2024 年邵阳市初中联考试题卷
九年级数学
温馨提示:
(1)本学科试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时量为 120 分钟,满分为 120 分;
(2)请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上;
(3)请你在答题卡上作答,答在本试题卷上无效.
一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1. 下列实数中,最小的数是
A. 3 B. 1 C. 0 D. -2
2. 剪纸艺术是我国民间传统文化之一,在下列剪纸作品中,不是轴对称图形的是
3. 2023 年 8 月 29 日华为公司上市的华为 Mate60 手机搭载的是自主研发的麒麟 900 处理
器,这款处理器是华为首款采用 5 nm 制程技术的手机芯片,1 nm = 0. 000000001 m. 其中
数据 5 nm 用科学记数法表示为 5×10n m,则 n 的值为
A. 8 B. -8 C. 9 D. -9
4. 如图(一),直线 l1∥l2,分别与直线 l 交于点 A,B,把一块含 30°角的三角尺按如图所示的
位置摆放. 若∠1 = 50°,则∠2 的度数是
A. 130°
B. 100°
C. 90°
D. 70° 图(一)
5. 下列运算正确的是
A. 3a+a2 = 3a3 B. ( -3a3) 2 = 6a6 C. a2·a3 =a5 D. (a-b) 2 =a2 -b2
2024 年邵阳市初中联考试题卷(九年级数学) 第 1 页(共 6 页)
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6. 如图(二)是某公司 1 ~ 7 月份生产量增长率(相对
于上月的增长率)统计图,仔细观察图形,下列说法
正确的是
A. 1 ~ 7 月份生产量有增有减.
B. 1 月份的生产量最大.
C. 1 ~ 7 月份开始生产量下降,后来生产量回升. 图(二)
D. 这七个月中,生产量增长率从 6 月份开始回升.
7. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0,其中 b>0, c>0),则该函数的大致图像是
8. 如图(三),如果 AD∥BE∥CF,则下列各式错误的是
A. AB =EF B. AB =DE
DE BC BC EF
C. BC= AC D. DF=DE
EF DF AC AB
图(三)
9. 若关于 x 的一元二次方程 2x2 -4x+m= 0 m
-2
无实数根,则反比例函数 y = 的图象所在的
x
象限是
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
10. 如图(四),在平面直角坐标系 xOy 中,△AOB 为等腰直角三角形,∠AOB= 90°,若点 A 的
坐标为(2,3),则点 B 的坐标为
A. ( -3,2)
B. ( -2,3)
C. (3,2)
D. (2,-2)
图(四)
二、填空题(本大题有 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)
11. 分解因式:3a2 -27 = .
12. 如图(五),在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD∥BC,连接 AC,BD,
相交于点 O. 请增加一个条件,使得四边形 ABCD 是矩形,增
加的条件为 (填一个即可) . 图(五)
13. 已知方程(x-2)(x+4)= 3(x+4)的根是 x1,x2,则 x1 +x2 的值是 .
14. 若一组数据 x1,x2,x3,…,xn 的平均数为 4,方差为 2,则 x1 -1,x2 -1,x3 -1, …,xn -1 的方
差为 .
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15. ( ), A y= k如图 六 点 在反比例函数 (k 为常数,k≠0,x<0)的图象上,AB⊥x 轴于点 B,若
x
△ABO 的面积是 4,则 k= .
16. 如图(七),CD 是平面镜,光线从 A 点出发经 CD 上点 O 反射后照射到 B 点,若入射角为
α,反射角为 β(反射角等于入射角),AC⊥CD 于点 C,BD⊥CD 于点 D,且 AC = 6,BD= 8,
CD= 21,则 tan α 的值为 .
图(六) 图(七) 图(八)
+
17. x 5 2k已知关于 x 的分式方程 - =- 4 - 有增根,则 k 的值为 .x 3 3 x
18. 两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,即:点 P 是线段 AB 上一点(AP>
BP),若满足 BP ∶ AP=AP ∶ AB,则称点 P 是 AB 的黄金分割点. 如图(八)所示的五角星
中,AD=BC,且 C,D 两点都是 AB 的黄金分割点,若 CD= 1,则 AB 的长是 .
三、解答题(本大题有 8 个小题,第 19 ~ 25 题每题 8 分,第 26 题 10 分,共 66 分. 解答应写出
必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
19. 计算: 3 -2 +
3 -8 +(π-3. 14) 0 +2cos30°.
20. :( 2先化简 + 1+ - ) ÷a-1- ,再从 a= 1,2,3 中选取一个合适的数代入求值.a 3 a 3 a 3
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21. 如图,点 O 为△ABC 内任意一点,连接 OA,OB,OC,点 D,E,F 分别为 AC,BC,OC 的
中点,连接 DE,EF,FD.
(1)求证:△DEF∽△ABO;
(2)当∠AOB= 90°,AO= 8,BO= 6 时,求△DEF 的面积.
22. 2023 年 9 月,为了更好地落实“双减”政策,增强课后服务的时效性,某中学定于每周二、
周四下午进行兴趣社团课“走班制”,开设了 5 类兴趣社团课(每位学生均只选其一):
A. 音乐;B. 体育;C. 美术;D. 信息技术;E. 演讲. 为了了解该校学生的参与情况,现随机
抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次调查的学生人数为 人,并补全条形统计图;
(2)求“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数;
(3)该校现有学生 1800 人,请你估算该校参加“D”类兴趣社团课的学生有多少人
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23. 某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①景区内修建观光索道. 设计示意图如
图②所示,以山脚 A 为起点,沿途修建 AB,CD 两段长度相等的观光索道,最终到达山顶
D 处,中途设计了一段与 AF 平行的观光平台 BC. 索道 AB 与 AF 的夹角为 15°,CD 与水
平线夹角为 45°,点 B 的垂直高度 BE 为 130 m,DF⊥AF,垂足为点 F. (图中所有点都在
同一平面内,点 A,E,F 在同一水平线上. )
(1)求索道 AB 的长(结果精确到 1 m);
(2)求山顶点 D 到水平地面的距离 DF 的长(结果精确到 1 m) .
(参考数据:sin15°≈0. 26,cos15°≈0. 97,tan15°≈0. 27, 2 ≈1. 41)
24. 某商场同时采购了 A,B 两种品牌的运动装,第一次采购 A 品牌运动装 10 件, B 品牌运动
装 30 件,采购费用为 8600 元;第二次只采购了 B 品牌运动装 50 件,采购费用为 11000 元.
(1)求 A,B 两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件
(2)商家通过一段时间的营销后发现,B 品牌运动装的销售明显比 A 品牌好,商家决定
采购一批运动装,要求:①采购 B 品牌运动装的数量是 A 品牌运动装的 2 倍多 10
件,且 A 品牌的采购数量不低于 18 件;②采购两种品牌运动装的总费用不超过
15000 元,请问该商家有哪几种采购方案
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25. 【动手操作】将一张矩形纸片按下图操作:
步骤一:如图①,将矩形纸片 ABCD 对折,使 AD 与 BC 重合,展平纸片,得到折痕 EF.
步骤二:如图②,G 是 BC 上一动点,沿 AG 折叠纸片,使点 B 落在 EF 上点 B′处, E 的对
应点为 E′,连接 BB′,BE′. 请完成:
(1)试猜想△ABB′的形状,并予以证明;
【类比操作】
步骤三:如图③,将矩形纸片 BCFE 对折,使 BC 与 EF 重合,展平纸片,得到折痕 MN,沿
AG 折叠纸片,使点 B 落在 MN 上点 B′处, E 的对应点为 E′,连接 BB′,BE′,并延长 B E′
交 AD 于点 N.
(2)请说明:∠NBB′= 2∠B′BC.
26. 在平面直角坐标系 xOy 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线” . 如
图,抛物线 L1:y= -x2 -2x+3 的顶点为 D,交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 左侧),交 y 轴于
点 C. 抛物线 L2 与 L1 是“共根抛物线”,其顶点为 P.
(1)若抛物线 L2 经过点(2,10),求抛物线 L2 对应的函数关系式;
(2)当△BPC 的周长最小时,求△BPC 的面积;
(3)设点 Q 是抛物线 L1 上的一个动点,且位于其对称轴的左侧,若△DPQ 与△AOC 相
似,求其“共根抛物线”L2 的顶点 P 的坐标.
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{#{QQABAYyEggggAAAAABhCQQ2ICgAQkBECAAoOhFAEoAIAAAFABCA=}#}2024 年邵阳市初中联考参考答案及评分标准
九年级数学
一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C D B C D D A B A
二、填空题(本大题有 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)
11. 3(a+3)(a-3) 12. AC=BD 或∠ABC= 90°(答案不唯一) 13. 1
3 14. 2 15. -8 16. 17. -4 18. 2+ 5
2
三、解答题(本大题有 8 个小题,第 19 ~ 25 题每题 8 分,第 26 题 10 分,共 66 分. 解答应写出
必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
19.解:原式= 2- 3 -2+1+2× 3 …………………………………………………………… 4 分
2
= 1 ……………………………………………………………………………… 8 分
-
20. 2(a 3)
+(a+3) a-3
解:原式= ×+ - - ………………………………………………………… 2 分(a 3)(a 3) a 1
= 3(a-1) ×a-3
(a+3)(a-3) a-1
= 3
+ …………………………………………………………………………… 4 分a 3
∵ (a+3)(a-3)≠0 且 a-1≠0
∴ a≠±3 和 1 …………………………………………………………………………… 6 分
∴ x= 2 , 3 = 3 = 3当 时 + + ………………………………………………………… 8 分a 3 2 3 5
21. (1)证明:∵ 点 D,E,F 分别为 AC,BC,OC 的中点
∴ DE= 1 ,DF= 1 ,EF = 1 ………………………………………………………… 2 分
AB 2 AO 2 BO 2
∴ DE=DF=EF
AB AO BO
∴ △DEF∽△ABO. ………………………………………………………………… 4 分
(2)解:∵ ∠AOB= 90°,AO= 8,BO= 6
∴ S 1 1△ABO = AO·BO= ×8×6 = 24 ………………………………………………… 6 分2 2
又∵ △DEF∽△ABO,DE= 1
AB 2
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S
∴ △DEF = 1
S△ABO 4
∴ S 1△DEF = S△ABO = 6 ……………………………………………………………… 8 分4
22.解:(1)12÷30% = 40(人) ……………………………………………………………… 2 分
补全条形统计图(略) …………………………………………………………… 4 分
(2)“C” 8类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数为 360°× = 72° ……………… 6 分
40
(3)1800×40
-6-12-8-5 = 405(人) …………………………………………………… 8 分
40
23.解:(1) BE在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=
AB
∴ AB= BE = 130 ≈500(m) …………………………………………… 3 分
sin∠BAE sin15°
(2)过点 C 作 CG⊥DF,垂足为点 G
在 Rt△CGD 中,sin∠DCG=DG
CD
∴ DG=CD·sin∠DCG= 500sin45°≈352. 5(m) …… 6 分
∴ DF=DG+GF=DG+BE= 352. 5+130≈483(m) …… 8 分
24.解:(1)设 A 种品牌运动装的采购单价为 x 元每件,B 种品牌运动装的采购单价为 y 元每
件. 根据题意,得
{10x+30y= 8600, ……………………………………………………………… 2 分50y= 11000.
{x= 200,解得 y= 220.
答:A 种品牌运动装的采购单价为 200 元每件,B 种品牌运动装的采购单价为 220
元每件. ………………………………………………………………………… 4 分
(2)设 A 种品牌运动装采购 m 件,则 B 种品牌运动装采购(2m+10)件.
根据题意,得
{200m+220(2m+10)≤15000,……………………………………………………… 5 分m≥18.
解得 18≤m≤20 …………………………………………………………………… 6 分
又∵ m 为整数,∴ m= 18,19,20.
∴ 该商家共有 3 种采购方案, ……………………………………………………… 7 分
方案 1:A 种品牌运动装采购 18 件,B 种品牌运动装采购 46 件;
方案 2:A 种品牌运动装采购 19 件,B 种品牌运动装采购 48 件;
方案 3:A 种品牌运动装采购 20 件,B 种品牌运动装采购 50 件. ……………… 8 分
25.解:(1)△ABB′为等边三角形. ………………………………………………………… 1 分
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理由:∵ EF 为矩形纸片 ABCD 对折的折痕
∴ AE=BE EF⊥AB
∴ AB′=BB′
∵ △AB′G 是△ABG 折叠而成
∴ AB=AB′
∴ AB=AB′=B′B
∴ △ABB′为等边三角形. ……………………………………………………… 4 分
(2)作△BB′E′的中线 BH,∵ M 是 BE 的中点,
∴ 点 H 与点 M 是对应点.
∴ ME=HE′ MB=HB′
∠E′HB= ∠EMB′ ∠B′HB= ∠BMB′
∵ MN 为矩形纸片 BCFE 对折的折痕
∴ ME=MB ∠EMB′= ∠BMB′= 90°
又∵ BH=BH
∴ △BHE′≌△BHB′(SAS)
∴ ∠HBE′= ∠HBB′
∵ △AGB′是△AGB 折叠而成,
∴ ∠AB′G= ∠ABG= 90°,BG=B′G.
∵ ∠BHB′= 90°,
∴ ∠BHB′+∠AB′G= 180°,
∴ BH∥GB′,
∴ ∠HBB′= ∠GB′B.
∵ BG=B′G,
∴ ∠B′BG= ∠GB′B.
又∵ ∠HBE′= ∠HBB′,
∴ ∠HBE′= ∠HBB′= ∠GBB′,
∴ ∠IBB′= ∠HBB′= ∠HBE′,
∴ ∠NBB′= 2∠B′BC. ……………………………………………………………… 8 分
26.解:(1)抛物线 L2 对应的函数关系式为 y= 2x2 +4x-6 ………………………………… 2 分
(2)连接 AC 交对称轴直线 x = -1 于点 P,连接 BP,交 y
轴于点 E,此时△BPC 的周长最小.
直线 AC 的解析式为 y= x+3
当 x= -1 时,y= 2
∴ 点 P 的坐标为(-1,2)
又∵ 点 B 的坐标为(1,0),
∴ 直线 PB 的解析式为 y= -x+1,
∴ E 点坐标为(0,1),
∴ CE=OC-OE= 2,
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∴ S△BPC =
1 CE·BF
2
= 1 ×2×2
2
= 2 ………………………………………………………………………… 6 分
(3)由题意得,OA=OC= 3
∴ △AOC 为等腰直角三角形
∵ 抛物线 L1:y = -x2 -2x+3
= -(x+1) 2 +4
∴ 顶点 D(-1,4)
由题意可知∠PDQ 不可能为直角,
①当∠DPQ= 90°时,如图 1,
△DPQ∽△AOC 或△DPQ∽△COA,
则 DP=QP
设 Q(m,-m2 -2m+3)
∴ QP= -1-m
DP= 4-(-m2 -2m+3)
∴ -1-m= 4-(-m2 -2m+3)
解得 m1 = -1(舍去) m2 = -2 图 1
∴ 当 m= -2 时,-m2 -2m+3 = 3
∴ P(-1,3) ………………………………………………………………………… 8 分
②当∠DQP= 90°时,如图 2,
△DPQ∽△ACO 或△DPQ∽△CAO,
过点 Q 作 QM⊥DP,垂足为点 M,
则 DM=QM=MP
由①可知 M(-1,3)
∴ MP=DM= 1
∴ P(-1,2)
综上所述:点 P 的坐标为 P(-1,3)或(-1,2)
………………………………………………… 10 分 图 2
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