(共16张PPT)
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
一、知识要点
（一）、分解因式的定义
（二）、分解因式的方法
（三）、分解因式的一般步骤
（一）分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。
即：一个多项式 →几个整式的积
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
（1）、提取公因式法：
解： p（y－x）－q（y－x）
= （y－x）（ p －q）
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] 练习
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方和公式 ] 练习
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方差公式 ]
运用公式法中主要使用的公式有如下几个：
（三）分解因式的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
练习题
② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。
③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分解。
练习题：
把下列各式分解因式：
（ x －y）3 － （ x －y）
a2 － x2y2
解： （ x －y）3 － （ x －y）
= （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1）
a2 － x2y2
=（a ＋xy）（ a － xy ）
1、对下列多项式进行因式分解：
（1）-5a2+25a;(2)3a2-9ab;
(3)25x2-16y2; (4)x2+4xy+4y2.
2、把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；
练习题： 分解因式 x2－（2y）2
a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
解： x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
1．把下列各式因式分解：
(1)(m +n)2-n2；
(2)169(a-b)2-196(a+ b)2；
(3)(2x+y)2-(x+2y)2；
(4)(a+ b+c)2-(a+b-c)2；
(5)4(2p+3q)2 -(3p-q)2；
(6)(x2+y2)2-x2y2．
2．分解因式：
(1)81a4-b4； (2)8y4-2y2；
(3)3ax2-3ay4； (4)m4-1．
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋x＋2y2 B、 x2 ＋4x－4
C、x2＋4xy＋y2 D、 y2 －4xy＋4 x2
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
D
1．将下列各式因式分解：
(1)x2+2x+1；
(2)4a2+4a+1；
2．将下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
三、小结
1、分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。
2、分解因式的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
(1)x4-9x2；
(2)-5x3+5x2+10x；
(3)(a+b)(c-d)-2(a+b)·(c+d)；
(4)(a-b)(a-c)+(b-a)·(b-c)；
(5)8x2-2y2；
(6)x5-x3；
(7)9(x+y)2-(x-y)2；
(8)4b2c2-(b2+c2-a2)2；
(9)(x2+4)2-16x2；
(10)m2(m+n)2-n2(m-n)2；
(11)2a2(a+b)2-3(a+b)3．
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!(共17张PPT)
—平方差公式
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
回顾 & 思考
（2）
（3）
（1）3a3b2－12ab3
（4）a(x － y)2 － b(y－ x)2
一看系数 二看字母 三看指数
关键确定公因式
最大公约数
相同字母最低次幂
例1、把下列各式分解因式：
回顾 & 思考
①25 x2 ＝ (_____)2
②36a4 ＝ (_____)2
③0.49 b2 ＝ (_____)2
④64x2y2 ＝ (_____)2
⑤ ＝ (_____)2
5 x
6a2
0.7 b
8xy
填空
回顾 & 思考
1）
（整式乘法）
（分解因式）
2）
3)
______
1 － 9a2
口算
(1) 下列多项式中，他们有什么共同特征
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
① x2－25
② 9x2－ y 2
探索 & 交流
□－△
2
2
a2 b2= (a+b)(a b)
2
2
□－△＝(□＋△)(□－△)
2
2
☆－○＝(☆＋○)(☆－○)
议一议
说说平方差公式的特点
两数的和与差相积
两个数的平方差；只有两项
形象地表示为
①左边
②右边
相同项
相反项
学以致用
例1、把下列各式分解因式：
（1） 25 － 16x2
（3） － 16x2 ＋81y2
解(1)原式= 52－(4x)2
=(5+4x)(5-4x)
□－△
2
2
先化为
学一学
例2 :把下列各式分解因式
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2
② 2x3 － 8x
首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式
解：原式＝2x(x2-4)
＝2x(x2-22)
＝2x(x+2)(x-2)
有公因式，哦
□－△
2
2
能否化为
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
＝(4m+2n) (2m+4n)
＝4 (2m+n) (m+2n)
解：原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2
□－△
2
2
先化为
在多项式x +y , x -y ,-x +y , -x -y 中,能利用平方差公式分解的有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
B
想一想
随堂练习
(1)x +y =(x+y)(x+y) ( )
(2)x -y =(x+y)(x-y) ( )
(3)-x +y =(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x -y =-(x+y)(x-y) ( )
1、判断正误
2、把下列各式分解因式：
(1)a2b2－m2
(2)(m－a)2－(n＋b)2
(3)x2－(a＋b－c)2
回顾 & 小结
你有什么收获
①运用a2 b2= (a+b)(a b)分解因式
首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式
②分解因式顺序
3、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢
a
b
a2 4b2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。
分解到不能再分解为止
已知, x+ y =7, x-y =5,求 x 2- y2-2y+2x 的值.
思维拓展
① x5 － x3
② x6 － 4x4
③ (x － 1) ＋b2 (1 －x)
④(a 2 ＋ b 2) 2－(b 2 ＋ c 2 )2
结束寄语
一个人只要坚持不懈地追求,他就能达到目的.(共14张PPT)
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
1.整式乘法有几种形式
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
3.试计算:
(1) 3a(a-2b+c)
(2) (a+3)(a-3)
(3) (a+2b)2
(4) (a-3b)2
解: (1) 3a(a-2b+c)
=3a2-6ab+3ac
(2) (a+3)(a-3)=a2-9
(3) (a+2b)2=a2+4ab+4b2
(4) (a-3b)2= a2-6ab+9b2
做一做
计算下列各式:
3x(x-1)= _____
m(a+b+c) = _____
(m+4)(m-4)= ____
(x-3)2= _______
a(a+1)(a-1)= ____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______
(2) ma+mb+mc=______
(3) m2-16=_________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
993-99能被100整除吗
你是怎样想的 与同伴交流.
小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗
想一想: 993-99还能被哪些整数整除
分解因式定义
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
● 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系
分解因式与整式乘法是互逆过程
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-42=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
练习二 试一试
把下列各式写成乘积的形式:
(1). 1-x2
(2). 4a2+4a+1
(3). 4x2-8x
(4). 2x2y-6xy2
(5). 1-4x2
(6). x2-14x+49
=(1+x)(1-x)
=(2a+1)2
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1-2x)(1+2x)
=(x-7)2
练习三 拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
.规律总结
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
课后练习
若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
课后练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙工人每天加工19个零件，丙工人每天加工18个零件，三人需共同做12天才能做完，要加工的零件共有多少？
结束寄语
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装知道.(共29张PPT)
—完全平方公式
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
上节课的回顾
练习:
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ）
A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
2、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，
他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差
公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 □ －
（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共
有（ ）
A、2种 B、3种 C、4种 D、5种
3、把下列各式分解因式
（1）、
（2）、16x2－4y2
（3）、m2（x－y）＋n2（y－x）
（4）、(x2+y2)2－4x2y2
（5）、2－8（a－b）2
（6）、16（a－1）2－（a＋2）2
（7）、
4、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）
(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m)
(C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)
5、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a2+b2 (B)-x2-y2
(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2
现在我们把这个公式反过来
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”
我们把以上两个式子叫做完全平方式
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍
判别下列各式是不是完全平方式
是
是
是
是
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2倍
请同学们根据完全平方式的特点再写出几个完全平方式
下列各式是不是完全平方式
是
是
是
否
是
否
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
=(首±尾)2
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
请同学们再自己写出一个完全平方式,然后分解因式
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
D
C
3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、 D、
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
D
D
5、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
6、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
B
A
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
B
B
9、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
10、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2
C
A
思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+( )
小结：
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
完全平方式具有：
1. 25x4＋10x2＋1
2 .－x2－4y2＋4xy
3. 3ax2＋6axy＋3ay2
练习：分解因式
4.-2a3b3+4a2b3-2ab3
5. 9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
6. (y2 + x2 )2 - 4x2y2
分解因式
2、(a+b)2＋2(a+b)(a-b) ＋(a-b)2
思考：
分 解 因 式
3、(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2
1、16x4-8x2＋1
随堂练习
阅读下列计算过程：
99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4
（1）．计算：
999×999+1999=_____=_____=________=________；
9999×9999+19999=_______=______=______=______。
（2）．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于
多少？写出计算过程。
结束寄语
读书要从薄到厚,再从厚到薄.
下课了!(共16张PPT)
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
a c+ b c
3 x2 +x
30 m b2 + 5n b
3x+6
a2 b – 2a b2 + ab
7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
下列各多项式有没有共同的因式？
c
x
5b
3
ab
a-3
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式与多项式的各项有什么关系？怎样确定多项式的公因式？
正确找出多项式各项公因式的关键是什么？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
字母： 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
4、多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式
例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式。
系数：最大
公约数。
3
字母：相同字母
x
所以，公因式是3 x 。
指数：最低次幂
1
7x2 -21x
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
m b2 + n b
7x 3y2 –42x2y 3
a2 b – 2a b2 + abc
下列各式的公因式分别是什么？
7 ( x – 3 ) – x ( 3 – x )
提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，
那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这
种分解因式的方法叫做提公因式法。
例1:把 9x2 –6 x y+3x z分解因式.
=
3x 3x-3x 2y+3xz
解：
=
3x(3x-2y+z)
9x2 –6 x y+3x z
分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式 ，即
用多项式除以公因式
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab 8a2 b-ab 12 b2 c+ab 1
=ab(8a2 b- 12 b2 c)
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
错误
考一考：
把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
=
-(4x 6x2+4x 3x-4x 7)
解：
-24x3 –12x2 +28x
=
=
-(24x3 +12x2 -28x)
-4x(6x2 +3x-7)
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
一次函数y=
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
1、多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
25x-5
3 x3 -3x2 –9x
8a 2c+ 2b c
-4a 3b3 +6 a2 b-2ab
-2x2 –12xy2 +8xy3
把下列各式分解因式：
想一想：
提公因式法分解因式与单项
式乘多项式有什么关系？
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知a+b=3,ab=2,求代数式
a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值。
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
1、确定公因式的方法：
1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
小结
2、提公因式法分解因式：
两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式.
44页习题第1题、第2题。(共11张PPT)
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
分解因式：
思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
回忆搭桥
找一找：下列各式中的公因式是什么？
初用结论
探索结论
判断：下列各式哪些成立？
你能得到什么结论？
成立的有：（2）、（4）、（5）
试分解下列因式
深入探究
开阔视野
分解下列因式
开启智慧
展示自我
这节课你学到些什么？
构建网络
1.用到哪些数学思想？
2.知道哪些解决的方法？
3.学到哪些数学知识？
作业：书上第47页习题2.3
补充作业：
课后韵味
结束寄语
要珍惜时间，思考一下一天之中做了些什么？是“正号”还是“负号”，倘若是“+”，则进步；倘若是“-”，就得吸取教训，采取措施。
广21世纪数痘
27世纪数育
www.
