2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末 数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合B＝{a，a2，2}，1∈B，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
2．（5分）角的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）求函数的定义域为（　　）
A．{x|x≠2k，k∈Z} B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．{x|x≠2k，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
4．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx（a≠0），g（x）＝xf（x）﹣1，若g（x）只有两个零点x1，x2，则下列结论正确的是（　　）
A．当a＞0时，x1+x2＜0，f（x1）+f（x2）＜0
B．当a＞0时，x1+x2＞0，f（x1）+f（x2）＞0
C．当a＜0时，x1+x2＜0，f（x1）+f（x2）＞0
D．当a＜0时，x1+x2＞0，f（x1）+f（x2）＜0
5．（5分）已知，b＝sin1，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．（5分）已知a＝lg2，b＝lg3，用a，b表示log365，则log365＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）在同一平面直角坐标系中，若0＜a＜1，则与y＝loga（﹣x）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）对于任意正实数m，n，p，关于x的方程的解集不可能是（　　）
A．{1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）角α的终边上一点的坐标为P（3，4），则下列结论正确的有（　　）
A．sinα B．sinα C．cosα D．cosα
（多选）10．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣π]＝﹣4，[1.5]＝1，已知函数，设g（x）＝[f（x）]，则（　　）
A．f（x）是奇函数 B．g（x）是奇函数
C．f（x）在R上是增函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0}
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2＞﹣1”的否定是“ x∈R，x2＜﹣1”
B．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要而不充分条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负实数根”的充要条件
（多选）12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣bx+c，x∈[﹣a，a]，c∈Z，若f（x）的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能分别为（　　）
A．3与1 B．4与﹣3 C．8与2 D．6与1
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）求值：　 　．
14．（5分）已知扇形的圆心角和弧长均为2，则扇形的面积为 　 　．
15．（5分）已知正数a，b满足a+2b＝2，则的最小值为 　 　．
16．（5分）已知函数f（x），在区间[2，+∞）上满足0，则实数k的取值范围是　 　
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，求，．
18．（12分）若二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数，且f（1）＝2．
（1）证明函数在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数在[2，5]上的最大值和最小值．
20．（12分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
21．（12分）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次f（x）（单位：百人）近似满足f（x）＝5，而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
（1）求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
22．（12分）设a，c∈R，函数，
（1）若a＝0，判断f（x）函数是否存在实数c，使得y＝f（x）为奇函数？说明理由．
（2）若a＝0，函数y＝f（ex）在区间[1，4]上是严格增函数，求c的最大值．
（3）若函数f（x）的图像经过点（1，3），且函数f（x）图像与x轴负半轴有两个不同的交点，求此时c的值和实数a的取值范围．
2023-2024学年湖南省长沙市平高集团六校高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：∵1∈B，B＝{a，a2，2}，
∴a2＝1，解得a＝±1，
a＝1时，不满足集合元素的互异性，∴a＝1舍去，
∴a＝﹣1．
故选：B．
2．【解答】解：因为，
所以角的终边在第二象限．
故选：B．
3．【解答】解：要使原函数有意义，则，k∈Z，
解得，k∈Z．
故选：A．
4．【解答】解：根据题意可得g（x）＝ax3+bx2﹣1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），其中x1≠x2，
因为g（x）只有两个零点x1，x2，不妨设x1＝x3，
所以g（x）＝a（x﹣x1）2（x﹣x2）＝a[x3﹣（2x1+x2）x2+（2x1x2+x12）x﹣x12x2]＝ax3+bx2﹣1，
因为g（0）＝﹣1，则x1≠0且x2≠0，
由题意可得，则．
由g（x）＝0可得f（x），
则f（x1）+f（x2），
当a＞0时，则x1＜0，x2＞0，x1+x2＝﹣x2＜0，f（x1）+f（x2）＞0，AB均错；
当a＜0时，则x2＜0，x1＞0，x1+x2＝﹣x2＞0，则f（x1）+f（x2）＜0，C错D对．
故选：D．
5．【解答】解：∵，，
∴a＞b＞c．
故选：B．
6．【解答】解：log365，
故选：D．
7．【解答】解：因为0＜a＜1，所以，所以指数函数是增函数，故排除A、B；
y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），其图像与函数y＝logax的图像关于y轴对称，
函数y＝logax是减函数，所以y＝loga（﹣x）是增函数，排除D．
故选：C．
8．【解答】解：∵函数y＝mx2﹣2mn+n＝m（x﹣1）2+n﹣m（m＞0）是开口向上且关于直线x＝1对称的二次函数，
∴ymin＝n﹣m；∵函数y（p＞0）关于直线x＝1对称，且在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴ymin；
若n﹣m，则方程mx2﹣2mn+n无解；
若n﹣m，则方程mx2﹣2mn+n有唯一解x＝1；
若n﹣m，则方程mx2﹣2mn+n有两解，且两解关于x＝1对称；
综上所述：方程mx2﹣2mn+n的解集不可能是{0，1，2}．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：因为角α的终边上一点的坐标为P（3，4），
所以由题意可得OP5，
所以sinα，故A错误，B正确；
cosα，故C正确，D错误．
故选：BC．
10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由且x∈R，则f（x）是奇函数，A对；
由，函数y＝1+2x在R上为增函数，易知f（x）在R上是增函数，C对；
由，，显然g（﹣1）≠﹣g（1），B错；
当x≥0时，1+2x≥2，则，此时g（x）＝0；
当x＜0时，1＜1+2x＜2，则，此时g（x）＝﹣1；
所以g（x）的值域是{﹣1，0}，D对．
故选：ACD．
11．【解答】解：对于A．命题“ x∈R，x2＞﹣1”是全称命题，命题的否定是“ x∈R，x2≤﹣1”，所以A错误；
对于B．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”是特称命题，命题的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”，所以B正确；
对于C．x2＞y2 |x|＞|y|，|x|＞|y|不能推出x＞y，x＞y也不能推出|x|＞|y|，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，所以C错误；
对于D，关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根 m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件，所以D正确，
故选：BD．
12．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣c＝x3﹣bx，易知函数g（x）为奇函数，
所以g（x）max+g（x）min＝0，即M﹣c+m﹣c＝0，
所以M+m＝2c，
又c∈Z，则2c为偶数，
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：原式＝22﹣3，
故答案为：．
14．【解答】解：因为扇形的圆心角和弧长均为2，
所以扇形的半径为r1，
所以扇形的面积S2×1＝1．
故答案为：1．
15．【解答】解：∵正数a，b满足a+2b＝2，
∴（）（a+2b）（17）（217），
当且仅当a，b时，等号成立，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．【解答】解：根据题意，对于f（x），设tk，则y＝lnt，
若f（x）在区间[2，+∞）上满足0，即f（x）在[2，+∞）上为增函数，
又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，
则必有，解可得k＜1，即k的取值范围为（，1）；
故答案为：（，1）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，
所以 ，U＝{1，2，3，4，5，6}．
18．【解答】解：（1）因为f（0）＝2，则可设函数的解析式为f（x）＝ax2+bx+2（a≠0），
则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+2﹣ax2﹣bx﹣2＝2x，
则，解得a＝1，b＝﹣1，
所以二次函数的解析式为f（x）＝x2﹣x+2；
（2）不等式f（x）＞2x+m化为：m＜x2﹣3x+2在[﹣1，1]上恒成立，
只需m＜（x2﹣3x+2）min，x∈[﹣1，1]，
又因为x2﹣3x+2＝（x）2在[﹣1，1]上单调递减，
所以当x＝1时，（x2﹣3x+2）min＝0，
则m＜0，所以实数m的范围为（﹣∞，0）．
19．【解答】解：（1）证明：根据题意，函数，且f（1）＝2，
则有2，解可得a＝1，
故f（x）x，
设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2）＝（x1﹣x2）+（），
又由1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在[2，5]上为增函数，
则其最小值为f（2）＝2，
最大值为f（5）＝5．
20．【解答】解：（1）由A∪B＝A得B A，
当B＝ 时，则有m+1＞2m+3，
解得m＜﹣2；
当B≠ 时，则有，
解得；
所以实数m的取值范围为．
（2）若A∩B＝ ，则有
当B＝ 时，则有m+1＞2m+3，
解得m＜﹣2；
当B≠ 时，或，
得m≥1或m＝﹣2，
综上：m≥1或m≤﹣2，
即m取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．
21．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）＝kx+b，
由题意可得，
解得，
则g（x）＝20x+500，
故y＝f（x）g（x）＝100（5）（20x+500）＝100（100x2600）（1≤x≤15，x∈N*）．
（Ⅱ）因为x＞0，所以100x1000，当且仅当x＝5时，等号成立，
则100（100x2600）≥100×（1000+2600）＝360000，
故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360000元．
22．【解答】解：（1）当a＝0时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
假设y＝f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1），
而f（1）＝2+c，f（﹣1）＝﹣c，则2+c＝c，此时无实数c满足条件，
所以不存在实数c，使得函数f（x）为奇函数；
（2）若a＝0，则，
可得其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则，
因为函数y＝f（ex）在区间[1，4]上是严格增函数，y＝ex在区间[1，4]上是严格增函数，且y＝ex∈[e，e4]，
可知函数y＝f（x）在区间[e，e4]上是严格增函数，则在区间[e，e4]上恒成立，
即x2≥c在区间[e，e4]上恒成立，可得c≤e2，
所以c的最大值为e2．
（3）y＝f（x）图像经过点（1，3），则代入得，解得c＝1，
所以，定义域为（﹣∞，﹣a）∪（﹣a，+∞），
令g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则g（x）的图像与x轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若x+a＝0，即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的解，
则代入可得a2+（3a+1）×（﹣a）+1＝0，解得或a＝﹣1．
由题意得，所以实数a的取值范围{a|且}．
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