中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
一、二次根式的定义
1、一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
2、形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （a≥0）;
3、判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
【例】是二次根式，不是二次根式.
4、判断二次根式有无意义的条件
（1）被开方数是非负数；
（2）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都是非负数；
（3）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还要保证分母不为零。
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.
【例】要使得有意义，则.
【题型一】二次根式的定义
【例1.1】下列各式中①；②； ③； ④； ⑤；是二次根式的有( )个
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【例1.2】下列式子是二次根式的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型二】二次根式有无意义的条件
【例2.1】已知代数式有意义，则x的值可能是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【例2.2】要使式子有意义，x的取值范围是( )
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【例2.3】要使代数式有意义，x的取值范围是__________.
【题型三】根据二次根式有意义的条件求值
【例3.1】已知x，y为实数，且，则 ．
【例3.2】为任意实数，满足，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．无法确定
1、若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2、给出下列各式：①；②6；③；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、已知x，y都是实数，且，则y＝ ．
5、已知实数a满足，求a﹣20102的值．
6、求下列式子有意义的x的取值范围.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
二、二次根式的性质
1、 的性质：0；a≥0（双重非负性）．
2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
【例】，；
3、 的性质：|a|（算术平方根的意义）．
【例】，，.
4、（）2（a≥0）与 的区别与联系.（可以从以下几个方面来说明）
（）2（a≥0）
区 别 取值范围 a≥0 a为任意实数
表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根
运算顺序 先开平方后平方 先平方后开平方
运算结果 （）2＝a （a≥0）
读法 读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作：“根号”或“a的平方的算术平方根”
联 系 （1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，＝（）2
【题型一】根据 的双重非负性求值
【例1.1】已知实数、满足，则的值为_____________．
【例1.2】已知a、b、c满足2|a﹣1|（c+b）2＝0，求2a+b﹣c的值．
【题型二】）2=a(a≥0)
【例2.1】化简：（1）= ；（2） ；（3） ；（4） ；
【例2.2】计算：（1）； （2）； （3）； （4）．
【题型三】=|a|(a≥0)
【例3.1】计算： ， ， ， ， ，
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
【例3.2】已知，那么 ．
【例3.3】在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
【题型四】二次根式性质的综合运用
【例4.1】下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例4.2】计算：
【题型五】利用数轴与二次根式性质进行化简
【例5.1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【例5.2】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，
则 ．
1、计算的结果为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2、计算 ．
3、若，则 ， ．
4、计算的结果为 ．
5、当2＜a＜3时，化简的结果为（ ）
A．﹣1 B．5﹣2a C．﹣1﹣2a D．不能确定
6、实数在数轴上的位置如图所示，化简的值为（ ）
A． B． C． D．
7、若x、y为实数，，化简：．
8、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．
三、代数式
1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.
2、列代数式的常用方法：
①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；
②公式法：根据公式列出代数式；
③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.
【例1.1】下列各式中：，，0，，，，，，属于代数式的共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例1.2】某店对售价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案：方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．降价最多的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定
【例1.3】下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A． B． C． D．
1、下列各式中，代数式有（ ）
①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32．
中小学教育资源及组卷应用平台
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2、下列代数式书写正确的是（ ）
A．a4 B．m÷n C． D．x（b+c）
3、用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2
4、对单项式“”可以解释为：一件商品原价元，若按原价的七五折出售，这件商品现在的售价为元．某超市的苹果价格为39元/斤，则代数式“”可表示的实际意义 ．
5、用字母表示如图所示的阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
6、下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有4个五角星，第②个图形一共有10个五角星，第③个图形一共有20个五角星，…，则第⑧个图形中五角星的个数为（ ）
A．98 B．130 C．146 D．162
1、下列式子属于二次根式的是( )
A． B． C． D．
2、如果代数式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠2
3、如果，则x+y的值为( )
A． B．1 C． D．0
4、已知是整数，则正整数n的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5、实数a在数轴上的位置如图 所示，则化简后为( )
A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．15﹣2a
6、代数式有意义的条件 ．
7、若为实数，且满足，则的值是 ．
8、化简：2＜x＜4时， ．
9、计算：（1） （2）．
10、在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得，
∴1﹣x＞0，
∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
(1)试化简：；
(2)已知a、b满足，求ab的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
一、二次根式的定义
1、一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
2、形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （a≥0）;
3、判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
【例】是二次根式，不是二次根式.
4、判断二次根式有无意义的条件
（1）被开方数是非负数；
（2）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都是非负数；
（3）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还要保证分母不为零。
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.
【例】要使得有意义，则.
【题型一】二次根式的定义
【例1.1】下列各式中①；②； ③； ④； ⑤；一定是二次根式的有( )个
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析 ∵式子 (a≥0)是二次根式，∴，，不一定是二次根式．
∵a2≥0，∴a2+3＞0，
∴，一定是二次根式．
故选：B．
【例1.2】下列式子是二次根式的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】，
所以和，是二次根式．故选B．
【题型二】二次根式有无意义的条件
【例2.1】已知代数式有意义，则x的值可能是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 A
解析 代数式有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，
【例2.2】要使式子有意义，x的取值范围是( )
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≤﹣3且x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
解析 由题意得：，解得x≥﹣3且x≠2．
故选：B．
要使代数式有意义，x的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得
故答案为：
【题型三】根据二次根式有意义的条件求值
【例3.1】已知x，y为实数，且，则 ．
答案 5
解析 依题意得：，解得x＝9，
所以y＝4
故3+2＝5．
故答案为：5．
【例3.2】为任意实数，满足，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．无法确定
【答案】C
【解析】根据题意，得：，即，
∴由，
得：，即，
两边平方，得
∴．故选C．
1、若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是二次根式，故本选项符合题意；
D. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2、给出下列各式：①；②6；③；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①∵3＞0，∴是二次根式；
②6不是二次根式；
③∵﹣12＜0，∴不是二次根式；
④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴是二次根式；
⑤∵a2+1＞0，∴是二次根式；
⑥是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
3、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：B．
4、已知x，y都是实数，且，则y＝ ．
【答案】4
【解析】∵，∴，解得x＝3，∴y＝4.
5、已知实数a满足，求a﹣20102的值．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，
解得a≥2011，
去掉绝对值号得，a﹣2010a，
所以，2010，
两边平方得，a﹣2011＝20102，
所以，a﹣20102＝2011．
6、求下列式子有意义的x的取值范围.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；
（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．
【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x．
所以x的取值范围是x．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，
∵x2≥0，
∴x2＝0，
解得x＝0．
∴x的取值范围是x＝0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x；
2x﹣3≤0，解得x．
综上，可知x．
∴x的取值范围是x．
二、二次根式的性质
1、 的性质：0；a≥0（双重非负性）．
2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
【例】，；
3、 的性质：|a|（算术平方根的意义）．
【例】，，.
4、（）2（a≥0）与 的区别与联系.（可以从以下几个方面来说明）
（）2（a≥0）
区 别 取值范围 a≥0 a为任意实数
表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根
运算顺序 先开平方后平方 先平方后开平方
运算结果 （）2＝a （a≥0）
读法 读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作：“根号”或“a的平方的算术平方根”
联 系 （1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，＝（）2
【题型一】根据 的双重非负性求值
【例1.1】已知实数、满足，则的值为_____________．
【答案】
【分析】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：
，，
，，
．
故答案为：．
【例1.2】已知a、b、c满足2|a﹣1|（c+b）2＝0，求2a+b﹣c的值．
【分析】利用非负数之和为零，则各自为零，进而求出a，b，c的值求出答案．
【解答】解：∵2|a﹣1|（c+b）2＝0，
又∵|a﹣1|≥0，0，（c+b）2≥0，
∴，
∴，
∴2a+b﹣c＝2+2+2＝6．
【题型二】）2=a(a≥0)
【例2.1】化简：（1）= ；（2） ；（3） ；（4） ；
【分析】直接利用二次根式的（）2＝a （a≥0）性质化简求解.
【解答】（1）17；
（2） 4312；
（3）；
（4）﹣﹣3.
【例2.2】计算下列各式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【解答】解：（1） ；
（2）＝0.9﹣0.2＝0.7；
（3） ＝9；
（4） ．
【题型三】=|a|(a≥0)
【例3.1】计算：
， ， ， ， ，
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
【分析】根据二次根式的性质|a|，进行计算即可解答．
【解答】解：计算：
3，0.7，0，6，，
故答案为：3；0.7；0；6；；
（1）不一定等于a，
发现的规律是：|a|；
（2）
＝|3.14﹣π|
＝π﹣3.14．
【例3.2】已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，即，
∴是负数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【例3.3】在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
【题型四】二次根式性质的综合运用
【例4.1】下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次根式的化简可判断A，B，由二次根式的乘方运算可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意．
故选：D．
【例4.2】计算：
【答案】
【分析】先根据立方根定义和二次根式的性质、绝对值化简，然后根据实数运算法则计算即可；
【详解】解：，
，
.
【题型五】利用数轴与二次根式性质进行化简
【例5.1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|
＝﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣2a+b．
故选：A．
【例5.2】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，
则 ．
【分析】利用数轴得出a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，进而化简得出即可．
【解答】解：由数轴可得出：a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，
故
＝﹣（a+b）+（a﹣b）+a
＝a﹣2b．
故答案为：a﹣2b．
1、计算的结果为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
2、计算 ．
【答案】π
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：π．
3、若，则 ， ．
【答案】 ；
【分析】根据非负数的性质列方程求出、的值即可．
【详解】解：，
，
解得，
故答案为：，．
4、计算的结果为 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
5、当2＜a＜3时，化简的结果为（ ）
A．﹣1 B．5﹣2a C．﹣1﹣2a D．不能确定
【答案】B
6、实数在数轴上的位置如图所示，化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置得到，据此化简二次根式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴
，
故选C．
7、若x、y为实数，，化简：．
【答案】解：∵和有意义，
∴，解得x＝2，∴y＜1，
∴
8、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．
【分析】直接利用数轴得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：
a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
三、代数式
1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.
2、列代数式的常用方法：
①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；
②公式法：根据公式列出代数式；
③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.
【例1.1】下列各式中：，，0，，，，，，属于代数式的共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有=、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号，由此判定即可．
【详解】解：根据代数式的意义，可知，，0，，，，是代数式，共6个，
故选D．
【例1.2】某店对售价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案：方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．降价最多的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意分别表示出降价后的售价，然后用原售价﹣降价后的售价，再比较大小即可．
【详解】解：方案一：a﹣（1﹣10%）（1﹣30%）a＝a﹣63%a＝37%a，
方案二：a﹣（1﹣20%）（1﹣15%）a＝a﹣68%a＝32%a，
方案三：a﹣（1﹣20%）（1﹣20%）a＝a﹣64%a＝36%a，
∵a＞0，
∴37%a＞36%a＞32%a，
∴方案一降价最多，
故选：A．
【例1.3】下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），根据各图形中小正方形个数的变化可得出变化规律．
【详解】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），
，
，
，
（ 为正整数），
故选C．
1、下列各式中，代数式有（ ）
①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32．
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】代数式即用加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等运算连接起来的式子，代数式中不应含等号或不等号等；再根据单独算数字和字母也是代数式，逐一分析即可解答．
【解答】解：①m是代数式；②4a是代数式；③mx+y是代数式；④π是代数式；⑤ab=ba是等式；
⑥S=（a+b）h是等式；⑦3.6×103πa2是代数式；⑧22＜32是不等式，故代数式有5个．
故选：D．
2、下列代数式书写正确的是（ ）
A．a4 B．m÷n C． D．x（b+c）
【分析】直接根据代数式的书写规范进行判断即可．
【解答】解：A．a4应写成4a，故不符合题意；
B．m÷n应写成，故不符合题意；
C.1x的正确写法是x，故不符合题意；
D．x（b+c）书写正确，符合题意．
故选：D．
3、用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2
【分析】先求倍数，然后求差，再求平方．
【解答】解：依题意得：（2a﹣b）2．
故选：C．
4、对单项式“”可以解释为：一件商品原价元，若按原价的七五折出售，这件商品现在的售价为元．某超市的苹果价格为39元/斤，则代数式“”可表示的实际意义 ．
【答案】用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱．
【分析】根据代数式，50是支付的钱，按原价一折，购买x斤的钱，其差表示余下的钱即可．
【详解】解：按原价一折，购买x斤的钱，
代数式“”可表示的实际意义是：支付50元买原价39元/斤一折出售的苹果x斤后余下的钱，
故答案为：用50元买原价39元/斤一折出售的苹果斤后余下的钱．
5、用字母表示如图所示的阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用长为（a+b），宽为b的长方形的面积减去两个半径分别为a、b的圆的面积即可．
【解答】解：b（a+b）π（a2+b2）．
故选：A．
6、下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有4个五角星，第②个图形一共有10个五角星，第③个图形一共有20个五角星，…，则第⑧个图形中五角星的个数为（ ）
A．98 B．130 C．146 D．162
【答案】B
【分析】由题意知：第①个图形五角星个数：，第②个图形五角星个数：，第③个图形五角星个数：…得出第n个图形中五角星的个数为，由此得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：
第①个图形五角星个数：，
第②个图形五角星个数：，
第③个图形五角星个数：，
……
第n个图形五角星个数：，
∴第⑧个图形中五角星的个数为：，
故选：B．
1、下列式子属于二次根式的是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 A．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项符合题意；
D．中被开方数﹣7＜0，不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2、如果代数式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠2
答案 D
解析 由题意得，x+1≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣1且x≠2，
故选：D．
3、如果，则x+y的值为( )
A． B．1 C． D．0
答案 A
解析 ∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，
则，解得：x＝，
故y＝0，
则x+y＝+0＝．
故选：A．
4、已知是整数，则正整数n的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 当n＝2时，．
所以最小的正整数n为2．
故选：C．
5、实数a在数轴上的位置如图 所示，则化简后为( )
A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．15﹣2a
答案 A
解析 ∵5＜a＜10，
∴原式＝|a﹣3|+|a﹣12|＝a﹣3﹣(a﹣12﹣)＝a﹣3﹣a+12＝9．
故选：A．
6、代数式有意义的条件 ．
答案 x＞2
解析 代数式有意义的条件是：，解得：x＞2．
故答案为：x＞2．
7、若为实数，且满足，则的值是 ．
【答案】-1
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可；
【详解】∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案是-1．
8、化简：2＜x＜4时， ．
答案 2x﹣6
解析 ∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，
∴原式
．
故答案为：2x﹣6．
9、计算下列各式：
（1） （2）．
【答案】（1） （2）
【分析】根据有理数乘方的运算法则，绝对值的性质，开立方运算法则，二次根式的性质即可解答．
【详解】解：（1）
．
（2）解：原式
．
10、在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得，
∴1﹣x＞0，
∴原式＝(1﹣3x)﹣(1﹣x)＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
(1)试化简：；
(2)已知a、b满足，求ab的值．
答案 (1) 1；(2) ±
解析 (1)隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
所以＝3﹣x﹣(2﹣x)＝3﹣x﹣2+x＝1；
(2)∵，
若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，
故a＜2，
∴2﹣a＝a+3，
∴，
∵＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，
∴b＝或，
∴ab＝±．
