2023-2024学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）期末数学
模拟试卷
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）已知函数f（x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是 　 　．
2．（4分）2022°是第 　 　象限角．
3．（4分）已知函数则　 　．
4．（4分）函数f（x）＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝　 　．
5．（4分）若幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm为奇函数，则m＝　 　．
6．（4分）已知函数f（x）＝ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠ ，则的最大值是　 　．
7．（5分）函数的单调递减区间为 　 　．
8．（5分）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 　 　．
9．（5分）设函数f（x）＝（x+1）（x+a）在区间（1﹣b，2）上为偶函数，则2a+b的值为 　 　．
10．（5分）在R上定义运算 ：若不等式（x+3） （x﹣a）＞﹣1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 　 　．
11．（5分）已知关于x的方程x2+kx+3＝0（k∈R）有两个虚根α与β，且|α﹣β|＝2，实数k的值是 　 　．
12．（5分）对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣2＜0恒成立，则实数m的取值范围是 　 　．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．|a|+|b|＞|a+b|
14．（4分）已知p：x2﹣2x﹣8＜0，q：2﹣a＜x＜a+1，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3）∪（0，+∞） B．[4，+∞）
C．[﹣3，0] D．（﹣3，0）
15．（5分）某公司打算购买一批降价商品共3000件，其中有些是次品，但不知次品数为多少．公司得知每件产品的修复成本为0.5元，并认为总的修复成本若低于150元，就购买这批产品．在决定之前，公司随机抽取100件产品进行调查，发现了8件次品．问这批商品的次品率是（　　），公司可否购买这批产品（　　）
A．8%，可以购买 B．10%，可以购买
C．8%，不能购买 D．10%，不能购买
16．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）在[1，+∞）上单调递减，且y＝f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣3，1] B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
C．[﹣4，2] D．[﹣3，﹣1]
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）设函数f（x）＝x[]（a＞1）．
（Ⅰ）求函数的定义域A；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（Ⅲ）如果对于定义域A中的任意的x，f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
18．（14分）已知函数（a＞0且a≠1）．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）已知，若 x1∈[0，2]， x2∈[0，4]，使得f（x1）﹣g（x2）≤2，求实数a的取值范围．
19．（14分）如果f（x）为奇函数，在[3，7]上f（x）是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上的单调性如何？﹣5是f（x）在[﹣7，﹣3]上的最大值还是最小值？
20．（18分）已知y＝f（x）是二次函数，y＝f（x）在x＝1处取得最小值﹣1，且y＝f（x）的图象经过原点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数y＝f（2x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．
21．（18分）已知函数f（x）＝loga（ax+1）+kx（a＞0且a≠1，k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若 a＞0且a≠1，函数y＝f（x）的图像与函数g（x）x+b的图像都没有交点，求b的值；
（3）设函数，若函数f（x）与h（x）的图像有且只有一个公共点，求实数c的取值范围．
2023-2024学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．【解答】解：因为函数f（x）的定义域为，
令0＜1﹣3x，
解得x，
所以函数f（1﹣3x）的定义域是（，）．
故答案为：（，）．
2．【解答】解：与2022°终边相同的角为α＝2022°+k 360°，k∈Z，
由题意2022°＝5×360°+222°，
故与2020°终边相同的最小正角是222°，
所以2022°角是第三象限角．
故答案为：三．
3．【解答】解：∵函数
∴f（）＝log22，
f（﹣2）＝2﹣22＝﹣2．
故答案为：﹣2．
4．【解答】解：函数f（x）＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象都过定点P（﹣1，2），且点P在角θ的终边上，
故tanθ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
5．【解答】解：依题意，m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，
若m＝﹣1，则y＝x﹣1是奇函数；
若m＝2，则y＝x2不是奇函数．
故答案为：﹣1．
6．【解答】解：∵不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠ ，
∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，
则4a﹣2﹣b≥0，
即1≤2a，又由题意知，的最大值必是正数，
则（）×1＝（）×（2a）≤222，
即的最大值是，
故答案为：
7．【解答】解：根据题意，设t＝x2﹣4x，y＝3t，
t＝x2﹣4x，是二次函数，在（﹣∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
y＝3t在R上为增函数，
故函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．
故答案为：（﹣∞，2）．
8．【解答】解：由题意可知，设AB＝r，
则弧的长度为，所以r＝6，
设弧所对的扇形的面积为S，，
则该鲁洛克斯三角形的面积为．
故答案为：．
9．【解答】解：根据题意，因为函数f（x）＝（x+1）（x+a）在区间（1﹣b，2）上为偶函数，
必有（1﹣b）+2＝0，即1﹣b＝﹣2，解得b＝3．
又二次函数f（x）＝x2+（a+1）x+a为偶函数，则其对称轴为y轴，
必有a+1＝0，则有a＝﹣1，
所以2a+b＝1；
故答案为：1．
10．【解答】解：因为（x+3） （x﹣a）＞﹣1恒成立，
所以当a＞﹣3时，原不等式化为（x+3）（x﹣a+1）＞﹣1恒成立，
即x2+（4﹣a）x+4﹣3a＞0恒成立，
故Δ＝（4﹣a）2﹣4（4﹣3a）＜0，解得﹣4＜a＜0，
又因为a＞﹣3，所以﹣3＜a＜0．
当a≤﹣3时，原不等式化为（x+4）（x﹣a）＞﹣1恒成立，
即x2+（4﹣a）x+1﹣4a＞0恒成立，
故Δ＝（4﹣a）2﹣4（1﹣4a）＜0，解得﹣6＜a＜﹣2，
又因为a≤﹣3，所以﹣6＜a≤﹣3．
综上可得﹣6＜a＜0．
故答案为：（﹣6，0）．
11．【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+3＝0（k∈R）有两个虚根α与β，且|α﹣β|＝2，
∴α与β为共轭虚数根，且虚部为．
设α＝mi，则β＝mi，
由韦达定理可得α+β＝2m＝﹣k，αβ＝m2﹣2＝3，∴m＝±1，k＝±2．
故答案为：±2．
12．【解答】解：当m＝0时，﹣2＜0恒成立，所以m＝0符合题意，
当m≠0时，若不等式mx2﹣mx﹣2＜0恒成立，
则，解得：﹣8＜m＜0，
综上所述：实数m的取值范围是（﹣8，0]．
故答案为：（﹣8，0]．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．【解答】解：由基本不等式有，又a＞b，所以等号不等立，即，故A、B错误，C正确；
因为a＞b＞0，所以|a|+|b|＝|a+b|，故D错误．
故选：C．
14．【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＜0，∴﹣2＜x＜4，记P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|2﹣a＜x＜a+1}，
由q是p的必要不充分条件，可得P Q且P≠Q，
故，且等号不同时成立，解得a∈[4，+∞）．
故选：B．
15．【解答】解：由题意可得次品率为：8%，
所以3000件商品中次品有3000×8%＝240件，
所以修复成本为：240×0.5＝120元，
又因为120＜150，
所以可以购买．
故选：A．
16．【解答】解：由y＝f（x+1）是偶函数，可得y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．
因为定义在R上的函数y＝f（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以不等式f（m+2）≥f（x﹣1）等价为f（|m+2﹣1|）≥f（|x﹣1﹣1|），
即有f（|m+1|）≥f（|x﹣2|）恒成立，
则|m+1|≤|x﹣2|恒成立．
由x∈[﹣1，0]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣2]．|x﹣2|∈[2，3]．
所以|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，
故选：A．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．【解答】解：（Ⅰ）由ax﹣1≠0，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），即A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域关于原点对称，
又f（﹣x）＝﹣x[]＝x[]＝x[]＝x[]＝x[]＝f（x），
∴f（x）为偶函数；
（Ⅲ）当x＞0时，∵a＞1，∴ax﹣1＞0，
∴0，x[]＞0，即f（x）＞0；
当x＜0时，由偶函数的性质知f（﹣x）＝f（x）＞0；
∴对于定义域A中的任意的x，f（x）＞0，
由f（x）＞m恒成立，得0＞m，
故实数m的取值范围是（﹣∞，0）．
18．【解答】解：（1）当时，f（x），
因为2x2，当且仅当x＝0时取等号，
属于f（x）≥2，即函数的值域为[2，+∞）；
（2）若 x1∈[0，2]， x2∈[0，4]，使得f（x1）﹣g（x2）≤2，
则f（x）max≤[g（x）+2]max，
因为g（x）+2＝x﹣22＝（）2+1≤2，
因为y2x在[0，2]上单调递增，
所以y2x，
当a＞1时，f（x）在[0，2]上单调递增，f（x）max＝f（2）＝loga2，
解得a，
当0＜a＜1时，f（x）在[0，2]上单调递减，f（x）max＝f（0）＝loga2≤2显然满足题意，
故a的取值范围为（0，1）∪[，+∞）．
19．【解答】解：因为f（x）为奇函数，在[3，7]上f（x）是增函数且最小值为5，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在区间[﹣7，﹣3]上的单调递增，且函数取得最大值﹣5．
20．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，
由题可得，，即，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝0，
所以f（x）＝x2﹣2x．
（2）y＝f（2x）＝（2x）2﹣2 2x，
设，则g（t）＝t2﹣2t，
所以函数g（t）＝t2﹣2t在单调递减，[1，4]单调递增，
所以当t＝1，即x＝0时，函数g（t）有最小值为﹣1，即函数f（x）有最小值为﹣1；
当t＝4，即x＝2时，函数g（t）有最大值为8，即函数f（x）有最大值为8；
21．【解答】解：（1）因为f（x）＝f（﹣x），即，
所以，
即，
所以，
（2）loga（ax+1），
即，
所以，
，
因为，
所以，
，
所以b＝0；
（3）由题意得有唯一解，
所以有唯一解，
令，
所以有唯一解，
有唯一解，
设，
当c＝1时，，
r（t）＜0，不符合题意，
当c＞1时，r（0）＝﹣1＜0，，
所以恰好有个大于的解，符合题意，
当c＜1时，，
解得，
时符合题意，
不符合题意，
综上，c∈{﹣3}∪（1，+∞）．
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