第五章 相交线与平行线
5.4 平移
一、平移
1、平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同；
2、平移的性质
① 对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应相等相等；③对应角相等.
平移后得到，则，，，，.
【题型一】平移的定义
【例1.1】下列现象中，属于平移的是( )
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
【例1.2】如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )
A． B． C． D．
【题型二】平移的性质
【例2.1】如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．∠ACB＝∠ D．BC＝
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【例2.2】如图，将周长为厘米的沿射线方向平移厘米得到，那么四边形的周长为___________厘米．
【例2.3】如图，小红家楼梯长3m，高2m，宽1m，若想铺上地毯，则所需地毯的面积( )
A．2m2 B．3m2 C．5m2 D．6m2
【例2.4】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．
【例2.5】如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，道路的总面积为 平方米．
【题型三】平移作图
【例3.1】如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．
（1）过点B画出AC的平行线；
（2）画出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；
（3）若每一个网格的单位长度为a，求三角形ABC的面积．
【例3.2】按下列要求画图．
(1)如图，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法）
(2)如图，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段．
1、有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
2、下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为( )
A． B． C． D．
4、惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
5、如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
6、如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移a个单位，再向右平移b个单位，平移后得到三角形，其中图中直线l上的点是点A的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形，其中_______，_________；
(2)在直线l上存在一点D，使，，，D所围成的四边形的面积为15，请在直线l上画出所有符合要求的格点D．
1、下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．转动中的电风扇叶片
C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
2、在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，将周长为8的沿方向向右平移单位得到，四边形的周长为13，则平移的距离为 ．
4、如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
5、为持续推进儿童友好公园建设，郑州市园林绿化部门计划在2023年新建绿地面积300万平方米以上．如图，在长为103米，宽为60来的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为3米，其他部分计划种植花草，则种植花草的面积为 平方米．
6、如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上．若，则的度数是______．
7、已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，将此直角三角形沿射线BC方向平移，到达直角三角形A1B1C1的位置(如图所示)，其中点B1落在边BC的中点处，此时边A1B1与边AC相交于点D，如果BC1＝12cm，AD＝CD＝3cm，那么四边形ABB1D的面积＝ cm2．
8、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，将向上平移4个单位长度得到，使点A、B、C分别对应点D、E、F，再将平移得到，使点D、E、F分别对应点M、N、P．
(1)分别画出两次平移后的三角形；
(2)顺次连接点C、F、N，请直接写出的面积为_____．
9、如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，得到.
(1)请在图中画出平移后的；
(2)若连接，则这两条线段的位置关系和大小关系分别是______ ；
(3)此次平移也可看作如何平移得到△ABC？
10、如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
11、如图，在中，，，将沿方向平移得到，且，．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的周长．
12、如图，，平分，．
(1)与平行吗？请说明理由．
解：．理由如下：
∵（邻补角的定义），
（已知），
∴______（同角的补角相等）．
∴．
(2)与的位置关系如何？为什么？
∵平（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），即，
∴______（_________）
∴____________（_________）中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 相交线与平行线
5.4 平移
一、平移
1、平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同；
2、平移的性质
① 对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应相等相等；③对应角相等.
平移后得到，则，，，，.
【题型一】平移的定义
【例1.1】下列现象中，属于平移的是( )
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
答案 C
解析 A．滚动的足球是旋转，故不符合题意；
B．转动的电风扇叶片是旋转，故不符合题意；
C．正在上升的电梯是平移，故符合题意；
D．正在行驶的汽车后轮是旋转，故不符合题意；
故选：C．
【例1.2】如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选：B．
【题型二】平移的性质
【例2.1】如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．∠ACB＝∠ D．BC＝
【答案】C
【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，
∴，故A正确；
，故B正确；
∠ACB＝∠，故C错误；
BC＝，故D正确，
故选：C．
【例2.2】如图，将周长为厘米的沿射线方向平移厘米得到，那么四边形的周长为___________厘米．
【答案】
【分析】利用平移的性质得到，然后根据可计算出四边形的周长．
【详解】解：沿射线方向平移厘米得到，
，
，
cm．
即四边形的周长为．
故答案为．
【例2.3】如图，小红家楼梯长3m，高2m，宽1m，若想铺上地毯，则所需地毯的面积( )
A．2m2 B．3m2 C．5m2 D．6m2
答案 C
解析 根据题意可知所需地毯的长度为3+2＝5m，宽为1m，
∴所需地毯的面积为5×1＝5m2．
故选：C．
【例2.4】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．
【答案】57
【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积的计算，解题的关键是根据平移得出．
【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置，
，，，
∴，
∴，
．
【例2.5】如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，道路的总面积为 平方米．
答案 100
解析 平移后绿化地长为(32﹣2)米，宽为(20﹣2)米，
∴面积为(20﹣2)×(32﹣2)＝18×30＝540(平方米)，
∴道路的总面积＝20×32﹣540＝100(平方米)．
故答案为：100．
【题型三】平移作图
【例3.1】如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．
（1）过点B画出AC的平行线；
（2）画出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；
（3）若每一个网格的单位长度为a，求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）三角形ABC的面积＝3a2．
【分析】（1）B点看作A点先右平移3格得到，则把C点向右平移3格得到P点，则BP满足条件；
（2）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F即可；
（3）根据三角形面积公式计算．
【详解】（1）如图，直线BP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
（3）三角形ABC的面积3a×2a=3a2．
【例3.2】按下列要求画图．
(1)如图，有一条小船，若把小船平移，使点平移到点，请你在图中画出平移后的小船；（不要求写作法）
(2)如图，在图中分别画出其长度可以表示点到线段和线段距离的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，然后从小船的各点作与平行且相等的线段，找到各对应点，然后连接各点即可；
（2）过作，，线段，的长度分别表示点到线段和线段的距离．
【详解】（1）解：如图．
（2）解：如图，线段，的长度分别表示点到线段和线段的距离．
【点睛】此题主要考查了利用平移设计图案，用点到直线的距离，作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
1、有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降，是液体形状的变化，不是平移，不符合题意；
②打气筒打气时，活塞的运动属于平移，符合题意；
③钟摆的摆动属于旋转，不是平移，不符合题意；
④传送带上瓶装饮料的移动属于平移，符合题意；
综上所述，属于平移的是②④，
故选：D．
【点睛】本题考查平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．
2、下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移前后，图形的形状，大小和方向，都不发生改变，进行判断即可．
【详解】解：∵平移前后，图形的形状，大小和方向，都不发生改变，
∴只有A选项符合题意；
故选A．
3、如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 ∵小路左边线向右平移tm就是它的边线，
∴路的宽度是tm，
∴小路面积是btm2，绿地面积是b(a﹣t)m2，
∵a：b＝5：3，b：t＝6：1，
∴a：t＝10：1，
∴小路面积与绿地面积的比为．
故选：A．
4、惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个长方形，长宽分别为5米，3米，∴地毯的长度为(米)，
∴地毯的面积为 (平方米)，
∴买地毯至少需要 (元)
故答案为：640．
5、如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到，，然后计算出阴影部分周长为的周长即可求解．利用平移的性质得到，是解答的关键．
【详解】解：∵将沿方向平移，得到，
∴，，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为：11．
6、如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移a个单位，再向右平移b个单位，平移后得到三角形，其中图中直线l上的点是点A的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形，其中（ ），（ ）；
(2)在直线l上存在一点D，使，，，D所围成的四边形的面积为15，请在直线l上画出所有符合要求的格点D．
【答案】(1)图见解析，4，1
(2)见解析
【分析】（1）从图中可观察出A点向右平移了1个单位，向上平移了4个单位，即可求解；
（2）由于，所以四边形面积是的2倍，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
，，
故答案为：4，1；
（2）解：∵，
∴四边形的面积是面积的2倍，
如图所示：画出符合题意的点和，一共2个符合题意的D点．
．
1、下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．转动中的电风扇叶片
C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
【答案】D
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的概念进而得出答案．
【详解】解：A、荡秋千，属于旋转变换，不符合题意；
B、转动中的电风扇叶片，属于旋转变换，不符合题意；
C、地球绕着太阳转，属于旋转变换，不符合题意；
D、急刹车时，汽车在地面上的滑动，属于平移变换，符合题意；
故选：D．
2、在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论．
【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选：D．
3、如图，将周长为8的沿方向向右平移单位得到，四边形的周长为13，则平移的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移前后对应边相等得出，进而得出，再根据平移前后对应点连线的长度等于平移距离，即可得出．
【详解】解：∵沿方向向右平移单位得到，
∴，，
∵周长为8，
∴，
∵四边形的周长为13，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4、如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对顶角求得，由角平分线的定义求得，根据平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5、为持续推进儿童友好公园建设，郑州市园林绿化部门计划在2023年新建绿地面积300万平方米以上．如图，在长为103米，宽为60来的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为3米，其他部分计划种植花草，则种植花草的面积为 平方米．
【答案】5700
【分析】可以根据平移的性质，种植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，据此求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，
∴种植花草的面积．
故答案为：5700．
6、如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上．若，则的度数是______．
【答案】##度
【分析】根据平行线的性质及邻补角的性质作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
7、已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，将此直角三角形沿射线BC方向平移，到达直角三角形A1B1C1的位置(如图所示)，其中点B1落在边BC的中点处，此时边A1B1与边AC相交于点D，如果BC1＝12cm，AD＝CD＝3cm，那么四边形ABB1D的面积＝ cm2．
答案 18
解析 由平移变换的性质可知，BB1＝CC1＝B1C＝BC1＝4cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，B1C＝4cm，CD＝3cm，
∴S四边形ABB1D＝S△ABC﹣S△B1CD＝×8×6﹣×4×3＝24﹣6＝18(cm2)，
故答案为：18．
8、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，将向上平移4个单位长度得到，使点A、B、C分别对应点D、E、F，再将平移得到，使点D、E、F分别对应点M、N、P．
(1)分别画出两次平移后的三角形；
(2)顺次连接点C、F、N，请直接写出的面积为_____．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了作图﹣平移变换、三角形的面积．
（1）根据平移作图即可得，再向右平移5个单位，再向下平移1个单位，画出即可得；
（2）直接利用直角三角形的面积公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：分别画出两次平移后的和，如图所示．
（2）解：的面积为．
故答案为：6．
9、如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，得到.
(1)请在图中画出平移后的；
(2)若连接，则这两条线段的位置关系和大小关系分别是______ ；
(3)此次平移也可看作如何平移得到△ABC？
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)此次平移也可看作向右平移1格，再向下平移3格平移得到△ABC．
【分析】（1）直接利用平移要求得出平移对应点坐标即可；
（2）直接利用平移的性质得出两条线段的位置关系和大小关系；
（3）利用平移规律得出答案．
（1）
如图所示：，即为所求；
（2）
如图所示：；
故答案为：；
（3）
此次平移也可看作向右平移1格，再向下平移3格平移得到△ABC．
10、如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴ABCD（同位角相等，两条直线平行）．
11、如图，在中，，，将沿方向平移得到，且，．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的周长．
【答案】(1)8；(2)31
【分析】（1）根据平移的性质可以得到，然后可以算出AD的长；
(2) 根据平移的性质和已知条件得出四边形的各边边长，即可算出四边形的周长．
【详解】（1）∵沿方向平移得到，
∴．
∵，，
∴．
∴．
（2）∵沿方向平移得到，
∴，
．
∴四边形的周长．
12、如图，，平分，．
(1)与平行吗？请说明理由．
解：．理由如下：
∵（邻补角的定义），
（已知），
∴______（同角的补角相等）．
∴．
(2)与的位置关系如何？为什么？
∵平（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），即，
∴______（_________）
∴____________（_________）
【答案】(1)
(2)角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据同角的补角相等证得，再根据同位角相等，两直线平行证得结论即可；
（2）根据角平分线定义证得，再根据等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明结论即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵（邻补角的定义），
（已知），
∴（同角的补角相等）．
∴．
故答案为：；
（2）解：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
又∵（已知），即，
∴（等量代换）
∴（_________）
故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行．
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