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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）．
A． B． C． D．或
解：当底角是时，则它一腰上的高与底边的夹角是；
当顶角是时，则它的底角就是，则它一腰上的高与底边的夹角是．
故选：C．
2．如图，已知，点P在边上，，点C.D在边上，，若，则（）
A． B．2 C． D．3
解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
解：A.∵，
∴三边长为1，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
B.∵，
∴三边长为，3，5，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C.∵，
∴三边长为1，2，3，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D.∵，
∴三边长为2，3，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9
解：A.，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B.，能构成直角三角形，此选项符合题意；
C.，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D.，不能构成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（）
A． B． C． D．
解：∵是中边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
6．如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E．若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
解：∵垂直平分交于点D，
∴，
∴的周长
，
故选：B．
7．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ）
A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点
C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点
解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地，
这个基地应该建在的三条角平分线的交点，故选：C．
8．如图，点P是的平分线上一点，，若，则点P到边的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
解：如图，作于E，
∵点P是的角平分线上一点，，
∴，
故选：C．
9．等腰三角形中，，则底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
解：∵等腰三角形中，，
∴①当为顶角，为底角时，
则底角，
②当为底角，为底角时，
则,
故选：C．
10．如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故选：B．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离为 ．
解：如图，过点D作于点E，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
即点D到的距离．
故答案为：5．
12．如图，在中，，平分交于点D，若，E为上一动点，那么的最小值为 ．
解：如图，过点D作，故的最小值为，
，
，
平分，
，
故答案为：1．
13．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
∵中，
∴，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
14．如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是 ．
解：如图，连接，
，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
15．如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．
解：∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；②正确；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，①正确；
∵为等边三角形，
若，
∴，
而不一定是，故不一定成立，③错误；
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴G为的中点．④正确；
综上，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．
(1)求的度数；
(2)如果 ，，求四边形的周长．
（1）解：，且，
，
，
是的角平分线，
，
，
,
．
（2）是的角平分线，且，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形为：．
17．（7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点..均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形；
18．（8分）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形．
证明：是等边三角形，
，．
，
．
．
，
．
．
△ADE是等边三角形．
19．（8分）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使．
(1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（）的条件下，连接，求证：．
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（8分）如图，在中，，，，点D.E分别在AB.AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：连接，如图．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴，．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
21．（9分）如图，平分，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
（1）证明：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）设，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即．
22．（9分）如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．
(1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K；
(2)在（1）的条件下，
①求证：是等边三角形；
②求证：．
（1）解：以点为圆心任意长为半径画弧交于两点，以点为圆心同样长为半径画圆弧，再用圆规量取之间距离，并使其等于的长，连接即可得到，如下图所示：
；
（2）①解：∵等边，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是等边三角形；
②解：连接，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
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第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）．
A． B． C． D．或
2．如图，已知，点P在边上，，点C.D在边上，，若，则（）
A． B．2 C． D．3
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
4．下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9
5．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（）
A． B． C． D．
6．如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E．若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ）
A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点
C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点
8．如图，点P是的平分线上一点，，若，则点P到边的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
9．等腰三角形中，，则底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离为 ．
12．如图，在中，，平分交于点D，若，E为上一动点，那么的最小值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是 ．
15．如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．
(1)求的度数；
(2)如果 ，，求四边形的周长．
17．（7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点..均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
18．（8分）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形．
19．（8分）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使．
(1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（）的条件下，连接，求证：．
20．（8分）如图，在中，，，，点D.E分别在AB.AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
21．（9分）如图，平分，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
22．（9分）如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．
(1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K；
(2)在（1）的条件下，
①求证：是等边三角形；
②求证：．
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