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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
一、二次根式的加减
（一）可合并的二次根式
1、可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
2、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
3、合并可合并的二次根式的方法：将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即 (a≥0)
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
（二）二次根式的加减
1、二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
2、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
3、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【题型一】可以合并的二次根式
【例1.1】下列各式中，可以与合并的二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由可可合并的二次根式的概念解答即可．
【解答】解：3．
A、3，3与3的被开方数不同，不能合并，不符合题意；
B、2，2与3的被开方数相同，能合并，符合题意；
C、，与3被开方数不同，不能合并，不符合题意；
D、2，2与与3的被开方数不同，不能合并，不符合题意．
故选：B．
【例1.2】下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，化简二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、和是同类二次根式，能合并，符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
故选B．
【题型二】根据可合并的二次根式的概念求字母的值
【例2.1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴a＝1．
故选：A．
【例2.2】若，则的值为 ．
【答案】27
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用等式的性质和二次根式的加减法则求出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：27．
【例2.3】两个最简二次根式和2是可合并，则a+2b的值为 ．
【分析】根据可合并的二次根式的定义求出a，b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
解得，
所以a+2b＝0+2×2＝4．
故答案为：4．
【题型三】二次根式的加减运算
【例3.1】计算：
（1）； （2）；
（3）． （4）．
【解答】解：
（1）原式230；
原式＝6657；
（3）原式＝31021＝（3﹣10+21）＝14．
（4）原式＝2323．
【例3.2】计算：
(1) ；
(2) ．
解析 (1)原式；
(2) 原式．
【题型四】二次根式加减的应用
【例4.1】如图，数轴上，，A、B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查用数轴表示数以及二次根式的运算，理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．
先求出的长度，然后利用数轴特性求出C点即可．
【详解】解：由已知得，，
∵，
∴，
点C的坐标为，
故选：D．
【例4.2】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________，________；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出几块这样的木条，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)
(3)理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，
（2）矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
1、下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】能与合并，则该数与之是同类二次根式，即化简后被开方数相同，由此即可求解．
【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
B：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
C： ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
D：， 与是同类二次根式，能合并，符合题意
故选D
2、下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（ ）
A．3与 B．与 C．与 D．与
【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据可合并的二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、3与不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
B、2与属于可合并的二次根式，故本选项符合题意；
C、与不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
D、2与2不属于可合并的二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3、下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 A．，故此选项不合题意；B．无法计算，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；D．无法计算，故此选项不合题意．
故选：C．
4、若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为（ ）
A．5 B． C．﹣2 D．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+2＝2a﹣3，
解得：a＝5．
故选：A．
5、计算的结果是( )
A．14 B． C． D．
答案 C
解析 原式．故选：C．
6、如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．2
【分析】直接根据已知得出x的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB＝CA1，
则C点坐标为：x＝1﹣（1）＝2，
故x22．
故选：D．
7、已知三角形三边的长分别为cm,cm,cm，则它的周长为 cm.
【答案】9
【详解】三角形的周长等于++=
故答案为:.
8、已知最简二次根式与，可以合并，则＝ ．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴；
故答案为：1．
9、计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式2；
（2）原式＝23；
（3）原式＝3；
（4）原式＝2x6x＝x7．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
10、计算下列各题：
（1）； （2）（3）﹣（）．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
二、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
3、 实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
【题型一】二次根式的混合运算
【例1.1】计算：（1）； （2）；
(3) ； (4) ；
(5) ； （6）4（）1）2．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
(3)原式；
(4)原式；
(5)原式
；
（6）4（）1）2
＝4443+1+2
＝2﹣84+4+2
＝2﹣6．
【题型二】实数的混合运算
【例2.1】计算：（1）（）﹣1+20210﹣|2|； （2）（﹣1）2024|2|；
（3） ．
【解答】解：（1）（）﹣1+20210﹣|2|＝2﹣（﹣2）+1﹣（2）＝2+2+1﹣2＝3；
（2）（﹣1）2024|2|＝3×1+22（2）＝3+42＝5+3；
(3)原式．
【题型三】乘法公式在二次根式的混合运算中的应用
【例3.1】计算：（1）； （2）．
【解答】解：（1）原式＝24﹣18＝6；
（2）原式＝2850＝2850﹣2850．
【例3.2】已知，求下列代数式的值：
(1)a2b+b2a；(2)a2+ab+b2．
解析 (1)∵，
∴ab＝3，a+b＝2，
∴a2b+b2a＝ab(a+b)＝3×2＝6；
(2)∵，
∴ab＝3，a+b＝2，
∴a2+ab+b2＝(a+b)2﹣ab＝(2)2﹣3＝28﹣3＝25．
【题型四】二次根式的化简求值
【例4.1】化简求值：x，其中x＝4，y．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式2
3，
当x＝4，y时，原式31+1＝2．
【例4.2】先化简再求值：，其中x，y．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式 （）2
＝（） （）
＝x﹣y，
当x3﹣2，y3+2时，
原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．
1、计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：原式
故选择：A
2、用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是75，AE＝3，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 ．
故选：B．
3、若，则的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．
【详解】解：，
当时，
原式，
故选：B．
4、当时，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定a的取值范围，再逐项化简，然后合并即可.
【详解】∵，ab3≥0，
∴a≤0.
∴==.
故选C.
5、计算 ．
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算将原式变形为，据此利用平方差公式进行求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
6、计算：
(1) ；
(2) ．
答案 (1) ； (2) .
解析 (1)
；
(2)
.
7、已知：．
求：(1)a﹣b的值；(2)ab的值；(3) 的值．
答案 (1) ；(2) ；(3) ．
解析 (1)当时，
；
(2) ；
(3)原式．
8、已知：y＝＋5，化简并求的值．
【答案】
，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
9、某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
答案 (1) ；(2) 购买地砖需要花费660元．
解析 (1)∵长方形的长BC为，宽AB为，
∴长方形ABCD的周长为．
答：长方形ABCD的周长是．
(2)由题意，知
(144﹣12)×5＝660(元)．
答：购买地砖需要花费660元．
1、下列二次根式，化简后能与合并的是( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 A、与不能合并，不符合题意；
B、与不能合并，不符合题意；
C、与不能合并，不符合题意；
D、与能合并，符合题意．
故选：D．
2、下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 A. 无法合并，故此选项不合题意；B. ，故此选项不合题意；
C. ，故此选项符合题意；D. 无法合并，故此选项不合题意；
故选：C．
3、计算的结果是( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 原式．故选：B．
4、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和16cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由题意可得两正方形的边长分别为：，
故图中空白部分的面积为：．
故选：C．
5、已知a＝3+2，b＝3﹣2，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．1 B．17 C．4 D．﹣4
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：当a＝3+2，b＝3﹣2时，
a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝（3+2）×（3﹣2）×[3+2（3﹣2）]
＝（9﹣8）×（3+23+2）
＝1×4
＝4，
故选：C．
6、计算的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
7、若与最简二次根式能够合并，则 ．
【答案】1
【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的性质进行解题．
【详解】解：由题意得，
，
∵与最简二次根式能够合并，
∴，
∴，
故答案为：1．
8、计算 ．
【答案】
【分析】先分母有理化，化简二次根式，再合并即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
9、若与的小数部分分别为，则 ．
【答案】1
【分析】先估算出的大小，再用含的式子表示出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：1．
10、计算： ．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3+22﹣（9﹣2）
＝5+27
＝22．
故答案为：22．
11、计算
(1) ； (2) ．
(3) ； (4) ．
解析：(1)原式．
(2)原式．
(3)原式；
(4)原式．
12、先化简，再求值：，其中；
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
【解答】解：（1）原式＝[]
＝[]
，
当x＝2时，
原式；
13、已知a，b，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2； （2）．
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：a3﹣2，b3+2，
则a+b＝3﹣23+26，ab＝（3﹣2）（3+2）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
（2）34．
14、某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
答案 (1)； (2) .
解析 (1)长方形ABCD的周长 (米)，
答：长方形ABCD的周长是(米)，
(2)通道的面积 (平方米)，
购买地砖需要花费 (元)．
答：购买地砖需要花费元．
15、阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，(其中a、b、m、n均为整数)，则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，
填空： + ＝( + )2．
(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
答案 (1)m2+5n2；2mn；(2)6；2；1；1(答案不唯一)；(3) a＝46或者a＝14．
解析 (1)若，则有，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn．
故答案为：m2+5n2；2mn；
(2)令m＝1，n＝1，
由(1)可知，a＝m2+5n2＝1+5＝6，b＝2×1×1＝2，
故答案为：6；2；1；1(答案不唯一)；
(3)
a＝m2+5n2，b＝2mn＝6，
mn＝3，
而a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或者m＝3，n＝1，
当m＝1，n＝3时，a＝m2+5n2＝1+5×32＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝m2+5n2＝32+5×1＝14．
综上，a＝46或者a＝14．
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16.3 二次根式的加减
一、二次根式的加减
（一）可合并的二次根式
1、可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
2、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
3、合并可合并的二次根式的方法：将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即 (a≥0)
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
（二）二次根式的加减
1、二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
2、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
3、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【题型一】可以合并的二次根式
【例1.1】下列各式中，可以与合并的二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【题型二】根据可合并的二次根式的概念求字母的值
【例2.1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【例2.2】若，则的值为 ．
【例2.3】两个最简二次根式和2是可合并，则a+2b的值为 ．
【题型三】二次根式的加减运算
【例3.1】计算：
（1）； （2）；
（3）． （4）．
【例3.2】计算：
(1) ； (2) ．
【题型四】二次根式加减的应用
【例4.1】如图，数轴上，，A、B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
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【例4.2】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________，________；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出几块这样的木条，并说明理由．
1、下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2、下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（ ）
A．3与 B．与 C．与 D．与
3、下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
4、若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为（ ）
A．5 B． C．﹣2 D．
5、计算的结果是( )
A．14 B． C． D．
6、如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．2
7、已知三角形三边的长分别为cm,cm,cm，则它的周长为 cm.
8、已知最简二次根式与，可以合并，则＝ ．
9、计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）．
10、计算下列各题：
（1）； （2）（3）﹣（）．
二、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
3、 实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
【题型一】二次根式的混合运算
【例1.1】计算：（1）； （2）；
(3) ； (4) ；
(5) ； （6）4（）1）2．
【题型二】实数的混合运算
【例2.1】计算：（1）（）﹣1+20210﹣|2|； （2）（﹣1）2024|2|；
（3） ．
【题型三】乘法公式在二次根式的混合运算中的应用
【例3.1】计算：（1）； （2）．
【例3.2】已知，求下列代数式的值：
(1)a2b+b2a；(2)a2+ab+b2．
【题型四】二次根式的化简求值
【例4.1】化简求值：x，其中x＝4，y．
【例4.2】先化简再求值：，其中x，y．
1、计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2、用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是75，AE＝3，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
3、若，则的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
4、当时，计算（ ）
A． B． C． D．
5、计算 ．
6、计算：
(1) ； (2) ．
7、已知：．
求：(1)a﹣b的值；(2)ab的值；(3) 的值．
8、已知：y＝＋5，化简并求的值．
9、某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
1、下列二次根式，化简后能与合并的是( )
A． B． C． D．
2、下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
3、计算的结果是( )
A． B． C． D．
4、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和16cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A． B． C． D．
5、已知a＝3+2，b＝3﹣2，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．1 B．17 C．4 D．﹣4
6、计算的结果是 ．
7、若与最简二次根式能够合并，则 ．
8、计算 ．
9、若与的小数部分分别为，则 ．
10、计算： ．
11、计算
(1) ； (2) ．
(3) ； (4) ．
12、先化简，再求值：，其中；
13、已知a，b，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2； （2）．
14、某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
15、阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，(其中a、b、m、n均为整数)，则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，
填空： + ＝( + )2．
(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
