第五章 相交线与平行线
5.2 平行线及其判定
5.2.1平行线
一、平行线
1、平行线的定义
（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行,记作
【注意】：两条线段平行、两条射线平行，实际是指线段、射线所在的直线平行.
（2）在同一平面内，不重合两条直线只有两种位置关系：相交和平行．
在同一平面内两直线不相交时，它们一定平行；反之，在同一平面内两直线平行时，它们一定不相交
【判断方法】判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）．
2、平行线的画法：
一“落”：把三角板的一边落在已知直线上，
二“靠”：把直尺紧靠三角板的另一边，
三“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点，
四“画”：沿三角板过已知点的边画直线．
3、平行公理及其推论
（1）平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说，如果，，那么。
【题型一】平行线的定义及平面内两直线的位置关系
【例1.1】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
答案 C
解析 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
【例1.2】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是( )个．
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
解析 当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线互相不平行时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选：D．
【题型二】平行线的画法
【例2.1】如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上．
(1)过点C画的垂线交于点M；
(2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接；
(3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点O到直线的距离是图中线段的长度
【分析】（1）利用网格特点取格点N，作直线交于点M；
（2）作直线即为所求，再连接即可；
（3）根据点到直线的距离的概念即可作出判断．
【详解】（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
（3）点O到直线的距离是图中线段的长度．
【例2.2】根据下列语句，利用所给画出图形．
(1)过的顶点C，画直线；
(2)过的顶点B，画直线，D为垂足．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用三角板作出平行线即可．
（2）依题意利用直角三角板过点B画的垂线段即可．
【详解】（1）如图所示：直线即为所画
（2）如图所示：线段即为所画
【题型三】平行公理及其推论
【例3.1】如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平行于EF.理由 .
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【分析】利用经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【详解】因为直线AB、CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平于EF（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）．
故答案为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【例3.2】下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
解析 先根据要求画出图形，图形如图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
1、1、下列说法中，正确的个数为( )
(1)过一点有无数条直线与已知直线平行
(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c
(3)如果两线段不相交，那么它们就平行
(4)如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 A
解析 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(2)根据平行公理的推论，正确；
(3)线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
(4)应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，故选A．
2、如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【分析】根据平行线的定义，可直接得结论．
【详解】解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条，
所以作已知直线m的平行线，可作无数条．
故选：D．
3、a、b、c是直线，下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c
答案 D
解析 A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；
D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意．
故选：D．
5、如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 ．
答案 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
解析 已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
5、观察“工”、“晶”、“土”等汉字，我们能找到直线与直线的哪些位置关系？答： ，请你再举三个这样的汉字： ．
【答案】 垂直和平行 “田”、“干“、“甘”等
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，其中垂直是相交的一种特殊情况．根据平行和垂直定义解答，(1)平行:在平面上两条直线没有任何公共点时,称它们平行;(2)垂直:两条相交直线所成的角中有一个直角,则称这两条直线垂直.
【详解】解：中国汉字的主要特征是是“方块字”，基本笔画以平行和垂直为主，根据定义可知，我们能找到直线与直线的位置关系有垂直和平行，还有类似的字还有：“口”“田”、“干“、“甘”等.
故答案为 (1). 垂直和平行 (2). “田”、“干“、“甘”等
6、已知a，b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a，b的位置关系.
（1）若它们没有交点，则 ；
（2）若它们都平行于直线c，则 ；
（3）若它们有且仅有一个公共点，则 ；
（4）若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则 .
【答案】 a∥b； 2a∥b； a与b相交； a与b相交.
【分析】(1)由平行线的定义求解；
(2)根据平行线公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；
(3)根据相交线的定义求解；
(4)根据平行线、相交线的定义求解.
【详解】（1）同一平面内的两条直线ab，如果它们没有公共点，则a∥b；
（2）同一平面内的两条直线ab，如果它们都平行于第三条直线，则a∥b；
（3）同一平面内的两条直线ab，如果它们有且只有一个公共点，则a和b相交；
（4）在同一平面内，若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则a与b相交.
7、作图题：(只保留作图痕迹)如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线．
答案 如图，
(1)A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；
(2)在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；
(3)取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．
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5.2.1平行线
一、平行线的判定方法
判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（同位角相等，两直线平行）；
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（内错角相等，两直线平行）
判定3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）.
【强调】证明平行的前提一定是先确定角的位置关系，必须在同位角、内错角、同旁内角的前提下，
角等或者互补才是有效的.
判定4：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
数学语言：; .
【题型一】同位角相等，两直线平行
【例1.1】如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故选：C．
【例1.2】如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
【答案】 a b b c
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行直接作答即可；
（2）根据邻补角互补先求出∠4，再根据同位角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，
∴∠1=∠2，
∴，
故答案为：a，b；
（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，
∴∠4=68°，
∵∠2=68°，
∴∠2=∠4，
∴，
故答案为：b，c．
【例1.3】请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：
如图，，与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
∵（已知），∴________°
即________°（ ）
又∵（ ），
且（已知）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行
【分析】先根据垂直的定义和等角的补角相等得出，再根据平行线的判定求解即可．
【详解】解：．理由如下：
∵（已知），∴，
即（等量代换）
又∵（已知），
且（已知）
∴（等角的补角相等）
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行．
【题型二】内错角相等，两直线平行
【例2.1】如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行．
【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
【详解】解：∵两个三角尺是完全相同的，
∴，
与是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定，因此可以画出两条互相平行的直线．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【例2.2】如图所示，平分，．
填空：
平分 ，
．
又 ，
．
∥ ．
【答案】 ∠3 ∠3
【分析】先证明，再证明，可得．
【详解】解： 平分 ，
．
又 ，
．
．
故答案为：，，．
【例2.3】如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行
【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．
【详解】解：（已知），
（平角的定义），
（同角的补角相等）．
平分，
（角平分线的定义）．
平分，
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【题型三】同旁内角互补，两直线平行
【例3.1】如图，直线a、b被c所截，，当 °时，
【答案】50
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行求解即可．
【详解】解： 由题意得∠1与∠2是同旁内角，
∴当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=130°，
∴当∠2=50°时，
故答案为：50．
【例3.2】如图，，，点，，在同一直线上．
(1)等于多少度？
(2)若，与平行吗？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）由得，已知，，根据计算即可；
（2）由（1）得：，结合，得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明与平行．
【详解】（1），
，
又，，
，
故等于度．
（2），
由（1）得：，
，
与平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【题型四】平行线判定综合运用
【例4.1】如图，点E，F分别在直线AB，CD上，连接CE，EF，BF，下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，④∠CEF＝∠BFE．其中能判断AB∥CD的是( )
A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
解析 ∵∠AEC＝∠C，∴AB∥CD，故①符合题意；
∵∠C＝∠BFD，∴CE∥BF，故②不符合题意；
∵∠BEC+∠C＝180°，∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠CEF＝∠BFE，∴CE∥BF，故④不符合题意．
故选：B．
【例4.2】如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：．
【例4.3】如图，在下列选项中，不能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【详解】解：A、，∴，故此选项不符合题意；
B、，∴，故此选项不符合题意；
C、，∴，故此选项不符合题意；
D、，∴，不能得到，故此选项符合题意；
故选：D．
1、如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠B＝∠DCE
答案 B
解析 A、∠1＝∠2，则AB∥CD，故A选项不合题意．
B、∠3＝∠4，则AD∥BC，故B选项符合题意．
C、∠B＝∠D，则不可判断AB∥CD，故C选项不符合题意．
D、∠B＝∠DCE，则AB∥CD，故D选项不符合题意．
故选：B．
2、如图，下列条件中，不能判定AD∥BC的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠BAD+∠ADC＝180°
C．∠3＝∠4 D．∠ADC+∠DCB＝180°
答案 B
解析 A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，故选项不符合题意；
B、∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥DC(同旁内角互补，两直线平行)，故选项符合题意；
C、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，故选项不符合题意；
D、∵∠ADC+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，(同旁内角互补，两直线平行)，故选项不符合题意．
故选：B．
3、如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意；
当时，由内错角相等，两直线平行得，故B符合题意；
当时，由同位角相等，两直线平行得，故C不符合题意；
当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故D不符合题意；
故选：B．
4、如图，工人师傅移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行．
5、如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字．
【答案】/
【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】解：需要添加的条件是，
∵，
∴，
故答案为：．
6、已知：如图，直线与被所截，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，结合，可得，从而可得结论．
【详解】解：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）．
7、如图，，分别是的角平分线，，求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，结合题意可得，最后根据平行线的判定定理得到．
【详解】证明：∵分别是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
8、如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可．
【详解】因为，，
所以＝＝．
又因为＝（已知），
所以＝（等量减等量，差相等），
即＝．
所以（同位角相等，两直线平行）．
9、已知：如图，CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD
证明∵CE平分∠ACD( )
∴∠ 2 ＝∠ ECD ( )
∵∠1＝∠2(已知)；
∴∠1＝∠ ( )
∴AB∥CD( )
解析 证明：∵CE平分∠ACD(已知)，
∴∠2＝∠ECD( 角平分线定义)，
∵∠1＝∠2(已知)；
∴∠1＝∠ECD( 等量代换)，
∴AB∥CD( 内错角相等，两直线平行)
10、如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
证明：因为∠BAG+∠AGD＝180°( )，
∠AGC+∠AGD＝180°( )，
所以∠BAG＝∠AGC( )，
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG( )，
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2(等量代换)．
所以 ( )．
答案 已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
解析 ∵∠BAG+∠AGD＝180°(已知)，
∠AGC+∠AGD＝180°(平角的定义)，
∴∠BAG＝∠AGC(同角的补角相等)．
∵EA平分∠BAG，
∴∠1＝∠BAG(角平分线的定义)．
∵FG平分∠AGC，
∴∠2＝∠AGC，
∴∠1＝∠2(等量代换)，
∴AE∥GF(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
11、已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°．证明：AB∥EF，DE∥BC．
解析 证明：∵∠1＝72°，∠2＝72°(已知)，
∴∠1＝∠2(等量代换)，
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∵∠3＝108°(已知)，∠3+∠DGB＝180°(邻补角定义)，
∴∠DGB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠DGB＝∠2(等量代换)．
∴AB∥EF(同位角相等，两直线平行)．
∴AB∥EF，DE∥BC．
1、下列说法正确的是( )
A．同一平面内没有公共点的两条直线平行
B．两条不相交的直线一定是平行线
C．同一平面内没有公共点的两条线段平行
D．同一平面内没有公共点的两条射线平行
答案 A
解析 A、平行线的定义：同一平面内没有公共点的两条直线平行，故本选项正确；
B、在同一个平面内，两条不相交的直线是平行或重合，故本选项错误；
C、同一平面内没有公共点的两条线段不一定平行，故本选项错误；
D、同一平面内没有公共点的两条射线不一定平行，故本选项错误．
故选：A．
2、三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
答案 B
解析 ∵三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，∴a∥c，故选：B．
3、同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为( )
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．没有确定关系
答案 B
解析 如图，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，
又∵b⊥d，∴c∥d．
故选：B．
4、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是( )
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠DCA＝180°
答案 B
解析 A、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠DCA＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
5、如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是( )
A．AB∥CD B．AC⊥CD C．∠D＝60° D．AD∥BC
答案 D
解析 A、因为AB⊥AC，只有CD⊥AC时，AB∥CD，但CD和AC不一定垂直，因此AB和CD不一定平行，故A不符合题意；
B、由条件得不到∠ACD＝90°，因此AC和CD不一定垂直，故B不符合题意；
C、只有AC⊥CD时，由∠1＝30°，得到∠D＝60°，但AC和CD不一定垂直，故C不符合题意；
D、由∠B＝60°，AB⊥AC，得到∠ACB＝30°，因此∠1＝∠ACB，判定AD∥BC，故D符合题意．
故选：D．
6、如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定即可求解．
【详解】解：可以写一个条件：；理由如下：
，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案是：，内错角相等，两直线平行．
7、三个完全相同的含角的三角板如图摆放，可以判断与平行的理由是 ．
【答案】，内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理求解．
【详解】解：由题意知，
由内错角相等，两直线平行，可判断与平行．
故答案为：，内错角相等，两直线平行．
8、如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
答案 35°
解析 ∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
9、如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论．
【详解】∵平分，，
∴．
又，
∴．
∴．
10、如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
证明：因为（ ），
（ ），
所以（ ），
因为平分，
所以（ ），
因为平分，
所以（ ），
得（等量代换）
所以 （ ）．
【答案】已知；邻补角定义；同角的补角相等；角平分线的定义；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行
【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，
，从而得，即可判定．
【详解】．证明：∵（已知），
（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等），
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∵平分，
∴（角平分线的定义），
得（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角定义；同角的补角相等；角平分线的定义；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定，同角的补角相等，角平分线的定义．解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．
11、如图，直线、被所截，于H，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查平行线的判定定理，根据题中角度求出，，即可得到结论，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
12、如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2：∠3=2：5．
（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．
答案 （1）140°； （2）略
解析 （1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠COE=∠3，∴，
∴，
∵∠2：∠3=2：5，∴，
∴，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°，
∴∠BOF=∠2+∠3=140°；
（2）∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．第五章 相交线与平行线
5.2 平行线及其判定
5.2.1平行线
一、平行线
1、平行线的定义
（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行,记作
【注意】：两条线段平行、两条射线平行，实际是指线段、射线所在的直线平行.
（2）在同一平面内，不重合两条直线只有两种位置关系：相交和平行．
在同一平面内两直线不相交时，它们一定平行；反之，在同一平面内两直线平行时，它们一定不相交
【判断方法】判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）．
2、平行线的画法：
一“落”：把三角板的一边落在已知直线上，
二“靠”：把直尺紧靠三角板的另一边，
三“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点，
四“画”：沿三角板过已知点的边画直线．
3、平行公理及其推论
（1）平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说，如果，，那么。
【题型一】平行线的定义及平面内两直线的位置关系
【例1.1】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
【例1.2】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是( )个．
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【题型二】平行线的画法
【例2.1】如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上．
(1)过点C画的垂线交于点M；
(2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接；
(3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？
【例2.2】根据下列语句，利用所给画出图形．
(1)过的顶点C，画直线；
(2)过的顶点B，画直线，D为垂足．
【题型三】平行公理及其推论
【例3.1】如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平行于EF.理由 .
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【例3.2】下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
1、1、下列说法中，正确的个数为( )
(1)过一点有无数条直线与已知直线平行
(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c
(3)如果两线段不相交，那么它们就平行
(4)如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3、a、b、c是直线，下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c
5、如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 ．
5、观察“工”、“晶”、“土”等汉字，我们能找到直线与直线的哪些位置关系？答： ，请你再举三个这样的汉字： ．
6、已知a，b是在同一个平面内的两条直线，根据以下的条件写出a，b的位置关系.
（1）若它们没有交点，则 ；
（2）若它们都平行于直线c，则 ；
（3）若它们有且仅有一个公共点，则 ；
（4）若a∥c，b∥d，且c不平行于d，则 .
7、作图题：(只保留作图痕迹)如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线．
5.2.1平行线
一、平行线的判定方法
判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（同位角相等，两直线平行）；
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（内错角相等，两直线平行）
判定3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）；
数学语言：∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）.
【强调】证明平行的前提一定是先确定角的位置关系，必须在同位角、内错角、同旁内角的前提下，
角等或者互补才是有效的.
判定4：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
数学语言：; .
【题型一】同位角相等，两直线平行
【例1.1】如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【例1.2】如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
【例1.3】请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：
如图，，与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
∵（已知），∴________°
即________°（ ）
又∵（ ），
且（已知）
∴（ ）
∴（ ）
【题型二】内错角相等，两直线平行
【例2.1】如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 ．
【例2.2】如图所示，平分，．
填空：
平分 ，
．
又 ，
．
∥ ．
【例2.3】如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【题型三】同旁内角互补，两直线平行
【例3.1】如图，直线a、b被c所截，，当 °时，
【例3.2】如图，，，点，，在同一直线上．
(1)等于多少度？
(2)若，与平行吗？证明你的结论．
【题型四】平行线判定综合运用
【例4.1】如图，点E，F分别在直线AB，CD上，连接CE，EF，BF，下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，④∠CEF＝∠BFE．其中能判断AB∥CD的是( )
A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
【例4.2】如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C． D．
【例4.3】如图，在下列选项中，不能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
1、如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠B＝∠DCE
2、如图，下列条件中，不能判定AD∥BC的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠BAD+∠ADC＝180°
C．∠3＝∠4 D．∠ADC+∠DCB＝180°
3、如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，工人师傅移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是 ．
5、如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字．
6、已知：如图，直线与被所截，．求证：．
7、如图，，分别是的角平分线，，求证：．
8、如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
9、已知：如图，CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD
证明∵CE平分∠ACD( )
∴∠ 2 ＝∠ ECD ( )
∵∠1＝∠2(已知)；
∴∠1＝∠ ( )
∴AB∥CD( )
10、如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
证明：因为∠BAG+∠AGD＝180°( )，
∠AGC+∠AGD＝180°( )，
所以∠BAG＝∠AGC( )，
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG( )，
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2(等量代换)．
所以 ( )．
11、已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°．证明：AB∥EF，DE∥BC．
1、下列说法正确的是( )
A．同一平面内没有公共点的两条直线平行
B．两条不相交的直线一定是平行线
C．同一平面内没有公共点的两条线段平行
D．同一平面内没有公共点的两条射线平行
2、三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
3、同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为( )
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．没有确定关系
4、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是( )
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠DCA＝180°
5、如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是( )
A．AB∥CD B．AC⊥CD C．∠D＝60° D．AD∥BC
6、如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
7、三个完全相同的含角的三角板如图摆放，可以判断与平行的理由是 ．
8、如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
9、如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．
10、如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
证明：因为（ ），
（ ），
所以（ ），
因为平分，
所以（ ），
因为平分，
所以（ ），
得（等量代换）
所以 （ ）．
11、如图，直线、被所截，于H，，，求证：．
12、如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2：∠3=2：5．
（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．
