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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，的半径长为2，
∴
∴点A在圆外.
故选：D.
2．下列命题正确的是（ ）
A．相等圆心角所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等弦所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．等弧所对的弦相等
解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，本选项不符合题意；
B.在同圆或等圆中，相等弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，本选项不符合题意；
C.不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误，本选项不符合题意；
D.等弧所对的弦相等，正确，本选项符合题意；
故选：D．
3．下列命题正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角相等，故A选项正确；
∵平分弦（不是直径）的直径平分线弦，并且平分弦所对的两条弧，故B选项不正确；
∵不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故C选项不正确；
∵再同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可以为优弧也可为劣弧，故D选项中说相等所以不对，
故选：A．
4．如图，是的直径，点C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5．下列事件必然发生的是（ ）
A．某人买一张彩票就中了大奖 B．李明同学下次数学考试满分
C．三点确定一个圆 D．两点确定一条直线
解：A. 某人买一张彩票就中了大奖，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. 李明同学下次数学考试满分，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三点确定一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
D. 两点确定一条直线，是必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，线段是的直径，是的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
故选B．
7．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
解∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的中心角的度数是，
故选：．
8．如图，正方形的边长为，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，则的长为( )
A． B． C． D．
解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为，
的长为，
故选：A．
9．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
10．如图，是的一条弦，过点O作于点E，过点E作于点C，过点B作的切线交的延长线于点D．若，的半径为，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 ．
解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
12．如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为 ．
解：∵，
∴，
∵圆的直径垂直于弦，
∴，则为等腰直角三角形，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 .
解：连接，，过F点作于点H，如图：
六边形是正六边形，的半径为4，
，
，且，
是等边三角形，且边长，
等边的面积为：，
正六边形的面积为：，
故答案为：．
14．如图，是的直径，C.D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于 ．
解：连接，如图，
设，则，
∵与的相切，
∴，
∵，
∴，解得，
则，
故答案为：．
15．如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．
解，，，
，
的面积是： ，
在中，
，，
，
，
则阴影部分的面积是：，
，
．
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
在直角中，，
，
解得，
，
．
17．（8分）如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
解（1）证明：如图，连接．
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴．
∵是过点C的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即平分．
（2）解：如图，过点O作，垂足为F．
∴，．
由（1）知，，，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴．即的半径为．
18．（7分）如图，内接于，是的直径，点是弧的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
解（1）证明：如图所示，连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点D是弧的中点，，
∴，
设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，∴设的半径为5．
19．（8分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A.B两点，设弧所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点.其推理的依据是：______．
连接.，经测量，，，
在中，由勾股定理可列出关于的方程：______．解得______．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
解：如图所示，在车轮上取A.B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：，，
则；
用含的代数式表示，．
在中，由勾股定理可列出关于的方程：，解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦（非直径）的直径平分弦，，．
20．（8分）如图1，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)如图2，D交于点E，连接，，，求长．
解（1）证明：如图所示，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接交于点H，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，∴，
∴．
21．（9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，是的外接圆仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)在图中，作的圆心O；作的弦，使平分；
(2)如图，点是点上一点，在弧上作一点，使；
(3)在图中，过点作，垂足为．
解（1）如图，根据网格特点，
，，
∴，，
∴，是的直径，
则点即为所求；
通过网格可得：四边形是正方形，连接交于点，
根据正方形的性质可知：，
∴弦即为所求；
（2）如图，
∵，
∴，即即为所求；
（3）如图，延长交圆于点，延长和交于点，连接交于点，
∵是直径，
∴，
∴，
根据三角形的三条高所在直线相交于一点，
∴，即即为所求．
22．（9分）如图，四边形内接于，为直径，过C作，交的延长线于点E，平分．
(1)求证：是的切线．
(2)连接，若，求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
解（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵为直径，
∴；
（3）解：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴弓形与弓形面积相等，
∴，
在中，，
∴，
同理可证明是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．相等圆心角所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等弦所对的圆周角相等
C．三点确定一个圆
D．等弧所对的弦相等
3．下列命题正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
4．如图，是的直径，点C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件必然发生的是（ ）
A．某人买一张彩票就中了大奖 B．李明同学下次数学考试满分
C．三点确定一个圆 D．两点确定一条直线
6．如图，线段是的直径，是的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，则的长为( )
A． B． C． D．
9．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的一条弦，过点O作于点E，过点E作于点C，过点B作的切线交的延长线于点D．若，的半径为，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 ．
12．如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为 ．
13．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 .
14．如图，是的直径，C.D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于 ．
15．如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
17．（8分）如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径．
18．（7分）如图，内接于，是的直径，点是弧的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．（8分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A.B两点，设弧所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，则D是的中点.其推理的依据是：______．
连接.，经测量，，，
在中，由勾股定理可列出关于的方程：______．解得______．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
20．（8分）如图1，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)如图2，D交于点E，连接，，，求长．
21．（9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，是的外接圆仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)在图中，作的圆心O；作的弦，使平分；
(2)如图，点是点上一点，在弧上作一点，使；
(3)在图中，过点作，垂足为．
22．（9分）如图，四边形内接于，为直径，过C作，交的延长线于点E，平分．
(1)求证：是的切线．
(2)连接，若，求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
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