第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1相交线
一、相交线
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线.
二、邻补角
1、定义：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角，如和是邻补角.
2、邻补角的性质：邻补角互补.
三、对顶角
1、定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角，如和是对顶角.
2、对顶角的性质：对顶角相等.
【题型一】邻补角的概念与性质
【例1.1】下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据邻补角的定义进行解答即可．
【详解】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意；
B．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故B不符合题意；
C．不是两条直线相交组成的角，故C不符合题意；
D．是邻补角，故D符合题意．
故选D．
【例1.2】如图，点A、O、B在一条直线上，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据已知条件，求得，再利用邻补角即可求出的度数；
（2）先根据已知条件，求得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
，
点A、O、B在一条直线上，
，
；
（2）解：，，
，
点A、O、B在一条直线上，
，
，
平分，
，
．
【题型二】对顶角的概念与性质
【例2.1】 下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
A． B．
C． D．
解析B、C、D中∠1与∠2不是对顶角，A中∠1与∠2互为对顶角，
故选：A．
【例2.2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE＝90°，OF平分∠BOC．
(1)若∠EOF＝30°，求∠BOD的度数；
(2)试问∠EOF和∠BOD有什么数量关系？请说明理由．
解析 (1)∵∠AOE＝90°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝90°，
∵∠EOF＝30°，∴∠FOB＝∠EOB﹣∠EOF＝60°，
∵OF平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠FOB＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝60°；
(2)∠BOD＝2∠EOF，
理由是：
设∠EOF＝x，
∵∠AOE＝90°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝90°，
∵∠EOF＝x，∴∠FOB＝∠EOB﹣∠EOF＝90°﹣x，
∵OF平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠FOB＝180°﹣2x，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣(180°﹣2x)＝2x，
∴∠BOD＝2∠EOF．
【题型三】邻补角与对顶角性质的综合运用
【例3.1】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝120°，则∠AOD＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
解析 ∵∠1+∠2＝120°，且∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝120°，故选：A．
【例3.2】如图，直线相交于点，平分，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由角平分线的定义可得，从而得到，再由平角的定义进行计算即可得到答案；
（2）由邻补角的定义可得，由角平分线的性质可得，由对顶角相等可得，从而即可得到的度数．
【详解】（1）解： 设，
平分，
（角平分线定义），
，
（平角定义），
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
又（对顶角相等），
．
1、如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】D
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【详解】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对，
故选：D．
2、下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，故选：D．
3、如图，，，点B，O，D在同一直线上，则的度数为（ ）
A．75° B．15° C．105° D．165°
【答案】C
【分析】本题考查的是互余的含义，互补的含义，邻补角的含义，先求解，再求解即可得到答案，熟记互余互补的含义是解本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
4、如图，AB、CD交于点O，OE是∠AOD的角平分线，∠COB=140°，则∠BOE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．110° D．130°
【答案】C
【分析】根据对顶角的性质，可以得到，进而得到的度数；由是的角平分线，可以得到的度数，从而求出的度数．
【详解】 ，
，
，
又 是的角平分线，
，
即．
故选：C．
5、如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据平分线的性质可知，利用邻补角的定义可直接求算度．
【详解】解：是直线上的点，平分，，
，
．
故答案为．
6、如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是 ．
【答案】120
【分析】根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解．
【详解】，与的度数之比为，
，
直线、相交于点，
，
，
，
故答案为：120．
7、如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 ．
答案 135°
解析 设∠1＝∠2＝x，
∵，∴，
∴∠BOC＝3x，
∵∠1+∠BOC＝180°，
∴x+3x＝180°，解得：x＝45°，
则∠BOC＝3x＝135°．
故答案为：135°．
8、如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
(1)图中∠BOD的邻补角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
(2)如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ ；
(3)试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
答案 (1) ∠AOD，∠BOE；(2) 65°，30°；(3) 90°．
解析 (1)如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，
∠AOE的邻补角为：∠BOE；
故答案为：∠AOD，∠BOE；
(2)∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝130°，∴∠BOE＝×130°＝65°，
∵∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC＝30°，
故答案为：65°，30°；
(3)由题意可得：
∠COD+∠BOE＝∠AOC+∠BOC＝ (∠AOC+∠BOC)＝90°．
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5.1.2垂线
一、垂线
1、直线，相交于点，且所成的角，则我们说与互相垂直，记作，它们的交点叫做垂足.垂直是相交的一种特殊情况，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
二、垂线段
1、垂线段的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
2、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型一】垂直的定义
【例1.1】如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义，由，得．由，根据角的和差关系得到．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
【例1.2】如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数，请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵于点O（已知），
∴__________（________）．
∵（已知）
∴__________．
∵直线，相交于点O（已知），
∴___________（__________）．
【答案】见解析
【分析】根据垂直的定义可得，根据角的和差关系可得，再根据对顶角的性质解答即可．
【详解】解：于点（已知），
（垂直的定义），
（已知），
．
直线，相交于点（已知），
（对顶角相等）．
【例1.3】如图， 是直线上一点，，平分
(1)求 的度数．
(2)试猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) 的度数为
(2)OD⊥AB，理由见解析
【分析】（1）设=x，根据题意得，再根据平角的定义进而求解即可；
（2）根据角平分线的定义即可得到解答．
【详解】（1）解：设=x，
∵，
∴，
∵直线，
∴x+3x=180°，
解得，
∴ 的度数为；
（2）解：OD⊥AB，理由如下，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB．
【题型二】垂线的画法
【例2.1】过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
解析 根据垂线段的定义，仅D选项符合要求．故选：D．
【例2.1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二、移动三角板另一直角边到已知点，
三、过已知点画垂线，
四、画垂直符合，
∴项符合题意，不符合题意；
故选．
【题型三】垂线的性质
【例3.1】如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( )
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
答案 C
解析 在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：C．
【题型四】垂线段的性质
【例4.1】如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
答案 D
解析 将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．故选：D．
【例4.2】直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P，若，，，那么点P到直线l的距离（ ）
A．等于2.5cm B．小于2.5cm
C．小于或等于2.5cm D．大于或等于2.5cm，而小于3cm
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【详解】解：∵PA=5cm，PB=3cm，PC=2.5cm，
∴P点到直线l的距离小于或等于2.5cm．
故选：C．
【题型五】点到直线的距离
【例5.1】下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【详解】解：由题意得PQ⊥MN，
P到MN的距离是PQ垂线段的长度，
故选：A．
【例5.2】（2023下·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，给出以下结论：①点B到AC的垂线段就是线段AB；②AB，AD，AC三条线段中，线段AD最短；③点A到BC的距离就是线段AD的长度；④点C和点B的距离就是线段CA的长度．其中正确结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据垂线段的定义，可判断①；根据垂线段的性质，可判断②；根据点到直线的距离，可判断③，根据两点间的距离，可判断④．
【详解】解：①点B到AC的垂线段就是线段AB，故①正确；
②AB、AD、AC三条线段中，线段AD最短，故②正确；
③点A到BC的距离就是线段AD的长度，故③正确；
④点C和点B的距离就是线段BC的长度，故④错误；
故选：B．
1、过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意；
B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
D．没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：B．
2、如图，，直线BD经过点O，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用垂直的含义求解 再利用邻补角的含义求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵直线BD经过点O，
∴
故选B．
3、如图，AC⊥BC，CP⊥AB，PQ⊥AC，垂足分别为C，P，Q，则图中能表示点到直线距离的线段有( )
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
解析 线段CQ的长表示C到直线PQ的距离，线段AQ的长表示A到直线PQ的距离，线段AC的长表示A到直线BC的距离，线段PC的长表示C到直线AB的距离，线段AP的长表示A到直线PC的距离，线段BP的长表示B到直线PC的距离，线段PQ的长表示P到直线AC的距离，线段BC的长表示B到直线AC的距离，∴图中能表示点到直线距离的线段有8条．
故选：D．
4、如图，直线，相交于点，下列条件：；；，其中能说明的有（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】B
【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．
【详解】解：，可以得出，故符合题意；
，，故符合题意，
，可以得出；
，不能得到，故不符合题意；
故能说明的有．
故选：B．
5、如图A点表示一个村庄，MN表示一条河道．某测绘队沿河道路线MN上的点P进行测量，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示：
∠APN度数(°) 52.3 69.3 90 93.5 105.8 117.8
AP长度(m) 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是( )
A．村庄A到河道距离等于550m B．村庄A到河道距离小于549m
C．村庄A到河道距离大于549m D．村庄A到河道距离等于549m
答案 D
解析 当∠APN＝90°时，A到河道的距离等于线段AP的长度．故选：D．
6、如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．
【详解】解：①线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故原说法正确；
②线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；
③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；
④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；
综上所述，正确的说法有①③；
故选：B．
7、如图，直线，相交于点，．平分，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据先求出∠BOE的度数，再结合对顶角的性质得到∠BOD的度数，继而求得∠DOE的度数，结合角平分线的定义及角的和差即可求得答案．
【详解】解：∵
∴∠BOE=90°，
∵∠BOD=∠AOC=46°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-46°=44°，
∵平分，
∴∠EOF=∠DOE=22°，
∴∠FOB=∠BOE-∠EOF=90°-22°=68°，
故选：A．
8、如图，点为直线上一点，过点作射线，使 ．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
当在直线的右侧时，如图，
∵，
∴，
∴．
当在直线的左侧时，如图，
∵，
∴，
∴．
故答案为：或．
9、按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．
(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；
(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；
(3)点O到直线PE的距离是线段_______的长；
(4)点P到直线CD的距离为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OP
(4)0
【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；
（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．
（1）解：如图，直线PE即为所求；
（2）解：如图，直线PF即为所求；
（3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．
故答案为：OP；
（4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，
故答案为：0．
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
一、同位角：
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
如图，和、和、和、和是同位角，两个角形合成图像如字母；
二、内错角：
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
如图，和、和是内错角，两个角形合成图像如字母；
三、同旁内角：
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角
如图，和、和是同旁内角，两个角合成图像形如字母.
【题型一】同位角
【例1.1】如图，∠1的同位角是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
答案 C
解析 观察图形，∠1的同位角是∠4，故选：C．
【例1.2】下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
【题型二】内错角
【例2.1】如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是( )
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
答案 C
解析 ∵直线b，c被直线a所截，∠1与∠2在直线b，c之间，且在直线a的两侧，
∴∠1与∠2是内错角．
故选：C．
【例2.2】下列图形中，∠1和∠2不是内错角的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角解答．
【详解】解：根据内错角的定义，C中的∠1和∠2不是内错角，
故选C．
【题型三】同旁内角
【例3.1】如图，与互为同旁内角的角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可．
【详解】解：根据题意得： 与互为同旁内角，与互为同旁内角．
故选：B
【例3.2】下列图形中，与是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同旁内角的定义去判断
【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，
∴选项A正确；
∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项B错误；
∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项C错误；
∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项D错误；
故选A．
【题型四】“三线八角”综合运用
【例4.1】如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠3和∠5是同位角 B．∠2和∠4是对顶角
C．∠2和∠5是内错角 D．∠4和∠5是同旁内角
【答案】C
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角和对顶角的定义，同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合图形进行判断即可．
【详解】A、∠3和∠5是同位角，原说法正确，故本选项错误；
B、∠2和∠4是对顶角，原说法正确，故本选项错误；
C、∠2和∠5不是内错角，原说法错误，故本选项正确；
D、∠4和∠5是同旁内角，原说法正确，故本选项错误；
故选C．
【例4.2】如图，图中内错角有 对，同旁内角有 对，同位角有 对．
【答案】 5 4 8
【例4.3】如图所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线 、 被直线 所截得的 角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线 、 被直线 所截得的 角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线 、 被直线 所截得的 角．
解析 (1)∠AED和∠ABC可看成是直线ED、BC被直线AB所截得的同位角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线ED、BC被直线BD所截得的内错角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线ED、BC被直线AC所截得的同旁内角．
故答案为：ED，BC，AB，同位；ED，BC，BD，内错；ED，BC，AC，同旁内．
1、如图直线AB，CD被EF所截，图中标注的角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠3 B．∠2与∠6 C．∠3与∠8 D．∠4与∠7
【答案】D
【分析】根据同位角的概念解答即可．
【详解】解：同位角是∠4与∠7，
故选：D．
2、如图所示，图中同旁内角的数量共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：直线、被射线所截，可以得到两对同旁内角，与，与；
直线、射线被直线所截，可以得到两对同旁内角，与，与；
直线、射线被直线所截，可以得到一对同旁内角，与；
因此共有5对同旁内角，
故选：C．
3、中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用对顶角、同旁内角、内错角的定义逐个判断即可．
【详解】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①正确；
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②正确；
∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③错误；
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④正确；
综上，正确的有①②④．
故选C．
4、如图，与是内错角的是 ．
【答案】
【分析】内错角在截线的两侧，在被截线的内侧．
【详解】如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3；
故答案是：∠2，∠3．
5、如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与 是同位角，∠4与 是内错角，∠4与 是同旁内角．
【答案】 ∠1， ∠2， ∠5、∠3
【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可.
【详解】解：如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与∠1是同位角，∠4与∠2是内错角，∠4与∠5、∠3是同旁内角．
故答案为∠1，∠2，∠5、∠3．
6、如图，(1)指出DC和AB被AC所截得的内错角；
(2)指出AD和BC被AE所截得的同位角；
(3)指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC与∠DAB各是什么关系的角，并指出各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．
【答案】(1)∠1和∠5；(2)∠DAB和∠9；(3)∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的；∠2与∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的；∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的
【分析】（1）根据内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的位置的角，可得答案；
（2）根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案；
（3）根据同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的位置的角，根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案．
【详解】(1) DC和AB被AC所截得的内错角是∠1和∠5；
(2) AD和BC被AE所截得的同位角是∠DAB和∠9；
(3)∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的；
∠2与∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的；
∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的.
1、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 A：图中是一条折线，不满足对顶角条件．不符合题意．
B：图中由两条直线产生∠1和∠2，满足对顶角条件．符合题意．
C：图中是两个折线，不满足对顶角条件．不符合题意．
D：图中两个角不是同一个顶点，不满足条件．不符合题意．
故选：B．
2、下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据垂线的定义判断即可．
【详解】解：根据垂线的定义可知选项B中，直线经过点P，，符合题意．
故选：B．
3、如图，要把供暖输水管道AB中的水引到居民小区M，点C，E，D都在AB上，且AB⊥MD，则沿线段( )铺设管道可使费用最低．
A．MC B．ME C．MD D．无法确定
答案 C
解析 根据垂线段的性质，沿线段DM铺设管道可使费用最低．故选：C．
4、如图，以下说法正确的是（ ）
A．和是同位角 B．和是同位角
C．和是内错角 D．和是同旁内角
【答案】D
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意；
B、和是同位角，故B不符合题意；
C、和是内错角，故C不符合题意；
D、和是同旁内角，故D符合题意；
故选：D．
5、如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，已知AB＝3，AC＝4，BC＝5，则图中点A到BC的距离是( )
A．5 B．4 C．3 D．
答案 D
解析 ∵AD⊥BC，∴点A到线段BC的距离是AD的长．
又∵BA⊥AC，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴
∴
∴点A到线段BC的距离是．
故选：D．
6、若的对顶角是，那么的邻补角的度数是 ．
【答案】
【分析】直接根据对顶角的性质得出的度数，再根据邻补角的定义求解即可．
【详解】∵的对顶角是，
∴，
∴的邻补角的度数是，
故答案为：．
7、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于 度．
答案 35
解析 ∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
∴∠AOC＝35°， ∴∠BOD＝35°，
故填35．
8、如图，直线、相交于，射线平分，，若，则 ； ．
【答案】 ．
【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义；直接利用角平分线的性质得出，可得，进而根据平角的定义即可得出进而利用垂直的定义得出的度数．
【详解】∵平分，且，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
故答案为：；．
9、如图，直线，相交于点，平分．
(1)的对顶角为 ，与的相邻的补角为 ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形确定即可；
（2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据对顶角、邻补角的定义可得：
∠AOC的对顶角为∠BOD，
∠AOC的邻补角为∠BOC或∠AOD．
故答案为：，或；
（2）∵OA平分，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角平分线定义和性质等知识，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的关键．
10、根据图形填空：
（1）若直线被直线所截，则和_____是同位角；
（2）若直线被直线所截，则和_____是内错角；
（3）和是直线被直线______所截构成的内错角；
（4）和是直线，______被直线所截构成的_____角．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位
【分析】（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；
（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解．
【详解】解：由图可得：
（1）若直线被直线所截，则和是同位角；
故答案为；
（2）若直线被直线所截，则和是内错角；
故答案为；
（3）和是直线被直线所截构成的内错角；
故答案为；
（4）和是直线，被直线所截构成的同位角；
故答案为，同位．
【点睛】本题主要考查内错角及同位角的概念，熟练掌握同位角及内错角的概念是解题的关键．
11、如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
(1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；
(2)过C点画OA的垂线，垂足为E；
(3)比较线段CE，OD，CD的大小(请直接写出结论)；
(4)请写出第(3)小题图中与∠AOB互余的角(不增添其它字母)．
答案 (1)略；(2) 略；(3) CE＜CD＜OD；(4) ∠OCE与∠ODC．
解析 (1)、(2)如图所示；
(3)∵CE⊥OA，∴CE＜CD．
∵△OACD中OD是斜边，CD是直角边，∴CD＜OD，
∴CE＜CD＜OD；
(4)∵CE⊥OA，∴∠AOB+∠OCE＝90°．
∵CD⊥OB，∴∠AOB+∠ODC＝90°，
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
12、如图，直线相交于点为射线，且平分．
(1)求的度数；
(2)请直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的意义以及对顶角的性质可求出答案；
（2）根据图形直观、对顶角相等得出答案．
【详解】（1）解：∵，
平分
又
（2）由对顶角相等可得
由角平分线的定义可得，
而
故图中相等的角有．
13、如图，直线与直线交点O，，平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式；
（1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解；
【详解】（1） ，
平分，
，
，
，
，
平分．
（2）平分，平分，
，
，
，
，
，
由（1）知
，
∴．第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1相交线
一、相交线
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线.
二、邻补角
1、定义：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角，如和是邻补角.
2、邻补角的性质：邻补角互补.
三、对顶角
1、定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角，如和是对顶角.
2、对顶角的性质：对顶角相等.
【题型一】邻补角的概念与性质
【例1.1】下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】如图，点A、O、B在一条直线上，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
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【题型二】对顶角的概念与性质
【例2.1】 下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
A． B． C． D．
【例2.2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE＝90°，OF平分∠BOC．
(1)若∠EOF＝30°，求∠BOD的度数；
(2)试问∠EOF和∠BOD有什么数量关系？请说明理由．
【题型三】邻补角与对顶角性质的综合运用
【例3.1】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝120°，则∠AOD＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【例3.2】如图，直线相交于点，平分，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
1、如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
2、下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是( )
A． B．
C． D．
3、如图，，，点B，O，D在同一直线上，则的度数为（ ）
A．75° B．15° C．105° D．165°
4、如图，AB、CD交于点O，OE是∠AOD的角平分线，∠COB=140°，则∠BOE的度数为（ ）
A．40° B．70° C．110° D．130°
5、如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ．
6、如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是 ．
7、如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 ．
8、如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
(1)图中∠BOD的邻补角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
(2)如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ ；
(3)试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
5.1.2垂线
一、垂线
1、直线，相交于点，且所成的角，则我们说与互相垂直，记作，它们的交点叫做垂足.垂直是相交的一种特殊情况，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
二、垂线段
1、垂线段的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
2、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型一】垂直的定义
【例1.1】如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数，请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵于点O（已知），
∴__________（________）．
∵（已知）
∴__________．
∵直线，相交于点O（已知），
∴___________（__________）．
【例1.3】如图， 是直线上一点，，平分 ．
(1)求 的度数．
(2)试猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【题型二】垂线的画法
【例2.1】过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是( )
A． B． C． D．
【例2.1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】垂线的性质
【例3.1】如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是( )
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
【题型四】垂线段的性质
【例4.1】如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【例4.2】直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P，若，，，那么点P到直线l的距离（ ）
A．等于2.5cm B．小于2.5cm
C．小于或等于2.5cm D．大于或等于2.5cm，而小于3cm
【题型五】点到直线的距离
【例5.1】下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【例5.2】（2023下·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，给出以下结论：①点B到AC的垂线段就是线段AB；②AB，AD，AC三条线段中，线段AD最短；③点A到BC的距离就是线段AD的长度；④点C和点B的距离就是线段CA的长度．其中正确结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1、过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，，直线BD经过点O，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3、如图，AC⊥BC，CP⊥AB，PQ⊥AC，垂足分别为C，P，Q，则图中能表示点到直线距离的线段有( )
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
4、如图，直线，相交于点，下列条件：；；，其中能说明的有（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
5、如图A点表示一个村庄，MN表示一条河道．某测绘队沿河道路线MN上的点P进行测量，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示：
∠APN度数(°) 52.3 69.3 90 93.5 105.8 117.8
AP长度(m) 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是( )
A．村庄A到河道距离等于550m B．村庄A到河道距离小于549m
C．村庄A到河道距离大于549m D．村庄A到河道距离等于549m
6、如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、如图，直线，相交于点，．平分，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，点为直线上一点，过点作射线，使 ．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．
9、按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．
(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；
(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；
(3)点O到直线PE的距离是线段_______的长；
(4)点P到直线CD的距离为______．
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
一、同位角：
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
如图，和、和、和、和是同位角，两个角形合成图像如字母；
二、内错角：
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
如图，和、和是内错角，两个角形合成图像如字母；
三、同旁内角：
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角
如图，和、和是同旁内角，两个角合成图像形如字母.
【题型一】同位角
【例1.1】如图，∠1的同位角是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【例1.2】下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【题型二】内错角
【例2.1】如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是( )
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【例2.2】下列图形中，∠1和∠2不是内错角的是( )
A． B． C． D．
【题型三】同旁内角
【例3.1】如图，与互为同旁内角的角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【例3.2】下列图形中，与是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】“三线八角”综合运用
【例4.1】如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠3和∠5是同位角 B．∠2和∠4是对顶角
C．∠2和∠5是内错角 D．∠4和∠5是同旁内角
【例4.2】如图，图中内错角有 对，同旁内角有 对，同位角有 对．
【例4.3】如图所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线 、 被直线 所截得的 角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线 、 被直线 所截得的 角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线 、 被直线 所截得的 角．
1、如图直线AB，CD被EF所截，图中标注的角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠3 B．∠2与∠6 C．∠3与∠8 D．∠4与∠7
2、如图所示，图中同旁内角的数量共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3、中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4、如图，与是内错角的是 ．
5、如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与 是同位角，∠4与 是内错角，∠4与 是同旁内角．
6、如图，(1)指出DC和AB被AC所截得的内错角；
(2)指出AD和BC被AE所截得的同位角；
(3)指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC与∠DAB各是什么关系的角，并指出各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．
1、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A． B．
C． D．
2、下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、如图，要把供暖输水管道AB中的水引到居民小区M，点C，E，D都在AB上，且AB⊥MD，则沿线段( )铺设管道可使费用最低．
A．MC B．ME C．MD D．无法确定
4、如图，以下说法正确的是（ ）
A．和是同位角 B．和是同位角
C．和是内错角 D．和是同旁内角
5、如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，已知AB＝3，AC＝4，BC＝5，则图中点A到BC的距离是( )
A．5 B．4 C．3 D．
6、若的对顶角是，那么的邻补角的度数是 ．
7、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于 度．
8、如图，直线、相交于，射线平分，，若，则 ； ．
9、如图，直线，相交于点，平分．
(1)的对顶角为 ，与的相邻的补角为 ；
(2)若，求的度数．
10、根据图形填空：
（1）若直线被直线所截，则和_____是同位角；
（2）若直线被直线所截，则和_____是内错角；
（3）和是直线被直线______所截构成的内错角；
（4）和是直线，______被直线所截构成的_____角．
11、如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
(1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；
(2)过C点画OA的垂线，垂足为E；
(3)比较线段CE，OD，CD的大小(请直接写出结论)；
(4)请写出第(3)小题图中与∠AOB互余的角(不增添其它字母)．
12、如图，直线相交于点为射线，且平分．
(1)求的度数；
(2)请直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
13、如图，直线与直线交点O，，平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．
