鲁教版七年级下册 二元一次方程组的应用课件 (共70张PPT)

(共70张PPT)
3 二元一次方程组的应用
一、鸡兔同笼
1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程.
2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组.
3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力.
【小题快练】
1.若甲数为x,乙数为y,则“甲数的3倍比乙数的一半少2”,列成方程是( )
A.3x+y=2 B.y-3x=2
C.3x-y=2 D.y+2=3x
B
2.某年级学生共有300人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,
根据题中的等量关系:
①某年级学生共有300人,则_____________.
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则____________.
　x+y=300　
　2x=y+2　
古代数学问题
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
（1）上有三十五头的意思是 ，
下有九十四足的意思是 .
（2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有 只；
鸡足有 条；兔足有 条.
（3）根据题意得方程组为 .
（4）解方程组得，鸡有___只，兔有____只.
（x+y）
2x
4y
x+y=35，
2x+4y=94
23
12
鸡、兔共有头35个
鸡、兔共有脚94条
例 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
题目大意是：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？
解法(1)
等量关系：
绳长的 -井深=5，
绳长的 -井深=1.
【例题】
①-②,得 - = 4,
-y=5，
-y=1.
①
②
【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
=4，
x =48.
将x=48代入①，得y=11.
所以绳长48尺，井深11尺.
【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
3(y+5)=x，
4(y+1)=x.
x=48
y=11
所以绳长48尺，井深11尺.
解法（2）
等量关系：（井深+5）×3=绳长，
（井深+1）×4=绳长.
解得
3.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树4周,则绳子还多1尺;若环绕大树5周,则
绳子又少3尺.设这根绳子有x尺,环绕大树一周需要y尺,则下列所列方程组正确的
是( )
A.　 B.
C.　 D.
B
重点·典例研析
【重点1】利用二元一次方程组解决古代问题
【典例1】我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何 ”译文:“现有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文,提出以下两个问题:
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子;
(2)若某商人准备用21两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须全部用完),请问商人有几种购买方法 列出所有的可能.
[自主解答](1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,根据题意得:
解得
答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子.
(2)设购买a头牛,b只羊,
依题意有3a+2b=21,b=,
因为a,b都是正整数,
所以①购买1头牛,9只羊;
②购买3头牛,6只羊;③购买5头牛,3只羊,共3种购买方法.
【举一反三】
(2023·淄博高青县一模)《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉;下禾五秉,
益实一斗,当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何 ”其大意是:今有上等稻子三捆,若打出来的谷
子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子;有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,
则相当于两捆上等稻子打出来的谷子.问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子 设上等稻子每捆
打x斗谷子,下等稻子每捆打y斗谷子,根据题意可列方程组为( )
A.　 B.
C.　 D.
A
调配问题
【重点2】用二元一次方程组解决实际问题
【典例2】(教材再开发·教材P13例1拓展)(2023·泰安泰山区一模)八年级某班学生参加
抗旱活动,女生抬水,每两个女生用一个水桶和一根扁担,男同学们挑水,每个男生用两
个水桶和一根扁担,已知全班同学们共用了水桶59个,扁担36根,若设女生有x人,男生有y
人,则可列方程组( )
A.　 B.
C.　　 D.
B
【举一反三】
1.(2023·东营广饶县二模)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费435元,
其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价
为x元,足球的单价为y元,依题意可列方程组为( )
A.　 B.
C.　 D.
D
2.春节期间,为了丰富节日市场,佳乐商场采购了A,B两种年货80吨,共用去200万元,A种年货每吨2.2万元,B种年货每吨3.4万元.
(1)求A,B两种年货各购进了多少吨.
(2)该商场租用了大、小两种货车若干辆运输这些年货,每辆大货车可运8吨A种年货和2吨B种年货,每辆小货车可运5吨A种年货和2.5吨B种年货,问租用的大、小货车各多少辆
【解析】(1)设A种年货购进了x吨,B种年货购进了y吨,
由题意得:,解得,
答:A种年货购进了60吨,B种年货购进了20吨;
(2)设租用大货车m辆,小货车n辆,
由题意得:,
解得,
答:租用大货车5辆,小货车4辆.
增收节支
1.一个人的工资今年比去年增长了20%后变为3 000元，则该
人去年的工资为 元.
2.某药品在2012年涨价25%后，2013年降价20%至a元，则
该药品在2012年涨价前的价格为 元.
a
2 500
3.小李到银行去存款500元，这种存款的年利息为4.0%，
如果他存了1年，则小李1年后得到的本息和是 元.
520
问1：增长（亏损）率问题的公式？
问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）
原量×（1+增长率）=新量
原量×（1-亏损率）=新量
利息=本金×利率×期数（时间）
本息和=本金+利息
想一想
【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
(1+20﹪)x
(1-10﹪)y
780
根据上表,你能通过列方程组解决这个问题吗
x
y
200
【例1】某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元
【例题】
【解析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
x-y=200，
(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.
因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1 800万元.
解得
x=2 000，
y=1 800.
重点·典例研析
【重点1】增长率问题
【典例1】(教材再开发·P16第1题拓展)(2023·淄博淄川区二模)我市某九年一贯制学校共有学
生3 000人,计划一年后初中在校生增加8%,小学在校生增加11%,这样全校在校生将增加10%,
设这所学校现初中在校生x人,小学在校生y人,由题意可列方程组( )
A.
B.
C.
D.
A
某校环保小组成员收集废电池,第一天收集了一号电池4节，五号电池5节，总重为460 g，第二天收集了一号电池2节，五号电池3节，总重为240 g，则一号电池和五号电池每节分别重多少克？
【跟踪训练】
【解析】设一号电池和五号电池每节分别重
x g、y g,则可列方程组
4x+5y=460，
2x+3y=240.
解这个方程组得
x=90，
y=20.
答：一号电池和五号电池每节分别重90 g、20 g.
【举一反三】
泰安某茶叶店经销泰山女儿茶,第一次购进了A种茶30盒,B种茶20盒,共花费6 000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费5 100元.求第一次购进的A,B两种茶每盒的价格.
【解析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒,B种茶的价格为y元/盒,
依题意得:,
解得.
答:第一次购进A种茶的价格为100元/盒,B种茶的价格为150元/盒.
【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
【例题】
【解析】设每餐甲、乙原料各x g，y g. 则有下表:
甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
根据题意,得方程组
5x+7y=350， ①
5x+2y=200， ②
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40，
化简,得
①- ②,得5y=150，
y=30.
把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
一、二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少
【跟踪训练】
【分析】设一、二班的学生数分别为x名，y名.填写下表并求出x,y的值.
一班 二班 两班总和
学生数
达标学生数
x
y
100
87.5﹪x
75﹪y
81﹪×100
【解析】设一、二班的学生数分别为x名，y名.
根据题意,得方程组
x+y=100，
87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100，
解得
x=48，
y=52.
所以一、二班的学生数分别为48名和52名.
图表问题
3. 甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行,如甲比乙先走2 h,那么他们在乙出发2.5 h后相遇;如果乙比甲先走2 h,那么他们在甲出发3 h后相遇,甲、乙两人每小时分别行走多少千米
甲行走的路程 乙行走的路程 甲乙行走的路程和
甲先走2 h
乙先走2 h
(2+2.5)x
2.5y
36
36
3x
(2+3)y
【解析】设甲、乙两人每小时分别行走x km,y km.填写下表并求出x,y的值.
根据题意,得方程组
(2+2.5)x+2.5y=36,
3x+(2+3)y=36.
解得
x=6,
y=3.6.
所以甲、乙两人每小时分别行走6 km,3.6 km.
【重点2】图表问题
【典例2】某厂计划生产A,B两种产品600件,已知两种产品的成本价和销售价如表:
价格 A种产品 B种产品
成本价(元/件) 2.5 4.5
销售价(元/件) 3 6
(1)若该厂生产600件A,B两种产品时,恰好用了2 300元,求两种产品各生产了多少件.
(2)若该厂销售完600件A,B两种产品时,利润恰好是成本价的30%,应如何安排生产 此时利润为多少元 (利润=销售价-成本价)
[自主解答](1)设A种产品生产了x件,B种产品生产了y件,依题意得:
,解得.
答:A种产品生产了200件,B种产品生产了400件.
(2)设A种产品生产了m件,B种产品生产了n件,依题意得:
,
解得,
所以(3-2.5)m+(6-4.5)n=(3-2.5)×225+(6-4.5)×375=675.
答:应安排生产A种产品225件,B种产品375件,此时利润为675元.
【举一反三】
(2023·泰安东平县期末)某商场从厂家批发电视机进行零售,批发价格与零售价格如下表:若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台,用去9万元.
电视机型号 甲 乙
批发价(元/台) 1 500 2 500
零售价(元/台) 2 025 3 640
(1)求商场购进甲、乙两种型号的电视机各多少台.
(2)迎“国庆”,商场决定进行优惠促销:以零售价的七五折销售乙种型号电视机,两种电视机销售完毕,商场共获利8.5%,求甲种型号电视机以零售价的几折销售.
【解析】(1)设商场购进甲型号电视机x台,乙型号电视机y台,由题意得:,
解得,
答:商场购进甲型号电视机35台,乙型号电视机15台;
(2)设甲种型号电视机以零售价的a折销售,
由题意得:15×(3 640×0.75-2 500)+35×(2 025×0.1a-1 500)=(15×2 500+35×1 500)
×8.5%,解得a=8,
答:甲种型号电视机以零售价的八折销售.
【小题快练】
2.在当地农业技术部门的指导下,小明家种植的大棚油桃喜获丰收,去年大棚油桃的利
润(利润=收入-支出)为12 000元,今年大棚油桃的收入比去年增加了20%,支出减少了
10%,预计今年的利润比去年多11 400元,设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元,支出
为y元.依题意列方程组 .
　
3.甲瓶食盐水浓度为8%,乙瓶食盐水浓度为12%,两瓶食盐水共重1 000克,把甲、乙两瓶食盐水混合后的浓度是10.08%.
设甲瓶食盐水重x克,乙瓶食盐水重y克,找出题中的等量关系:
①甲瓶食盐水中,含食盐:____________.
乙瓶食盐水中,含食盐:____________.
甲、乙两瓶食盐混合后,含食盐:______________.
②两瓶食盐水共重1 000克,得__________.
　8%x克　
　12%y克　
10.08%(x+y)克
x+y=1 000
里程碑上的数
3.一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，如果在它
们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示
为_________.
100x+y
1. 如果一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，那
么这个两位数可表示为________;如果交换个位和十位数字,
得到的新两位数为________.
10x+y
10y+x
【举一反三】
有一个两位数,设它的十位数字为x,个位数字为y,已知十位数字与个位数字之和为8,把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数,新的两位数比原来的两位数大18.
(1)原来的两位数为_______,新的两位数为_______.(用含有x,y的代数式表示)
(2)根据题意,列出二元一次方程组为_____________________.
(3)求原来的两位数.
【解析】(1)原来的两位数为10x+y,
新的两位数为10y+x;
答案:10x+y　10y+x
(2)由题意可列出二元一次方程组为.
答案:
(3)由(2)可得,
解得,故原两位数是35.
2. 两个两位数分别为x和y，如果将x放到y的左边就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为_________;如果将x放到y的右边就得到一个新的四位数,那么这个新的四位数可表示为__________.
100x+y
100y+x
【解析】设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
解方程组,得
答:这两个两位数分别是45和23.
【例2】两个两位数的和为 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边接着写较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2 178, 求这两个两位数.
【规律方法】利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的 与同伴交流一下.
★ 审 清题意,找出等量关系;
★ 设 未知数x,y;
★ 列 出二元一次方程组;
★ 解 方程组；
★ 检 验；
★ 答 题.
【例1】小明的爸爸驾着车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1 h看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗
是一个两位数,它的两个数字之和为7
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了.
比12:00时看到的两位数中间多了个0.
12:00
13:00
14:00
(3)14:00时小明看到的数可以表示为____________
(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的路程
有什么关系 你能列出相应的方程吗
100x+y
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y.那么
(1)12:00时小明看到的数可以表示为____________
(2)13:00时小明看到的数可表示为_____________
10x+y
10y+x
12:00时至13:00时所走的路程 13:00时至14:00时所走的路程
(10y+x)－(10x+y)
(100x+y)－(10y+x)
=
6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，个位数字与十位数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是　　　　　.
【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
７:00 x y 10x+y
８:00 y x 10y+x
９:00 ８(10x+y)
答案：18
重点·典例研析
【重点1】二元一次方程组解决数字问题
【典例1】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反,他同时还发现,过10年,妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍;再过1年,他们两人的年龄又一次相反,且十位数字与个位数字的和为7,你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗
[自主解答]设聪聪年龄的十位数字为x,个位数字为y,由题意得,聪聪的年龄为(10x+y)岁,则妈妈的年龄为(10y+x)岁.根据题意得:
解得
答:聪聪今年14岁,妈妈今年41岁.
行程问题
1.列方程组:摩托车的速度是货车速度的倍,两车的速度之和是200千米/时,求摩托车和货车的速度.设摩托车的速度为x千米/时,货车的速度为y千米/时,依题意,
得:________________.
　
【重点2】行程问题
【典例2】甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,反向而行,每隔分钟相遇一次;如果同时同地出发,同向而行,每隔分钟快的追上慢的一次.已知甲比乙跑得快,求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈.
【思维切入】关键词:环形、同时、反向→相遇
[自主解答]设甲每分钟跑x圈,乙每分钟跑y圈,
依题意,得:,解得,
答:甲每分钟跑圈,乙每分钟跑圈.
【举一反三】
1.(2023·淄博临淄区期中)数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题:在我市“乡村振兴”工作中,甲、乙两个工程队先后为示范村修建3 000米的村路,甲队每天修建150米,乙队每天修建200米,共用18天完成.求甲、乙两个工程队分别修建了多少天.
(1)张红同学根据题意,列出了二元一次方程组,那么这个方程组中未知数x表示的是______________,未知数y表示的是______________;
(2)李芳同学设甲工程队修建了p天,乙工程队修建了q天.请你按照她的思路解答老师的问题.
【解析】(1)根据所列方程组,可得出:未知数x表示的是甲工程队共修建的米数,未知数y表示的是乙工程队共修建的米数.
答案:甲工程队共修建的米数　乙工程队共修建的米数
(2)根据题意得:,
解得.
答:甲工程队修建了12天,乙工程队修建了6天.
1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
【解析】选Ａ.设上坡用x h，下坡用y h，据题意得：
　　　　 6x+12y=4.8，
　　　　　x＋y＝0.5.
解得　　
x＝0.2，
y＝0.3.
2.(教材再开发·P19T3拓展)(2023·威海文登区期末)从小明家到公园有一段上坡路和一段平路.周末,小明到公园玩耍,如果上坡路每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡路每小时走5千米,小明从家到公园需要1小时,从公园回到家需要48分钟.请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米.
【解析】从小明家到公园上坡路为x千米,平路为y千米,
根据题意得:,
解得.
答:从小明家到公园上坡路为1.5千米,平路为2千米.
4.（绵阳·中考）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为10 km/h，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2 km所用时间，与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ．
答案：40 km/h
素养·思维赋能
【数学文化】
　《西游记》是一部中国古典神话小说,为中国“四大名著”之一.作者吴承恩,字汝忠,号射阳居士.书中讲述唐僧师徒取经的故事,表现了惩恶扬善的主题.
一日,师徒四人正在前行,忽然一阵狂风:
悟空顺风探妖踪,千里只用四分钟,
归时四分行六百,风速多少请算清.
【解析】设悟空的速度为每分钟x里,风速为每分钟y里,依题意得:,
解这个方程组得,
答:风速为每分钟50里.
【技法点拨】
行程问题的两大类型
1.相遇问题:其等量关系为两人各自走的路程和等于两地间的距离.
2.追及问题:
(1)两人同地不同时同向而行,直至后者追上前者,两人所走路程相等(时间不同).
(2)两人同时不同地同向而行,直至追上,两人所走的路程差等于已知两地的距离(时间相同).
(3)两人不同时也不同地同向而行,直至追上,等量关系同(2)(但时间不同).