2023-2024学年湖北省恩施土家族苗族自治州利川市高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省恩施土家族苗族自治州利川市高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知非空集合A {x∈N|x2﹣x﹣2＜0}，则满足条件的集合A的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）已知函数则（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
3．（5分）用二分法判断方程2x3+3x﹣3＝0在区间（0，1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414）（　　）
A．0.25 B．0.375 C．0.635 D．0.825
4．（5分）我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用瓦/米2（W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，L1≥0，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，10﹣7） B．[10﹣12，10﹣5）
C．[10﹣12，10﹣7） D．（﹣∞，10﹣5）
5．（5分）已知函数f（x）＝lg（﹣x2+3x﹣2），则函数f（2x﹣1）的定义域为（　　）
A． B．（1，3）
C．（1，2） D．
6．（5分）函数的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）设a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．|a|＞|b| B． C．a2＞b2 D．2a＞2b
8．（5分）已知函数f（x），则方程f（x）﹣2|x|＝0的解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．如果α是第一象限的角，则﹣α是第四象限的角
B．43°角与﹣317°角终边重合
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
D．若α是第二象限角，则点P（sinα，cosα）在第四象限
（多选）10．（5分）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（　　）
A．2kπ+45°（k∈Z） B．k 360°（k∈Z）
C．k 360°﹣315°（k∈Z） D．2kπ（k∈Z）
（多选）11．（5分）下列叙述中正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2+1＝0”的否定是“ x∈R，x2+1≠0”
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要条件
C．已知a∈R，则是a＜b＜0的必要不充分条件
D．若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]
（多选）12．（5分）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值可以是（　　）
A．9 B．5 C．6 D．3
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）命题p： x0∈（0，+∞），x02≤x0+2，则￢p是　 　．
14．（5分）将化成有理数指数幂的形式为 　 　．
15．（5分）函数f（x）＝x+2x﹣7的零点所在区间（n，n+1），n∈Z，则n＝　 　．
16．（5分）若，则x2+x﹣2＝　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）已知a≤2，化简：；
（2）求值：．
18．（12分）已知一个扇形的周长是16，面积是12．求其圆心角的大小．
19．（12分）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知f（x）＝x2+2ax，a∈R．
（1）当a＝﹣1时求f（2x）的最小值及相应的x值；
（2）若f（2x）在区间[0，1]上是增函数，求a的取值范围．
21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 9.25
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．
（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？
22．（12分）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数且为增函数，f（1）＝1．
求（1）f（0）的值；
（2）解不等式f（x）＜f（1﹣x）；
（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
2023-2024学年湖北省恩施土家族苗族自治州利川市高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：{x∈N|x2﹣x﹣2＜0}＝{x∈N|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，
又非空集合A {x∈N|x2﹣x﹣2＜0}，
又{0，1}的子集个数为22＝4个，
∴满足条件的集合A的个数是3．
故选：C．
2．【解答】解：∵∴f（）＝log31；
∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝3．
故选：A．
3．【解答】解：设f（x）＝2x3+3x﹣3，
∴f（0）＝﹣3＜0，f（1）＝2+3﹣3＝2＞0，
∵f（0.5）＝2×0.53+3×0.5﹣3＜0，
∴f（x） 在（0，0.5）内有零点，
∵f（0.75）＝2×0.753+3×0.75﹣3＞0
∴f（x） 在（0.5，0.75）内有零点，
∴方程2x3+3x﹣3＝0根可以是0.635，
故选：C．
4．【解答】解：由题意可得，，即0≤lgI﹣lg（1×10﹣12）＜5，
所以﹣12≤lgI＜﹣7，解得10﹣12≤I＜10﹣7，
所以声音强度I的取值范围是[10﹣12，10﹣7）．
故选：C．
5．【解答】解：函数f（x）＝lg（﹣x2+3x﹣2）中，
令﹣x2+3x﹣2＞0，得x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
所以函数f（x）的定义域为（1，2）；
令1＜2x﹣1＜2，解得1＜x，
所以函数f（2x﹣1）的定义域为（1，）．
故选：D．
6．【解答】解：由f（﹣x）（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）x2﹣xsinx＝f（x）得函数f（x）为偶函数，所以CD错；
因为f（）（）2sin0，所以A对B错．
故选：A．
7．【解答】解：由a＞b，可得2a＞2b，而|a|＞|b|，，a2＞b2不一定成立，例如：a＝1，b＝﹣2．
故选：D．
8．【解答】解：令f（x）﹣2|x|＝0，得f（x）＝2|x|，
则函数f（x）﹣2|x|零点的个数即函数f（x）与函数y＝2|x|的图象的交点的个数．
作出函数f（x）与函数y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程f（x）﹣2|x|＝0的解的个数为2个．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：对于A，α是第一象限的角，即，
则，
因此﹣α是第四象限的角，A正确；
对于B，由于﹣317°＝﹣360°+43°，因此43°角与﹣317°角终边重合，B正确；
对于C，由圆心角为的扇形弧长为π，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误；
对于D，由α是第二象限角，得sinα＞0，cosα＜0，则点P（sinα，cosα）在第四象限，D正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：根据终边相同的角的表示方式，β＝2kπ+α（k∈Z），
故，
由于选项A和B的表达方式不对，有弧度制和角度值混杂，故A和B错误；
故终边相同的角为（k∈Z），故C和D正确．
故选：CD．
11．【解答】解：对于A：命题“ x∈R，x2+1＝0”的否定是“ x∈R，x2+1≠0，故A正确；
对于B：“xy＞0”是“x+y＞0”既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：由不能推出a＜b＜0，但是由a＜b＜0 ，故是a＜b＜0的必要不充分条件，故C正确；
对于D：若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则，解得1≤m≤3，故D正确．
故选：ACD．
12．【解答】解：因为y＝﹣x（x+3﹣a）+1＝﹣x2+（a﹣3）x+1开口向下，对称轴x，
当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，
所以1，
故a≤5．
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p： x0∈（0，+∞），x02≤x0+2，则￢p是 x∈（0，+∞），x2＞x+2．
故答案为： x∈（0，+∞），x2＞x+2．
14．【解答】解：．
故答案为：．
15．【解答】解：∵函数f（x）＝2x+x﹣7的零点所在的区间是（n，n+1），且n为整数，f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝4＞0，
f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得 函数f（x）＝2x+x﹣7的零点所在的区间是（2，3），故n＝2，
故答案为2．
16．【解答】解：∵，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2
∴x2+x﹣2
故答案为：
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）∵a≤2，
∴，
＝2﹣a+a+3+2＝7；
（2），
，
3．
18．【解答】解：设扇形的半径为r，扇形的弧长为l，
所以，解得或；
当r＝2，l＝12时，利用l＝rθ，解得θ＝6；
当r＝6，l＝4时，利用l＝rθ，解得．
19．【解答】解：（1）∵x，y，z∈R，且x+y+z＝1，
∴[（x﹣1）+（y+1）+（z+1）]2
＝（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2+2（x﹣1）（y+1）+2（x﹣1）（z+1）+2（y+1）（z+1）
≤3[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]，
当且仅当x﹣1＝y+1＝z+1，又x+y+z＝1，即x，y，z时取等号，
∴（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2，
∴（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为．
（2）证明：由x+y+z＝1，可得[（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）]2
＝（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2+2（x﹣2）（y﹣1）+2（x﹣2）（z﹣a）+2（y﹣1）（z﹣a）
≤3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]，
又∵（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2，
当且仅当x﹣2＝y﹣1＝z﹣a，又x+y+z＝1，即x，y，z时取等号，
∴（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为，
∴，解得a≥﹣1或a≤﹣3，
故a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）．
20．【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（2x）＝（2x）2﹣2×2x＝（2x﹣1）2﹣1，
∴当2x＝1，x＝0时，f（2x）取得最小值﹣1．
（2）f（2x）＝（2x）2+2a 2x＝（2x+a）2﹣a2，
当x∈[0，1]时，y＝2x是增函数，且1≤2x≤2，
又f（t）＝（t+a）2﹣a2的单调增区间为[﹣a，+∞），∴﹣a≤1，∴a≥﹣1．
21．【解答】解：（1）填表如下：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 10 9.25 10 13
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，
且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，
若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），
得，解得，
则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，
与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，
经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），
则，解得，
∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．
（2）∵W0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，
∴当v＝80时，W取得最小值9，
所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．
22．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，
∴f（0）＝0；…2（分）
（2）∵f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数且f（x）＜f（1﹣x），
∴5（分）
∴7（分）
∴0≤x，
∴解集为：{x|0≤x}…8（分）
（3）f（x）max＝f（1）＝1…9（分）
f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，则t2﹣2at+1≥1对a∈[﹣1，1]恒成立，…10（分）
构造函数f（a）＝﹣2ta+t2，则f（a）≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，
∴或或t＝0…13（分）
解得：t≤﹣2或t＝0或t≥2…14（分）
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