C.由，若，则，不是的充分条件，因此不正确；
D.由，若，则，不是的充分条件，由，是的必要条件，因此正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式逐个判断即可．
【解答】
解：，，，
对于，当且仅当时，取等号，故A正确；
对于：，
当且仅当时，取等号，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，当且仅当时，取等号，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
直接由分段函数解析式求判断；画出函数的图象，数形结合判断．
【解答】
解：函数
对于，，
，故A正确；
作出函数的图象如图：
由图可知，B错误；C正确；
对于，若当时，，
则的最大值是 ，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数新定义问题，属于拔高题．
先又的定义，得到，再由题中给出的的性质，对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：由于表示曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积，
故L
从而
，A正确；
，B正确；
取，，则
，故C不正确；
，其中
构造函数，
故在单调递增，
又，故当时，恒成立，
从而，即，
即，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题的否定为“，”．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．
利用可得定点，代入幂函数即可．
【解答】
解：对于函数，令，解得，此时，
因此函数的图象恒过定点．
设幂函数，在幂函数的图象上，
，解得．
．
．
故答案为．
15.【答案】答案不唯一，落在区间即可
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象和函数零点、方程的根的个数，属于基础题．
利用分段函数的图象作出直线和函数的图象，再利用函数零点、方程的根的个数，结合图象得结论．
【解答】
解：作直线和函数的图象如下：
因为函数有三个零点，所以直线和函数的图象有三个不同的交点，
因此由图象知：，所以满足条件的的一个值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查与一元二次不等式恒成立有关的问题，属于中档题．
首先判断为奇函数并且在上单调递增；然后根据，所以问题转化为不等式，即，亦即在时恒成立，最后构造函数，根据二次函数的性质，通过讨论区间中点与对称轴的相对位置，求出的最小值，列出不等式组，分别求解，综合即可．
【解答】
解：因为函数的定义域为，并且，
所以为奇函数；
又当时，，这时单调递增，所以在上单调递增；
而，所以由，得，
于是，即在时恒成立．
令，根据二次函数的性质知：
当，即时，，
由解得：
当，即时，，
由解得：
综上所述，实数的取值范围是．
17.【答案】解：若选择，
又因为，
则是的子集，，
当时，，即时，，满足题意；
当时，则，或，解得，
综上可得，实数的取值范围是，．
若选择，
则当时，即，即时，满足题意，
当时，则时，或，解得，
综上可得，实数的取值范围是，．
若选择，则，
当，即时，，满足题意；
当时，则时，，解得；
综上可知，实数的取值范围是．
【解析】本题考查了交集、并集、补集的综合运算，涉及了分类讨论思想的应用，解题的关键是掌握集合交集、并集、补集的定义，属于中档题．
分别利用集合的交集、补集、并集的定义对进行分类讨论，分别求解即可．
18.【答案】解：函数开口方向向上，对称轴为．
所以在上单调递增，所以
于是
解得，．
由可知，所以．
因为，所以．
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
【解析】本题主要考查二次函数性质，基本不等式，属于中档题．
由题意可得，可得，；
由题意可得，利用基本不等式可得的最小值．
19.【答案】解： 当时，，则．
又因为为偶函数，所以当时．
由可知，当时，．
若存在，使得成立，即成立，即成立．
令，因为，所以，所以．
令，则其开口方向向下，对称轴为，所以函数在上单调递减．
所以当，即时．
于是，所以实数的取值范围是．
【解析】略
20.【答案】解：的定义域为
因为，都有，
且．
所以函数为奇函数．
当时，．
在上单调递增，理由如下：
，，且，有
，
因为，
所以，，，，
所以，
即．
于是，即
因此，在区间上单调递增．
是奇函数，不等式等价于，
所以，即
由知在上单调递增，
所以，解得，
所以原不等式的解集为
【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．
利用函数奇偶性的定义法即可判断；
当时，，再利用函数单调性的定义法能进行证明；
是奇函数，不等式等价于，即，即，再结合函数的单调性求解即可．
21.【答案】解：当时，，
由时，则，
可得，所以．
当时，由题意，
则，可得，
从而，即．
综上所述，
设水从降至需要分钟，由，得
从而，即水开后分钟，水温降至．
设水从加热到需要的时间为，则．
设水从降至时需要的时间为，由，得．
从烧开后到第二次加热需要分钟，所以点分时开始第二次加热．
【解析】本题考查分段函数的求解，函数与方程的应用，考查计算能力．属于中档题．
由题意直接利用已知条件求解函数的解析式，
结合指数函数的运算求解即可．
22.【答案】解：法的图象有对称中心，证明如下．
设，则．
因为，所以为奇函数，由题设结论可知的图象有对称中心．
法设的图象有对称中心，则为奇函数．
于是，即，即
，于是，化简可得于是，解得，．
所以的图象有对称中心．
由得，所以．
，因为在，上单调递减，所以在，上单调递减，从而在，上单调递增，在上单调递减．
在上递增．
当时，，而，所以．
当时，，，所以．
当时，当时，，所以，于是在上的值域为，而，所以．
当时，设，则在上单调递增，且时，．或．
，所以存在唯一的，使得．
当时，，，所以．
当时，，，所以．
综上所述，．
所以当且时，的值域为
当，若，则的值域为，因为，所以在上的值域为，此时有最大值．
而，即，时，，由得，即时，有最大值．
当，，此时在上的值域为，所以没有最大值．

【解析】本题考查了函数的对称性、单调性及函数的值域问题，函数的单调性与奇偶性的综合应用，是困难题．
设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解方程即可得解；
根据的取值情况求出的解析式，分情况讨论，从而可得出答案．
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