鲁教版（五四制）数学九年级上册 2.3 用计算器求锐角的三角函数值 教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）数学九年级上册 2.3 用计算器求锐角的三角函数值 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 142.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-19 16:31:13 | ||
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文档简介
用计算器求锐角的三角函数值
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义。
2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。
3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
（二）能力训练要求。
1．借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力。
（三）情感与价值观要求。
1．积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐。
2．形成实事求是的态度。
【教学重点】
1．用计算器由已知锐角求三角函数值。
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【教学难点】
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【教学方法】
探索——引导。
【教学准备】
一台学生用计算器。
【课时安排】
2课时
【教学过程】
【第一课时】
一、提出问题，引入新课
演示：
问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
生：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，需求出BC。
根据正弦的定义，sin16°＝，
∴BC＝ABsin16°＝200sin16°（米）。
师：200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定。
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值。
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
二、讲授新课
（一）用科学计算器求一般锐角的三角函数值。
师：用科学计算器求三角函数值，要用到sin、cos和tan键。例如sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的按键顺序如下表所示。
按键顺序 显示结果
Sin16° Sin16°=0.275637355
cos42° cos42°=0.743144825
tan85° tan85=11.4300523
sin72°38′25″ sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同。
（教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法。）
师：很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值。大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位。我们的教材中有一个约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位。
所以sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301，sin72°38′25″≈0.9545。
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题。
生：用计算器求得BC＝200sin16°≈55.13（米）。
师：下面请同学们用计算器计算下列各式的值。
（1）sin56°；（2）sin15°49′；
（3）cos20.72°；（4）tan39°；
（5）tan44°59′59″；（6）sin35°＋cos61°＋tan76°。
（以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确。）
生：（1）sin56°≈0.8290；
（2）sin15°49′≈0.2726；
（3）cos20.72°≈0.9353；
（4）tan29°≈0.5543；
（5）tan44°59′59″≈1.0000；
（6）sin15°＋cos61°＋tan76°≈0.2588＋0.4848＋4.0108＝4.7544。
（二）师：你能用计算器计算说明下列等式成立吗？
下列等式成立吗？
（1）sin15°＋sin25°＝sin40°；
（2）cos20°＋cos26°＝cos46°；
（3）tan25°＋tan15°＝tan40°。
（三）生：上面三个等式都不成立。
1．sin15°＋sin25°≈0.2588＋0.4226＝0.6814；
sin40°≈0.6428，
∴sin15°＋sin25°≠sin40°；
2．cos20°＋cos26°≈0.9397＋0.8988＝1.8385，
cos46°≈0.6947，
∴cos20°＋cos26°≠cos46°；
3．tan25°＋tan15°≈0.4663＋0.2679＝0.7342，
tan40°≈0.8391，
∴tan25°＋tan15°≠tan40°。
师：由此，你能得出什么结论？
生：两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦。对于余弦、正切也一样。
（四）用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
师：看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值。下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题。
演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
生：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度。
生：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离。
师：下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果。其余同学可在小组内交流、讨论完成。
生：在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°＝200sin42°≈133.83（米）。
生：由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC＋DE＝55.12＋133.83＝188.95（米）。
生：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23（米）。
在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200米，BE＝BD·cos42°≈200×0.7431＝148.63（米）。
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE＋AC＝192.23＋148.63＝340.86（米）。
三、随堂练习
一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高。（结果精确到0.01m）
解：如图，根据题意，可知：
BC＝300m，BA＝100m，∠C＝40°，∠ABF＝30°。
在Rt△CBD中，DD＝DCsin30°≈300×0.6428＝192.8（m）；
在Rt△ABF中，AF＝ABsin30°＝100×＝50（m）。
所以山高AE＝AF＋BD＝192.8＋50＝242.8（m）。
四、课时小结
本节课主要内容如下：
（一）运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值。
（二）运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
五、活动与探究
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB＝1.8m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度。（结果精确到0.01m）
过程：根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入。所以在Rt△ABC中，AB＝1.8m，∠ACB＝80°。求AC的长度。
结果：tan80°＝，AC＝≈＝0.317≈0.32（米）
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米。
【板书设计】
1．用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″。
2．用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【第二课时】
一、思考
如下图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°。
（一）若则∠A=∠D吗？
（二）若则∠A=∠D吗？
（三）若则∠A=∠D吗？
由此你能得到什么结论？
我们由（一）、（二）、（三）条件中给出的等量关系及三角函数的知识，可以得出sinA=sinD，cosA=cosD，tanA=tanD，进而可以得到：在两个三角形中，如果两个角的同名三角函数值相等，那么这两个角相等。
二、创设问题情境，引入新课
师：随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道。（如图所示）
这条斜道的倾斜角是多少？
生：在Rt△ABC中，BC＝10m，AC＝40m
sinA＝＝。可是求不出∠A。
师：我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定。给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？
生：我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理。在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的。
师：这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单。我们知道了sinA＝时，锐角A是唯一确定的。现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成。这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小。
三、讲授新课
用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小。
师：已知三角函数求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和2ndf键。
例如：
已知sinA＝0.9816，求锐角A；
已知cosA＝0.8607，求锐角A；
已知tanA＝0.1890，求锐角A；
已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表。
按键顺序 显示结果
sinA＝0.9816 2ndf sin 0 · 9 8 1 6 ＝ sin－10.9816＝78.99184039
cosA＝0.8607 2ndf cos 0 · 8 6 0 7 ＝ cos－10.8607＝30.60473007
tanA＝0.1890 2ndf tan 0 · 1 8 9 0 ＝ tan－10.1890＝10.70265749
tanA＝56.78 2ndf tan 5 6 · 7 8 ＝ tan－156.78＝88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按2ndf、DMS键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
（教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤）
师：你能求出上图中∠A的大小吗？
生：sinA＝＝0.25．按键顺序为2ndf sin 0 · 2 5 ＝，显示结果为14.47751219°，再按2ndf DMS 键可显示14°28′39″。所以∠A＝14°28′39″。
师：很好。我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可。
知识应用。
例1：如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小。（结果精确到1°）
解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝∠ACD≈2×27.5°＝55°
例2：如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤。
在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角。
解：如图，在Rt△ABC中
AC＝6.3cm，BC=9.8cm
∴tanB=≈0.6429
∴∠B≈
因此，射线与皮肤的夹角约为。
你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗？
1．根据下列条件求锐角θ的大小：
（1）tanθ＝2.9888；（2）sinθ＝0.3957；
（3）cosθ＝0.7850；（4）tanθ＝0.8972；
（5）sinθ＝；（6）cosθ＝；
（7）tanθ＝22．3；（8）tanθ＝；
（9）sinθ＝0.6；（10）cosθ＝0.2。
四、课时小结
本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
D
F
E
B
C
A
1
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义。
2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。
3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
（二）能力训练要求。
1．借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力。
（三）情感与价值观要求。
1．积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐。
2．形成实事求是的态度。
【教学重点】
1．用计算器由已知锐角求三角函数值。
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【教学难点】
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【教学方法】
探索——引导。
【教学准备】
一台学生用计算器。
【课时安排】
2课时
【教学过程】
【第一课时】
一、提出问题，引入新课
演示：
问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
生：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，需求出BC。
根据正弦的定义，sin16°＝，
∴BC＝ABsin16°＝200sin16°（米）。
师：200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定。
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值。
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
二、讲授新课
（一）用科学计算器求一般锐角的三角函数值。
师：用科学计算器求三角函数值，要用到sin、cos和tan键。例如sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的按键顺序如下表所示。
按键顺序 显示结果
Sin16° Sin16°=0.275637355
cos42° cos42°=0.743144825
tan85° tan85=11.4300523
sin72°38′25″ sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同。
（教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法。）
师：很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值。大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位。我们的教材中有一个约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位。
所以sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301，sin72°38′25″≈0.9545。
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题。
生：用计算器求得BC＝200sin16°≈55.13（米）。
师：下面请同学们用计算器计算下列各式的值。
（1）sin56°；（2）sin15°49′；
（3）cos20.72°；（4）tan39°；
（5）tan44°59′59″；（6）sin35°＋cos61°＋tan76°。
（以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确。）
生：（1）sin56°≈0.8290；
（2）sin15°49′≈0.2726；
（3）cos20.72°≈0.9353；
（4）tan29°≈0.5543；
（5）tan44°59′59″≈1.0000；
（6）sin15°＋cos61°＋tan76°≈0.2588＋0.4848＋4.0108＝4.7544。
（二）师：你能用计算器计算说明下列等式成立吗？
下列等式成立吗？
（1）sin15°＋sin25°＝sin40°；
（2）cos20°＋cos26°＝cos46°；
（3）tan25°＋tan15°＝tan40°。
（三）生：上面三个等式都不成立。
1．sin15°＋sin25°≈0.2588＋0.4226＝0.6814；
sin40°≈0.6428，
∴sin15°＋sin25°≠sin40°；
2．cos20°＋cos26°≈0.9397＋0.8988＝1.8385，
cos46°≈0.6947，
∴cos20°＋cos26°≠cos46°；
3．tan25°＋tan15°≈0.4663＋0.2679＝0.7342，
tan40°≈0.8391，
∴tan25°＋tan15°≠tan40°。
师：由此，你能得出什么结论？
生：两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦。对于余弦、正切也一样。
（四）用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
师：看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值。下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题。
演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
生：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度。
生：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离。
师：下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果。其余同学可在小组内交流、讨论完成。
生：在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°＝200sin42°≈133.83（米）。
生：由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC＋DE＝55.12＋133.83＝188.95（米）。
生：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23（米）。
在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200米，BE＝BD·cos42°≈200×0.7431＝148.63（米）。
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE＋AC＝192.23＋148.63＝340.86（米）。
三、随堂练习
一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高。（结果精确到0.01m）
解：如图，根据题意，可知：
BC＝300m，BA＝100m，∠C＝40°，∠ABF＝30°。
在Rt△CBD中，DD＝DCsin30°≈300×0.6428＝192.8（m）；
在Rt△ABF中，AF＝ABsin30°＝100×＝50（m）。
所以山高AE＝AF＋BD＝192.8＋50＝242.8（m）。
四、课时小结
本节课主要内容如下：
（一）运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值。
（二）运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
五、活动与探究
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB＝1.8m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度。（结果精确到0.01m）
过程：根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入。所以在Rt△ABC中，AB＝1.8m，∠ACB＝80°。求AC的长度。
结果：tan80°＝，AC＝≈＝0.317≈0.32（米）
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米。
【板书设计】
1．用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″。
2．用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【第二课时】
一、思考
如下图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°。
（一）若则∠A=∠D吗？
（二）若则∠A=∠D吗？
（三）若则∠A=∠D吗？
由此你能得到什么结论？
我们由（一）、（二）、（三）条件中给出的等量关系及三角函数的知识，可以得出sinA=sinD，cosA=cosD，tanA=tanD，进而可以得到：在两个三角形中，如果两个角的同名三角函数值相等，那么这两个角相等。
二、创设问题情境，引入新课
师：随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道。（如图所示）
这条斜道的倾斜角是多少？
生：在Rt△ABC中，BC＝10m，AC＝40m
sinA＝＝。可是求不出∠A。
师：我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定。给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？
生：我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理。在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的。
师：这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单。我们知道了sinA＝时，锐角A是唯一确定的。现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成。这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小。
三、讲授新课
用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小。
师：已知三角函数求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和2ndf键。
例如：
已知sinA＝0.9816，求锐角A；
已知cosA＝0.8607，求锐角A；
已知tanA＝0.1890，求锐角A；
已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表。
按键顺序 显示结果
sinA＝0.9816 2ndf sin 0 · 9 8 1 6 ＝ sin－10.9816＝78.99184039
cosA＝0.8607 2ndf cos 0 · 8 6 0 7 ＝ cos－10.8607＝30.60473007
tanA＝0.1890 2ndf tan 0 · 1 8 9 0 ＝ tan－10.1890＝10.70265749
tanA＝56.78 2ndf tan 5 6 · 7 8 ＝ tan－156.78＝88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按2ndf、DMS键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
（教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤）
师：你能求出上图中∠A的大小吗？
生：sinA＝＝0.25．按键顺序为2ndf sin 0 · 2 5 ＝，显示结果为14.47751219°，再按2ndf DMS 键可显示14°28′39″。所以∠A＝14°28′39″。
师：很好。我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可。
知识应用。
例1：如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小。（结果精确到1°）
解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝∠ACD≈2×27.5°＝55°
例2：如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤。
在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角。
解：如图，在Rt△ABC中
AC＝6.3cm，BC=9.8cm
∴tanB=≈0.6429
∴∠B≈
因此，射线与皮肤的夹角约为。
你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗？
1．根据下列条件求锐角θ的大小：
（1）tanθ＝2.9888；（2）sinθ＝0.3957；
（3）cosθ＝0.7850；（4）tanθ＝0.8972；
（5）sinθ＝；（6）cosθ＝；
（7）tanθ＝22．3；（8）tanθ＝；
（9）sinθ＝0.6；（10）cosθ＝0.2。
四、课时小结
本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
D
F
E
B
C
A
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