2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；② {0}；③π∈Q；④{0，1，2}＝{2，0，1}；⑤0∈ ，正确个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（5分）已知a，b∈R，则“”是“a＜b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知tanθ＝﹣2，则（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
4．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且f（3）＝2，则f（4）+f（2021）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
5．（5分）已知f（1）＝x﹣2，则f（）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．（5分）实数lg4+2lg5的值为（　　）
A．21 B．24 C．28 D．29
7．（5分）若正实数a，b，c满足，则（　　）
A．ca＞ba B．logca＜logba
C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣1
8．（5分）已知扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的圆心角为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知命题p： x∈R，x2+2x+2﹣a＝0为真命题，则实数a的取值可以是（　　）
A．1 B．0 C．3 D．﹣3
（多选）10．（5分）下列命题中是真命题的有（　　）
A．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．若b＜a＜0，c＜0，则
D．若a＞0，b＞c＞0，则
（多选）11．（5分）下列各组函数中是同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x与g（t）＝t2+2t
B．与g（x）＝x
C．与
D．与
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（φ）的图象关于直线x对称，则（　　）
A．函数f（x）为奇函数
B．函数f（x）在[，]上单调递增
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数y＝sin（x+φ）的图象
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2+ax+1＝0}，B＝{x∈R|x2+2x﹣a+3＝0}，若A＝B，则实数a的取值范围是　 　．
14．（5分）若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是　 　．
15．（5分）已知tanx，则tan（x）的值为 　 　．
16．（5分）已知函数满足对任意x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，那么实数a的取值范围是 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知角α是第三象限角，角α的终边在直线上．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知集合．
（Ⅰ）求A∩B，（ RA）∪B；
（Ⅱ）若A∪C＝C，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，而且f（1）＝﹣1，若m、n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有．
（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上为减函数；
（2）解不等式：f（x﹣1）+f（x2﹣1）＜0；
（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝|x|1．
（1）当m＝2时，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；
（2）讨论函数y＝f（x）的零点个数．
21．（12分）求函数y的值域．
22．（12分）某教育网站本月的用户为500人．网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？
2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：对于①：是集合与集合的关系，应该是{0} {0，1，2}，故①不对；
对于②：空集是任何集合的子集， {0}，故②对；
对于③：π是无理数，故③不对；
对于④：根据集合的无序性可知{0，1，2}＝{2，0，1}，故④对：
对于⑤： 是空集，表示没有任何元素，应该是0 ，故⑤不对：
正确的是：②④．
故选：B．
2．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但不成立．
当a＝1，b＝﹣1时，满足，但a＜b不成立．
“”是“a＜b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．【解答】解：因为tanθ＝﹣2，
所以2．
故选：A．
4．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；
又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，
则f（4）＝f（0）＝0，f（2021）＝f（﹣3+506×4）＝f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣2，
故f（4）+f（2021）＝0﹣2＝﹣2；
故选：D．
5．【解答】解：令1，
则1，x＝3+2，
故f（）＝3+22（1）＝1，
故选：B．
6．【解答】解：lg4+2lg5＝33+lg4+lg25＝27+lg100＝27+2＝29，
故选：D．
7．【解答】解：∵，即3a＝4，∴a＞1，
∵，∴0.4＜b＜1，
∵，∴，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，
∴ca＜ba，logca＞logba，logab＜0＜logbc，
∴A，B，C项错误；
∵a﹣1＞0，c﹣1＜0，∴0＜ca﹣1＜1＜bc﹣1，D项正确．
故选：D．
8．【解答】解：此扇形的圆心角的弧度数为2，
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：若P： x∈R，x2+2x+2﹣a＝0为真命题，
则判别式△≥0，即4﹣4（2﹣a）≥0，
解得a≥1，
故选：AC．
10．【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，
∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，故A为真命题，
对于B，∵a＞b，c＞d，
∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，故B为真命题，
对于C，∵b＜a＜0，
∴0，即，故C为假命题，
对于D，∵a＞0，b＞c＞0，
∴，即，故D为真命题．
故选：ABD．
11．【解答】解：A：函数f（x）与g（t）的定义域都为R，对应关系也相同，是同一函数；
B：f（x）的定义域{x|x≠1}与g（x）的定义域R不相同，不是同一函数；
C：f（x）与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
D：f（x）的定义域[1，+∞）与g（x）的定义域[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]定义域不同，不是同一函数．
故选：AC．
12．【解答】解：因为函数f（x）＝sin（3x+φ）（φ）的图象关于直线x对称，
所以f（）＝sin（φ）＝±1，即φ＝kπ（k∈Z），整理得：φ＝kπ（k∈Z），
又φ，得φ，
故f（x）＝sin（3x）；
对于A，函数f（x）＝sin（3x）＝sin3x，为奇函数，故A正确；
对于B，由于x，因此0≤3x，函数f（x）在该区间上单调递增，故B正确；
对于C，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为 ，故C错误；
对于D，将函数f（x）＝sin（3x）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数y＝sin（9x）的图象，故D错误；
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：∵集合A＝{x∈R|x2+ax+1＝0}，B＝{x∈R|x2+2x﹣a+3＝0}，A＝B，
∴当集合A中含有两个元素x1，x2时，
，解得a＝2，
此时，A＝B＝{﹣1}，
当A＝B＝ 时，，
解得﹣2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故答案为：（﹣2，2]．
14．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；
故x的取值范围为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）；
15．【解答】解：tan（x）3．
故答案为：3．
16．【解答】解：由已知可得函数f（x）在R上为单调递增函数，
则需满足，解得2≤a＜5，
所以实数a的取值范围为[2，5），
故答案为：[2，5）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）因为角α是第三象限角，角α的终边在直线上，
可得点（﹣2，﹣1）在角α的终边上，
所以sinα，cosα；
（2）由（1）可得tanα，
所以3．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣x﹣2≤0，
∴（x+1）（x﹣2）≤0，
∴﹣1≤x≤2，
∴A＝[﹣1，2]，
∴ RA＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
∵4，
∴﹣2＜x＜1，
∴B＝（﹣2，1），
∴A∩B＝[﹣1，1），（ RA）∪B＝（﹣∞，1）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）A∪C＝C，
∴A C，
∵C＝{x|x≥m}＝[m，+∞），
∴m≤﹣1
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
19．【解答】解：（1）证明：因为函数为奇函数且m、n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有0，所以0，
设﹣1≤m＜n≤1，则有：
当m＜﹣n时，m﹣（﹣n）＜0，则有f（m）﹣f（﹣n）＞0 f（m）＞f（﹣n） f（x）为减函数；
当m＞﹣n时，m﹣（﹣n）＞0，则有f（m）﹣f（﹣n）＜0 f（m）＜f（﹣n） f（x）为减函数；
综上所述，f（x）在[﹣1，1]上为减函数；
（2）因为f（x）在[﹣1，1]上为减函数，
又因为f（x﹣1）+f（x2﹣1）＜0 f（x2﹣1）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），
所以有： ，解得：1＜x，
所以原不等式的解集为：{x|1＜x}；
（3）因为f（x）是[﹣1，1]上奇函数且单调递减，f（1）＝﹣1，
所以f（﹣1）＝1，即f（x）max＝f（﹣1）＝1，
又因为f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
所以t2﹣2at+1≥1 对于所有的a∈[﹣1，1]恒成立，t2﹣2at≥0 对于所有的a∈[﹣1，1]恒成立，
令g（a）＝t2﹣2at，
当t＝0时，显然满足t2﹣2at≥0；
当t＞0时，g（a）＝t2﹣2at在a∈[﹣1，1]上单调递减，所以只需g（1）＝t2﹣2t≥0 t≤0或t≥2 t≥2；
当t＜0时，g（a）＝t2﹣2at在a∈[﹣1，1]上单调递增，所以只需g（﹣1）＝t2+2t≥0 t≤﹣2或t≥0 t≤﹣2
综上所得≤﹣2或t≥2或t＝0，
所以t的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
20．【解答】解：（1）当m＝2，x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x1，此时f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
证明：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣x11﹣（﹣x21），
∵x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
（2）令f（x）＝|x|1＝0，即m＝x﹣x|x|的根的个数，
令g（x）＝x﹣x|x|，作出函数g（x）的图象，如图所示：
由图象得当m或m或m＝0时，直线y＝m与g（x）有两个交点；
当m或m时，直线y＝m与g（x）只有一个交点；
当m＜0或0＜m时，直线y＝m与g（x）有三个交点，
综上所述，当m∈{，，0}时，f（x）有2个零点；
当m∈（﹣∞，）∪（，+∞）时，f（x）有1个零点；
当m∈（，0）∪（0，）时，f（x）有3个零点．
21．【解答】解：∵tan2x+tanx+1，
∴y∈（0，]．
22．【解答】解：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}，
则首项a1＝500，公比q＝1+10%＝1.1，
则由，可得，1.1n﹣1＝20，
则n＝log1，120+1≈32.4，所以大约经过33个月可使用户达到1万人．
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