第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
一、平行线的性质
1、性质1：两直线平行，同位角相等.
数学语言：两直线平行，同位角相等
2、性质2：两直线平行，内错角相等
数学语言：两直线平行，内错角相等
3、性质3：两直线平行，同旁内角互补.
数学语言：两直线平行，内错角相等
【注意】：平行线判定定理和性质定理的区分。
【题型一】两直线平行，同位角相等
【例1.1】如图，，于E，交于F，已知，则 ．
【例1.2】如图，已知直线 ，直线与、分别相交于点，，直线平分交于，，求的度数．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【例1.3】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二】两直线平行，内错角相等
【例2.1】如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是( )
A．160° B．150° C．140° D．130°
【例2.2】如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2.4】如图，，点E，F为CD，AB上两点，．FM平分，．求的度数．
【题型三】两直线平行，同旁内角互补
【例3.1】如图，且被直线所截，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】如图，已知直线，，分别被，所截，如果和互余，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】平行线的判定和性质的综合应用
【例4.1】如图，已知，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD．有下列结论：
①AD∥BC；②∠ECD＝∠DAC；③∠CEF＝∠CFE；④∠ACE＝∠ABC．
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4.2】补全下列推理过程：
如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB．
解：因为AB∥CE( )，
所以∠A＝∠ ( )．
因为∠A＝∠E(已知)，
所以∠ ＝∠ ( )
所以 ∥ ( )
所以∠CGD＝∠ ( )．
因为∠FHB＝∠GHE( )，
所以∠CGD＝∠FHB( )．
【例4.3】已知：如图，，，，求证：．
证明：，，
，
，
又（已知）
，
，
．
【例4.4】如图，已知直线、与直线、相交，，，求的度数．
【例4.5】如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
(1)求证：CE∥GF；
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠EHF＝78°，∠D＝35°，求∠AEM的度数
1、一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，已知平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠1＝55°，则∠2的度数为( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
5、如图，已知AB∥EF，点C在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则下列结论：
①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1．
其中正确的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥AC交CB于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，则可推得EF平分∠DEB，其推导过程和推理依据如下：
解：∵DE∥AC，(已知)
∴∠ACD＝ .( )
∵EF∥CD，(已知)
∴ ＝∠DEF，( )
∠DCE＝ .( )
∴∠ACD＝∠DEF．(等量代换)
又∵CD平分∠ACB，(已知)
∴∠ACD＝∠DCE．( )
∴∠DEF＝ .(等量代换)
∴EF平分∠DEB．(角平分线定义)
7、请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
8、如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C+∠BFG＝180°，∠CED＝∠GHD．
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHG＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
9、如图，分别是上一点，，与互余，，垂足是．
(1)求的度数；
(2)说明：．
10、如图，已知，，三点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
11、如图，已知，，试说明直线与垂直
12、三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
(1)如图1，求证：CF∥AB；
(2)如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
5.3.2 命题、定理、证明
一、命题
1、命题 ：判断一件事情的语句，叫做命题．
这句话意味着： ①命题必须是一个完整的句子； ②命题必须是具有“判断”作用的．
2、命题的组成
每个命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
一个命题通常写成“如果” “那么” 的形式． 即“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
【例】 “对顶角相等”是命题，它可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论.
3、真命题与假命题
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．
【例】 命题“如果，那么”是真命题；命题“如果，那么”是假命题.
二、定理：
经过推理证实的真命题叫做定理，它可以作为继续推理的依据．
三、证明：
一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明．
【例】 平行线的判定和性质都是定理.
【注意】：
定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．
证明中的每一步都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
【题型一】命题的定义
【例1.1】下列语句中，是命题的是（ ）
A．在线段上任取一点 B．对顶角相等
C．过直线外一点作直线，使 D．锐角都相等吗？
【例1.2】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 .
【例1.3】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)同号两数相乘，积为正数．
(2)末位数字是0的数，一定能被5整除；
【题型二】真、假命题
【例2.1】命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角④同位角相等．其中假命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【例2.2】下列命题是假命题的是（ ）
A．如果，，那么 B．对顶角相等
C．如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除 D．内错角相等
【例2.3】“若，则，”是 命题（选填“真”或“假”）．
【题型三】定理与证明
【例3.1】下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身
D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
【例3.2】“同角或等角的补角相等”是( )
A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题
【例3.3】下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
1、下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补
C．平角是一条直线 D．延长线段到点C，使
2、下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与己知直线平行
B．同旁内角互补
C．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角也相等
3、下列命题中，假命题是（ ）
A．，，则
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
4、命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ．
5、将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为
6、（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
（2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
1、下列语句：①周长相等的两个三角形是完全一样的；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、对于命题“如果与互余，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．， B．
C． D．
3、如图，∠D＝60°，∠C＝120°，∠AED＝60°，则下列说法错误的是( )
A．∠B＝60° B．ED∥BC C．AB∥CD D．∠B+∠D＝180°
4、如图，，，，则图中与相等的角（除外）共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5、如图，已知点C，D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠1+∠3＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H．则下列结论中正确的是( )
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠3＝2∠2；④∠HEF＝90°．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
6、命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
7、如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
8、如图，，若，则的度数为 ．
9、如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝ °．
10、如图，是的平分线，，，求的度数．
11、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
解：∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ （ ）
∴∠EDC＝∠5（ ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ （ ）
∴DC∥AB（ ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ ）．
12、完成下面的证明：
如图所示，，求证：．
证明：过E作，
∵，
∴_____________（_________），
∴_______（_______）．
∵（已作），
∴_______（_______）．
又∵______，
∴．
13、如图，， ．
(1)求证：；
(2)若平分交于点 E，，求的度数．
14、如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若比小，求的度数．
15、如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
(1)判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
(2)若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
平行线的性质
1、性质1：两直线平行，同位角相等.
数学语言：两直线平行，同位角相等
2、性质2：两直线平行，内错角相等
数学语言：两直线平行，内错角相等
3、性质3：两直线平行，同旁内角互补.
数学语言：两直线平行，内错角相等
【注意】：平行线判定定理和性质定理的区分。
【题型一】两直线平行，同位角相等
【例1.1】如图，，于E，交于F，已知，则 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行同位角相等可求得的度数，再根据垂直的定义即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵于E，
∴，
故答案为：．
【例1.2】如图，已知直线 ，直线与、分别相交于点，，直线平分交于，，求的度数．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，进而可得，再根据角平分线的定义得出，最后根据两直线平行，同位角相等，可得 ．
【详解】解： ，，
，
，
直线平分，
，
，
．
【例1.3】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得，，再结合角的和差关系可得答案.
【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺两边互相平行，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【题型二】两直线平行，内错角相等
【例2.1】如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是( )
A．160° B．150° C．140° D．130°
答案 D
解析 ∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠B＝∠A＝130°．
故选：D．
【例2.2】如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，推出，，在根据平分得，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
【例2.3】已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【例2.4】如图，，点E，F为CD，AB上两点，．FM平分，．求的度数．
【答案】60度
【分析】根据平行线的性质可得，进而可得，再根据角平分线的定义以及垂直的定义即可作答．
【详解】证明：，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
【题型三】两直线平行，同旁内角互补
【例3.1】如图，且被直线所截，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对顶角相等可得，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
【详解】解：由题意得：
∵
∴
故选：A
【例3.2】如图，已知直线，，分别被，所截，如果和互余，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设的对顶角为，根据得到，根据得，根据得到，计算即可．
【详解】设的对顶角为，
则；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【题型四】平行线的判定和性质的综合应用
【例4.1】如图，已知，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD．有下列结论：
①AD∥BC；②∠ECD＝∠DAC；③∠CEF＝∠CFE；④∠ACE＝∠ABC．
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 ∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，
∴AB∥CD，∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC，
∴①正确，符合题意；
∵∠ECD+∠ADC＝∠DAC+∠ADC＝90°，
∴∠ECD＝∠DAC，
∴②正确，符合题意；
根据题意，无法证明∠CEF＝∠CFE，
∴③错误，不符合题意；
∵∠ACE+∠ECD＝∠ADC+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ADC＝∠ABC，
∴④正确，符合题意；
故选：C．
【例4.2】补全下列推理过程：
如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB．
解：因为AB∥CE( )，
所以∠A＝∠ ( )．
因为∠A＝∠E(已知)，
所以∠ ＝∠ ( )
所以 ∥ ( )
所以∠CGD＝∠ ( )．
因为∠FHB＝∠GHE( )，
所以∠CGD＝∠FHB( )．
解析 ∵AB∥CE(已知)
∴∠A＝∠ADC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠A＝∠E(已知)，
∴∠E＝∠ADC(等量代换)，
∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠CGD＝∠GHE(两直线平行，同位角相等)．
∵∠FHB＝∠GHE(对顶角相等)，
∴∠CGD＝∠FHB(等量代换)．
故答案为：已知；ADC；两直线平行，内错角相等；E；ADC；等量代换；AD；EF；同位角相等，两直线平行；GHE；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换．
【例4.3】已知：如图，，，，求证：．
证明：，，
，
，
又（已知）
，
，
．
【答案】；；；；；；；两直线平行，内错角相等
【分析】先依据，判定；依据，判定，进而得出 ，再根据平行线的性质，即可得到．
【详解】证明：，，
，
，
又（已知），
，
，
（两直线平行，内错角相等）
故答案为：；；；；；；；两直线平行，内错角相等．
【例4.4】如图，已知直线、与直线、相交，，，求的度数．
【答案】．
【分析】由得到，利用两直线平行同位角相等，以及邻补角的定义，进行求解即可．
【详解】解：， ，
，
，
．
【例4.5】如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
(1)求证：CE∥GF；
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠EHF＝78°，∠D＝35°，求∠AEM的度数
解析 (1)证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；
(2)解：∠AED+∠D＝180°，理由如下：
∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝EFG，∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
(3)解：∵∠EHF＝78°，∴∠GHD＝∠EHF＝78°
∵∠D＝35°，∴∠FGD＝180°﹣∠D﹣∠GHD＝180°﹣35°﹣78°＝67°，
∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD＝67°，
∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝67°，
∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣67°＝113°．
1、一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质可得，再由，可以求出的度数，从而得到的度数．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，
，
，
，
，
故选：B．
2、如图，已知平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由平分求出的度数，进而可得出结论．
【详解】∵，，
∴，．
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
3、如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
4、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠1＝55°，则∠2的度数为( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
答案 D
解析 ∵AD∥BC，∠1＝55°，∴∠1＝∠DEF＝55°，
根据折叠的性质得，∠GEF＝∠DEF＝55°，
∵∠2+∠GEF+∠DEF＝180°，∴∠2＝70°，
故选：D．
5、如图，已知AB∥EF，点C在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则下列结论：
①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1．
其中正确的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案 A
解析 ∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，
∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠1＝∠ECA，
∴AC平分∠DCE，①正确；
∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，
∴AE∥CD，②正确；
∵∠BCF＝∠B，∠BCD＝∠BCF，∴∠B＝∠BCD，
∴∠1+∠B＝90°，③正确；
∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，
∴∠BDC＝2∠1，④正确；
故选：A．
6、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥AC交CB于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，则可推得EF平分∠DEB，其推导过程和推理依据如下：
解：∵DE∥AC，(已知)
∴∠ACD＝ .( )
∵EF∥CD，(已知)
∴ ＝∠DEF，( )
∠DCE＝ .( )
∴∠ACD＝∠DEF．(等量代换)
又∵CD平分∠ACB，(已知)
∴∠ACD＝∠DCE．( )
∴∠DEF＝ .(等量代换)
∴EF平分∠DEB．(角平分线定义)
7、请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
答案 ∠EDC；两直线平行，内错角相等；∠EDC；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；角平分线定义；∠BEF．
解析 ∵DE∥AC(已知)
∴∠ACD＝∠EDC(两直线平行，内错角相等)
∵EF∥CD(已知)
∴∠EDC＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)
∠DCE＝∠BEF(两直线平行，同位角相等)
∴∠ACD＝∠DEF(等量代换)
又∵CD平分∠ACB(已知)
∴∠ACD＝∠DCE(角平分线定义)
∴∠DEF＝∠BEF(等量代换)
∴EF平分∠DEB．(角平分线定义)
故答案为：∠EDC；两直线平行，内错角相等；∠EDC；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；角平分线定义；∠BEF．
8、如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C+∠BFG＝180°，∠CED＝∠GHD．
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHG＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
答案 (1) ∠AED+∠D＝180° (2) 110°
解析 (1)∠AED+∠D＝180°，理由如下：
∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C+∠BFG＝180°，∴∠FGD+∠BFG＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°．
(2)由(1)知CE∥GF，
∴∠CED＝180°﹣∠EHG＝80°，
由(1)知AB∥CD，
∴∠BED＝∠D＝30°，
∴∠BEC＝∠BED+∠CED＝110°，
∴∠AEM＝∠BEC＝110°．
9、如图，分别是上一点，，与互余，，垂足是．
(1)求的度数；
(2)说明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直的性质得到，然后由得到，然后利用平行线的性质求解即可；
（2）首先根据互余的概念得到，然后得到，进而得到出，然后利用平行线的证明方法求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴；
（2）说明：∵与互余，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
10、如图，已知，，三点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，先求得，进而可得到，问题得证．
（2）根据平行线的性质，可求得的度数，根据三角形内角和定理，可求得的度数，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
又，
∴．
11、如图，已知，，试说明直线与垂直
【答案】，理由见解析
【分析】先证明，可得，再证明，可得，进一步可得结论．
【详解】解：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
12、三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
(1)如图1，求证：CF∥AB；
(2)如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
答案 (1) 略； (2) 100°； (3) 12°
解析 (1)证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
(2)解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
(3)∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
5.3.2 命题、定理、证明
一、命题
1、命题 ：判断一件事情的语句，叫做命题．
这句话意味着： ①命题必须是一个完整的句子； ②命题必须是具有“判断”作用的．
2、命题的组成
每个命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
一个命题通常写成“如果” “那么” 的形式． 即“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
【例】 “对顶角相等”是命题，它可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论.
3、真命题与假命题
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．
【例】 命题“如果，那么”是真命题；命题“如果，那么”是假命题.
二、定理：
经过推理证实的真命题叫做定理，它可以作为继续推理的依据．
三、证明：
一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明．
【例】 平行线的判定和性质都是定理.
【注意】：
定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．
证明中的每一步都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
【题型一】命题的定义
【例1.1】下列语句中，是命题的是（ ）
A．在线段上任取一点 B．对顶角相等
C．过直线外一点作直线，使 D．锐角都相等吗？
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断即可．
【详解】解：A．在线段上任取一点，不是命题，故选项不符合题意；
B．对顶角相等是命题，故选项符合题意；
C．过直线外一点作直线，使，不是命题，故选项不符合题意；
D．锐角都相等吗？不是命题，故选项不符合题意．
故选：B．
【例1.2】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是
【答案】 同位角相等 两直线平行
【分析】根据命题的构成特点解答即可．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”的题设是同位角相等，结论是两直线平行
故答案为：同位角相等，两直线平行
【例1.3】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)同号两数相乘，积为正数．
(2)末位数字是0的数，一定能被5整除；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面即可．
【详解】（1）解：改写为：如果两个数的符号相同，那么这两个数的乘积为正数．
（2）改写为：如果一个数的末位数是0，那么这个数能被5整除．
【题型二】真、假命题
【例2.1】命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角④同位角相等．其中假命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
解析 由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②正确，是真命题；
由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③错误，是假命题；
由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，故④错误，是假命题．
故选：C．
【例2.2】下列命题是假命题的是（ ）
A．如果，，那么
B．对顶角相等
C．如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除
D．内错角相等
【答案】D
【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、如果，，那么，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
、如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；
、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．
故选：．
【例2.3】“若，则，”是 命题（选填“真”或“假”）．
【答案】假
【题型三】定理与证明
【例3.1】下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身
D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．
故选B．
【例3.2】“同角或等角的补角相等”是( )
A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题
【答案】C
【分析】根据定义、公理、定理的定义即可得出.
【详解】解：“同角或等角的补角相等”定理，它是由等量代换推理得到的，是真命题．
故选C．
【例3.3】下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
【答案】C
【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
1、下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补
C．平角是一条直线 D．延长线段到点C，使
【答案】D
【分析】根据具有判断语气的句子是命题，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、相等的角是对顶角，是命题，故本选项不符合题意；
B、同旁内角互补，是命题，故本选项不符合题意；
C、平角是一条直线，是命题，故本选项不符合题意；
D、延长线段到点C，使，不是命题，故本选项符合题意；
故选：D
2、下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与己知直线平行
B．同旁内角互补
C．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角也相等
【答案】D
【分析】根据平行公理，平行线的判定与性质进行判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行，故原命题为假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题为假命题；
C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，故原命题为假命题；
D、根据平行线的判定与性质，如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，则这两条直线平行，再由平行线的性质，得到内错角相等，故原命题是真命题．
故选：D．
3、下列命题中，假命题是（ ）
A．，，则
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
【答案】B
【分析】根据平行公理及推论、平行线的判定与性质解答即可得解．
【详解】解：A、根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故A为真命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故B为假命题，符合题意；
C、根据平行公理知，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C为真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交，故D为真命题，不符合题意；
故选：B．
4、命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ．
【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
5、将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为
【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0
【分析】分清命题的题设和结论后，写成“如果……那么……”的形式即可．
【详解】将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为:如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0，
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0．
6、（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
（2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
【答案】（1）假命题；（2）添加（答案不唯一）；证明见解析．
【分析】（1）本问考查真假命题的判定以及平行线的判定，利用平行线的判定方法进而判断即可；
（2）本问考查了平行线的性质和判定，正确利用平行线的判定方法求出即可．
【详解】解：（1）假命题；
由图形可知，既不是同位角也不是内错角，即使也不能得到，故该命题为假命题；
故答案为：假命题
（2）添加（答案不唯一）；
∵
∴.
又∵
∴，
即
∴．
1、下列语句：①周长相等的两个三角形是完全一样的；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，根据题意逐项分析判断，即可求解．
【详解】①周长相等的两个三角形完全一样的，是命题；
②同位角相等，是命题；
③作∠ABC的平分线，未作出判断，不是命题；
④垂线段最短，是命题，
故选：C．
2、对于命题“如果与互余，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，由此逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误，不符合题意；
B、不满足条件，故B选项错误，不符合题意；
C、不满足条件，故C选项错误，不符合题意；
D、满足条件，不满足结论，故D选择正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
3、如图，∠D＝60°，∠C＝120°，∠AED＝60°，则下列说法错误的是( )
A．∠B＝60° B．ED∥BC C．AB∥CD D．∠B+∠D＝180°
答案 D
解析 ∵∠D＝60°，∠C＝120°，∴∠D+∠C＝180°，
∴ED∥BC，
∴∠B＝∠AED＝60°，
故A、B不符合题意；
∵∠D＝60°，∠AED＝60°，
∴∠D＝∠AED，∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠B+∠D＝60°+60°＝120°，
故D符合题意．
故选：D．
4、如图，，，，则图中与相等的角（除外）共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等．根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，以及对顶角相等，找到与相等的角即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
又∵，
∴；
综上：与相等的角（除外）共有5个；
故选B．
5、如图，已知点C，D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠1+∠3＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H．则下列结论中正确的是( )
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠3＝2∠2；④∠HEF＝90°．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
答案 B
解析 ∵∠1+∠3＝180°，
又∠ADF+∠3＝180°，∴∠1＝∠ADF，
∴CE∥DF，
故②符合题意，①不符合题意；
∵CE∥DF，CF平分∠ECB，∴∠ECF＝∠2，∠ECF＝∠BCF，
∴∠2＝∠BCF，
∴∠3＝∠2+∠BCF＝2∠2，
故③符合题意；
根据题意判断不出EF∥AB，∠HEF＝90°，
故①④不符合题意．
故选：B．
6、命题“如果，那么互为相反数”，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】根据相反数的特点解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么互为相反数”，这是一个真命题；
故答案为：真．
【点睛】本题考查了真假命题，熟知相反数的特点是解题关键．
7、如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：如图所示：
，
∵，
∴
故答案为：
8、如图，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质得到，，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9、如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝ °．
答案 90
解析 过点C作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
又∵∠2＝116°，∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，
又∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝26°，∴∠3＝26°，
又∵∠BCD＝∠3+∠4，
∴∠BCD＝90°，
故答案为：90．
10、如图，是的平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，本题先证明，再结合角平分线的定义可得答案．
【详解】解：，
，
平分，
．
11、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
解：∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ （ ）
∴∠EDC＝∠5（ ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ （ ）
∴DC∥AB（ ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ ）．
【答案】BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定与性质即可依次证明填空．
【详解】解：∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；
12、完成下面的证明：
如图所示，，求证：．
证明：过E作，
∵，
∴_____________（_________），
∴_______（_______）．
∵（已作），
∴_______（_______）．
又∵______，
∴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，过E作，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记“平行于同一直线的两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】过E作，
∵，
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已作），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，
∴．
故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；．
13、如图，， ．
(1)求证：；
(2)若平分交于点 E，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，
（1）根据平行线的性质和判定定理求解即可；
（2）首先根据平行线的性质得到，然后根据角平分线的概念得到，然后利用平行线的性质求解即可．
解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵平分
∴
∵
∴．
14、如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若比小，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）先证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）先证明，可得，结合邻补角互补的性质从而可得答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）∵，
∴，
∵比小，即，
∴，
∵，
∴．
15、如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
(1)判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
(2)若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
答案 (1) EH∥AD；(2) 34°．
解析 (1)EH∥AD，理由如下：
∵∠1＝∠B，∴AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠2+∠3＝180°，∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
(2)由(1)得AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，
∵∠DGC＝58°，∴∠BAC＝58°，
∵EH∥AD，∴∠2＝∠H，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H＝∠4+10°，
∴∠4+10°+∠4＝58°，解得：∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
