2023-2024学年上海市闵行区高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年上海市闵行区高一（上）期末数学模拟试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.
1．（4分）已知集合A＝{x|y}，集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝　 　．
2．（4分）若10m＝2，10n＝3，则10　 　．
3．（4分）在等差数列{an}中，满足an＞0，且a4＝5，则的最小值为 　 　．
4．（4分）已知log32＝a，则用a表示log827＝　 　．
5．（4分）若函数f（x）＝acosx﹣1﹣1，x∈[﹣π，π]，则函数过定点 　 　．
6．（4分）已知函数，则f（0）＝　 　；　 　．
7．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象如图所示，那么实数m的值是　 　．
8．（5分）已知|4x﹣3|＝3﹣4x，则x的取值范围是 　 　．
9．（5分）若函数，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）的值为 　 　；不等式f（x）+f（2x﹣1）＞﹣2的解集为 　 　．
10．（5分）已知函数，当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x2）＝g（x1），则实数a的取值范围是　 　．
11．（5分）已知关于x的函数的定义域是R，则实数m的范围是 　 　．
12．（5分）已知：点A（﹣1，a）、B（1，b）在反比例函数的图像上，则a 　 　b（用“＞”、“＝”、“＜”填）．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）已知函数，则“f（x）≤0”是“x＝0”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
14．（4分）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝x3
15．（5分）已知10m＝2，lg3＝n，则lg15＝（　　）
A．m+n+1 B．m+n﹣1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1
16．（5分）已知定义在（﹣1，0）∪（0，1）上的函数f（x），给出下列四个结论：
①存在x0使得f（x0）＝0；
②有且只有两个x0使得f（x0）＝x0；
③不存在x0使得f（f（x0））＝f（x0）＝x0；
④有且只有两个x0使得f（f（x0））＝f（x0）．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①② C．①②④ D．③④
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）已知集合M＝{x|0}，N＝{x|a﹣1≤x≤a+1}．
（1）当a＝9时，求M∪N；
（2）若M N，求实数a的取值范围．
18．（14分）设函数f（x）＝log3（a+x）+log3（2﹣x）（a∈R）是偶函数．
（1）若f（p）＝1，求实数p的值；
（2）若存在m使得f（2m﹣1）＜f（m）成立，试求实数m的取值范围．
19．（14分）某手机生产商计划在2022年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x），由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2022年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）2022年产量为多少（千部）时，该生产商所获利润最大？最大利润是多少？
20．（18分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）证明：对任意实数b，函数y＝f（x）的图象与直线yx+b最多只有一个交点；
（Ⅱ）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围．
21．（18分）已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝3x．
（1）求f（x），g（x）并证明：f2（x）+g2（x）＝f（2x）；
（2）当x∈[log32，1]时，不等式2f（2x）+2ag（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
2023-2024学年上海市闵行区高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．【解答】解：集合A＝{x|y}＝{x|x≤2}，
集合B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
则A∩B＝[0，2]．
故答案为：[0，2]．
2．【解答】解：∵10m＝2，10n＝3．∴m＝lg2，n＝lg3．
则1010（10）（）．
故答案为：．
3．【解答】解：因为等差数列{an}中，满足an＞0，且a4＝5，
所以a2+a6＝2a4＝10且a2＞0，a6＞0，
则（a2+a6）（）（17）（17+2），
当且仅当，即a6＝4a2，即a2＝2，a6＝8时取等号．
故答案为：．
4．【解答】解：因为log32＝a，
所以log827．
故答案为：．
5．【解答】解：函数f（x）＝acosx﹣1﹣1，x∈[﹣π，π]，
令cosx﹣1＝0得，cosx＝1，
又x∈[﹣π，π]，所以x＝0，此时f（0）＝a0﹣1＝0，
所以函数f（x）过定点（0，0）．
故答案为：（0，0）．
6．【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1；．
7．【解答】解：由题意根据幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象，
可得m2+m﹣1＝1，且m为负偶数，
求得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．【解答】解：|4x﹣3|＝3﹣4x，则4x﹣3≤0，x，
则x的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
9．【解答】解：∵，且f（0）＝﹣1，
∴f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝﹣5；
又不等式f（x）+f（2x﹣1）＞﹣2可化为：f（x）+f（2x﹣1）＞f（x）+f（﹣x），
即f（2x﹣1）＞f（﹣x），
且由基本初等函数知f（x）在R上单调递增，
∴f（2x﹣1）＞f（﹣x），
即2x﹣1＞﹣x，∴．
故答案为：﹣5；．
10．【解答】解：f（x）＝ax21（a＞0）在[1，2]递增，可得f（x）的值域为[1a，1a]，
g（x）＝x，a＞0，当2，即a≥4时，g（x）在[1，2]递减，可得g（x）的值域为[2a，1+a]；
当1＜a≤2时，g（x）在[1，2]的值域为[2，2a]；
当2＜a＜4时，g（x）在[1，2]的值域为[2，1+a]；
当1，即0＜a≤1时，g（x）在[1，2]递增，可得g（x）在[1，2]的值域为[1+a，2a]；
由任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x2）＝g（x1），
可得或或或，
解得4≤a≤6或1＜a≤2或2＜a＜4或a≤1，
所以a≤6．
则a的取值范围是[，6]．
故答案为：[，6]．
11．【解答】解：根据题意，设f（x）＝mx2﹣6mx+m+8，
若函数的定义域是R，则函数f（x）≥0在R上恒成立，
当m＝0时，f（x）＝8，符合题意，
当m≠0时，必有，解可得0＜m≤1，
综合可得：0≤m≤1，即m的取值范围为[0，1]；
故答案为：[0，1]．
12．【解答】解：将A（﹣1，a）代入，得到a＝3；
将B（1，b）代入，得到b＝﹣3．
所以a＞b．
故答案为：＞．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．【解答】解：x＝0 f（x）＝0．
f（x）≤0，可得或，
解得x＝0或x＞0．
∴“f（x）≤0”是“x＝0”的必要不充分条件．
故选：B．
14．【解答】解：对于A，由指数函数的性质可知y＝2x为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，由反比例函数的性质可知在（0，+∞）和（﹣∞，0）均为单调递减函数，故B错误，
对于C，y＝x2的定义域为R，由于f（﹣x）＝（﹣x）2＝f（x），所以y＝x2为偶函数，故C错误，
对于D，y＝x3的定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），故为奇函数，又y＝x3为R上的单调递增函数，故D正确，
故选：D．
15．【解答】解：∵10m＝2，∴m＝lg2，
∴lg15＝lg（3×5）＝lg3+lg5＝lg3+（1﹣lg2）＝n+（1﹣m）＝n﹣m+1，
故选：C．
16．【解答】解：对于①，当0＜x0＜1时，令f（x0）＝0，可得，解得x0＝0（舍）或x0＝±1（舍）；
当﹣1＜x0＜0时，令f（x0）＝0，可得2，解得x0．
综上所述，存在x0使得f（x0）＝0，故①正确；
对于②，当0＜x0＜1时，令f（x0）＝x0，即x0，解得x0，
当﹣1＜＜x0＜0时，令f（x0）＝x0，即2x0，解得x0＝1（舍）或x0，
所以有且只有两个x0使得f（x0）＝x0，故②正确；
对于③当x0时，，
所以，
则存在x0使得f（f（x0））＝f（x0）＝x0，故③错误；
对于④，由②可知，有且只有两个x0使得f（x0）＝x0，
则有且只有四个x0使得f（f（x0））＝f（x0），故④错误．
综上所述，正确的是①②．
故选：B．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．【解答】解：（1）集合M＝{x|0}＝{x|x≤﹣5或x＞8}，
当a＝9时，N＝{x|8≤x≤10}，
∴M∪N＝{x|x≤﹣5或x≥8}；
（2）∵M N，且N≠ ，
∴a+1≤﹣5或a﹣1＞8，
解得a≤﹣6或a＞9，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪（9，+∞）．
18．【解答】解：因为函数f（x）是偶函数，所以满足f（﹣x）＝f（x）；
即f（﹣x）＝log3（a﹣x）+log3（2+x）＝f（x）＝log3（a+x）+log3（2﹣x），
所以（a﹣x）（2+x）＝（a+x）（2﹣x），
解得a＝2；
（1）f（x）＝log3（2+x）+log3（2﹣x），
其定义域为（﹣2，2）；
因为f（p）＝1，所以log3（2+p）+log3（2﹣p）＝1，
即4﹣p2＝3，解得p＝±1；
所以实数p的值为±1．
（2）因为，
所以函数f（x）在（﹣2，0]上单调递增，在[0，2）上单调递减；
因为f（2m﹣1）＜f（m），所以f（|2m﹣1|）＜f（|m|），
所以有，
解得或；
所以满足条件的实数m的取值范围是．
19．【解答】解：（1）销售x千部手机获得的销售额为0.5×1000x＝500x，
当0＜x＜25时，W（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣200＝﹣10x2+400x﹣200；
当x≥25时，W（x）＝500x﹣510x4250﹣200＝﹣10x4050，
故W（x）．
（2）当0＜x＜25时，W（x）＝﹣10x2+400x﹣200＝﹣10（x﹣20）2+3800，
所以当x＝20时，W（x）max＝3800，
当x≥25时，W（x）＝﹣10x4050≤﹣24050＝3450，
当且仅当﹣10x，即x＝30时，等号成立，
因为3800＞3450，
所以当x＝20（千部）时，所获利润最大，最大利润为3800万元．
20．【解答】解：（I）由函数f（x）是偶函数可得：f（x）＝f（﹣x），∴，
∴，即x＝﹣2kx对一切x∈R恒成立，即2k+1＝0，解得．
由题意可知，只要证明函数y在定义域R上为单调函数即可．
证明：任取x1、x2∈R且x1＜x2，则，
∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0，，则，即，
∴y2＞y1，
∴函数在R上为单调增函数．
∴对任意实数b，函数y＝f（x）的图象与直线最多只有一个交点；
（II）若方程有且只有一解，转化为方程有且只有一个实根，
令t＝2x＞0，问题转化为方程：有且只有一个正实数根，
（1）当a＝1，则，不合题意；
（2）若a≠1时，由Δ＝0得（）2+4（a﹣1）＝0，解得a或﹣3，当时，t＝﹣2不合题意；当a＝﹣3时，满足题意；
（3）若a≠1时，Δ＞0，若方程一个正根与一个负根时，则0，解得a＞1，
综上所述，实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．
21．【解答】解：（1）证明：依题意，f（x）+g（x）＝3x①，
又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝3﹣x，即f（x）﹣g（x）＝3﹣x②，
由①②解得，f（x）（3x+3﹣x），
g（x）（3x﹣3﹣x），
∴f（2x）[32x+3﹣2x]，
f2（x）+g2（x）[32x+3﹣2x]，
∴f2（x）+g2（x）＝f（2x）得证；
（2）x∈[log32，1]时，不等式2f（2x）+2ag（x）+1≥0恒成立，即2（32x+3﹣2x）+2a（3x﹣3﹣x）+1≥0，
整理得：﹣a≤（3x﹣3﹣x）（log32≤x≤1）恒成立，
令t＝3x﹣3﹣x，则该函数在区间[log32，1]上单调递增，∴t，
于是y＝t在区间[，]上单调递减，在区间[，]上单调递增，
∴当t时，y＝t取得最小值2，
∴﹣a≤2，
解得：a≥﹣2．
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