2023-2024学年黑龙江省鸡西市密山市高一上学期期末联考数学试题(含解析）

2023-2024学年黑龙江省鸡西市密山市高一上学期期末联考数学试题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，，则“关于的不等式有解”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，这是一个古典概型的样本空间和事件，，其中，，，，则
( )
A. B. C. 与互斥 D. 与不相互独立
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若定义域为的函数同时满足：；当时，；当，时，，则可以是
( )
A. B.
C. D.
8.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数且的大致图象如图，则函数的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
9.若正方形，为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是
( )
A. 可以表示平面内任意一个向量
B. 若，则在直线上
C. 若，，则
D. 若，则
10. 对于实数，，，下列说法正确的是
( )
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，
C. 若，，则
D. 若，且，则的最小值为
11.新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分满分为分，根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在内的居民有人则以下说法正确的是
( )
A.
B. 调查的总人数为
C. 从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D. 根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于分的居民不超过全体居民的”的规定
12.若关于的方程有两个根，则的取值范围是
13.过半径为的球表面上一点作球的截面，截面的面积为，则球心到该截面的距离为
14.函数且的图象过定点 直线的倾斜角为 ．
15.已知函数，若存在实数，当时，，则的取值范围是 ．
16.已知
当时，解不等式；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
17.如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，为的中点．
求证：；
若二面角的大小为，求的长．
18.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每小时元，乙俱乐部按月计费，一个月中小时以内含小时元，超过小时的部分每小时元；某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动，其活动时间不少于小时，也不超过小时．设在甲家开展活动小时的收费为元，在乙家开展活动小时的收费为元．
试分别写出和的解析式．
选择哪家比较合算请说明理由．
19.一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是年为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．
求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；
到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求直方图的的值；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由；
估计居民月用水量的中位数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
利用交集和补集运算即可求解．
【解答】
解：由题意，得
则，故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“，”的否定是，
故选A
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与一元二次不等式的关系，考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据一元二次不等式解法及充要条件的定义求解即可．
【解答】
解：当，时，不等式恒成立，不等式有解，充分性不成立，
，当时，二次函数的图象与轴有两个不同的交点，不等式有解，必要性成立，
关于的不等式有解是的必要不充分条件，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】利用诱导公式求得正确答案．
【详解】．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】计算出事件和事件，以及、的 概率即可判断，，由于即可判断项，分别计算与的值，看二者的关系即可判断项．
【详解】对于项，由题意得，故 A项错误；
对于项，因为，
所以，故 B项正确；
对于项，，故 C项错误；
对于项，因为，，由项知，
所以，所以与相互独立，故D项错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
利用余弦函数的图象和性质，结合排除法进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，是中档题．
【解答】
解：，排除，
由，得或，得，得，，
当时，，当时，，时，，
即轴右侧连续三个零点分别为，，，
当时，，排除，
当时，，且，此时，不可能小于，即排除，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的奇偶性、单调性依次判断选项即可．
【详解】选项：，不满足，故A错；
选项：，满足；单调递增，故满足；
令，则，，
由得，不满足，故B错；
选项：当时，，为奇函数且在和上单调递增，满足，
令，则，，，
所以，不满足，故C错；
选项：当时，，当时，，
当时，，所以满足；
当时，单调递增，满足；当时，，
，即，
满足，故D正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解．
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项 C符合．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】由平面向量基本定理判断；由向量共线的推论判断；利用向量加法、数乘等线性运算用表示出；由题设可得，若为中点，则，即可判断．
【详解】：由题意，又，以为基底的坐标系中，
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量，对；
：由向量共线的推论知：，则在直线上，对；
：由题设，则，
所以，错；
：由，则，
若为中点，则，即且，如下图示，
所以，对．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题的否定、不等式的基本性质判断不等关系、作差法比较大小、以及基本不等式判断最值或范围，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：对于：因为，所以，左右同除，可得，故A正确；
对于：命题“，”的否定是“，，故B错误；
对于：因为，，所以，所以，故C正确；
对于：因为，且，所以，即，得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
这与矛盾，所以，无最小值，故 D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及中位数、平均数的计算公式，逐项判定，即可求解．
【详解】由频率分布直方图的性质，可得，
即，解得，所以 A正确；
设总共调查了人，可得，
解得，即调查的总人数为人，所以B错误；
中位数位于区间，设中位数为，
则，解得，
由频率分布直方图知各段的频率分别为，
设平均数为，
则．
可得，所以 C正确；
由评分在的居民占调查总人数的，所以评分低于分的居民不超过全体居民的，所以 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
令，，可化为，进而求有两个正根即可．
【详解】令，则方程化为：
方程有两个根，即有两个正根，
，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题，关键换元法的使用，难度一般．
13.【答案】
【解析】【分析】
充分利用球的半径、球心与截面圆心的连线、在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．
【详解】设球的半径为，球心与截面圆心的连线的距离为，截面圆的半径为，则有，求得：．
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查球的截面性质中的解直角三角形问题，难度较易．
14.【答案】 ． ．
【解析】【分析】利用对数函数的性质求得的图象所过定点；由直线的一般式得到其斜率，进而求得其倾斜解．
【详解】因为，
令，得，此时，
所以的图象所过定点为；
易得直线的斜率为，则其倾斜角为．
故答案为：；．
15.【答案】
【解析】【解析】
【详解】
所以，，得
则，
令，得
又，则取值范围为．
点睛：分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到
，，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可．
16.【答案】解：当时，，
；
因为在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值的差为
，
因此，
即对任意恒成立，
因为，所以在上单调递增，
所以，
因此．
【解析】本题主要考查了函数的单调性和最值、对数函数的单调性和二次函数等，是中档题．
将代入，然后解不等式即可；
先在上单调递减得到，然后整理得到对任意恒成立，再利用函数的单调性即可得到答案．
17.【答案】解：连接，交于点，
因为在长方体中，平面，平面，
所以，又因为底面为正方形，
所以，且，平面，
所以平面，因为平面，所以；
连接，易知，所以，
且为的中点，所以在等腰中，，且，
所以为二面角的平面角，即，
所以，所以．

【解析】连接，交于点，利用线面垂直的判定定理可证平面，进而可证结论成立．
连接，证明为二面角的平面角，求出的长度，进而求出的长．
18.【答案】解：由题意，，，
由，解得，
当时，；
当时，；
当时，，
由，得，
故时，．
所以当时，选甲家比较合算；
当时，两家一样合算；
当时，选乙家比较合算．

【解析】由题意直接写出和的解析式即可；
根据解析式分类比较和的大小即可．
19.【答案】解：依题意，设每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比为，
则，即，
则，解得，
所以每年砍伐面积的百分比为．
设到今年为止，该森林已砍伐了年，剩余面积为原来的，
则，即，
又由知，则，所以，解得，
故到今年为止，该森林已被砍伐年．
设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为，
令，即，
则，所以，解得，
故今后最多还能砍伐年．

【解析】根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
到今年为止，森林剩余面积为原来的，列出相应表达式，解之即可得解；
设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式，解之即可得解．
20.【答案】解：由频率分布直方图，可知：月均用水量在的频率为．
同理，在，，，，，等组的频率分别为，，，，，．
由，
解得．
由Ⅰ位居民月均用水量不低于吨的频率为．
由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为．
设中位数为吨．
因为前组的频率之和为，
而前组的频率之和为
所以．
由，解得．
故可估计居民月均用水量的中位数为吨．

【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力第问，由高组距频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为，计算出的值；第问，利用高组距频率，先计算出每人月均用水量不低于吨的频率，再利用频率样本容量频数，计算所求人数；第问，将前组的频率之和与前组的频率之和进行比较，得出，再估计月均用水量的中位数．
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