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第07讲 实数
知识点1：有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式；
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2 ：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数；
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.
考点剖析
考点一：无理数
【典例1】下列各数3，，，，，其中无理数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】在实数3，，，，中，无理数有，，共2个，
故选：C．
【变式1-1】下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415926 B． C． D．
【答案】B
【解析】A、3.1415926是有限小数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是整数不是无理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】给出下列实数：，，，，，，，，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】∵，，
∴无理数有：，，共3个．
故选B．
【变式1-3】在下列各数中是无理数的有（ ）
，，0，，，，，，（相邻两个之间依次多一个0）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】，0，，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；
∴无理数有：，，（相邻两个1之间依次增加1个0）共3个．
故选：C．
考点二：实数的相关概念及分类
【典例2】0，，，2023，，（两个1之间依次增加一个2）．
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【解析】正数集合：{，，2023}；
负数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）}；
有理数集合：{0，，2023，}；
无理数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）}．
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【答案】C
【解析】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式2-2】把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合：{ }；无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；负实数集合：{ }．
【解析】∵，
∴中
有理数集合为：{，，，}；
无理数集合为：{，，，}；
正实数集合为：{，，，，}；
负实数集合为：{，，}．
考点三：实数的性质
【典例3】的相反数是 ，的绝对值是 ．
【答案】；
【解析】的相反数是，
∵，
∴的绝对值是，
故答案为：；．
【变式3-1】的绝对值是 ，的相反数是 ，的算术平方根是 ．
【答案】；2；2
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∵，的相反数是2，
∴的相反数是2，
∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2，
故答案为：；2；2．
【变式3-2】 ，的相反数是 ．
【答案】；
【解析】，
，
，
的相反数是，即．
故答案为：；．
考点四：实数与数轴
【典例4】图（1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．
(1)在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________；
(2)现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
【解析】（1）∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为；
∴，∴，
故答案为：10，；
（2）∵，
∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或．
【变式4-1】如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点的位置，则此时点表示的数是 ．
【答案】
【解析】由题意得，点表示的数是，
故答案为：．
【变式4-2】如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，点表示的数为，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵面积为2的正方形，
∴，
由作图可知：，
∴点表示的数是．
故选D．
【变式4-3】如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形．若将图中的小正方形放到图的数轴上，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】大正方形的面积为，
大正方形的边长为，
由题意得：小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即小正方形的对角线长为，
将图中的小正方形放到图的数轴上，则点离原点的距离为，
又点在原点的左侧，
则点表示的数是，即．
故选：A．
考点五：实数的大小比较
【典例5】比较实数的大小： ．
【答案】>
【解析】
故答案为：．
【变式5-1】比较大小： 4（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-2】比较大小：（1） ；（2） ．
【答案】；
【解析】根据负数小于0得，，
∵，且，
∴，
故答案为：；．
【变式5-3】下列各数中最大的是（ ）
A．5 B．0 C． D．
【答案】A
【解析】，
故最大的数是5．
故选：A．
考点六：估算无理数大小
【典例6】估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
【变式6-1】若是两个连续的整数且，则 ．
【答案】7
【解析】，
，即，
是两个连续的整数，且，
，，
，
故答案为：7．
考点七：无理数整数部分或小数部分的有关计算
【典例7】阅读下面的材料，解答问题．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请根据材料解答：
(1)的整数部分是____，小数部分是____；
(2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，请求出的值．
【解析】（1）∵，
∴，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5；；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【变式7-1】的整数部分是a，的整数部分是b，则 .
【答案】5
【解析】∵，
∴，
∴，，
∵的整数部分是a， 的整数部分是b，
∴， ，
∴．
故答案为：5．
【变式7-2】阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，
∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的值．
【解析】（1），即，
的整数部分为，小数部分为，
故答案为：；；
（2），即，
的整数部分为，小数部分为，
即，
的整数部分，
；
（3），即，
，
的整数部分为，小数部分为，
又，且，
，，
．
考点八：实数运算
【典例8】计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式8-1】计算：．
【解析】
．
【变式8-2】计算：．
【解析】
．
【变式8-3】计算：．
【解析】原式
．
考点九：程序设计与实数的运算
【典例9】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，
，
∵是有理数，
∴倒回运算，
∴，
故选：．
【变式9-1】如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，取算术平方根为9，是有理数，
代入，取算术平方根为3，是有理数，
代入，取算术平方根为，是无理数，则输出为．
故选：A．
【变式9-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，则第2024次输出的结果为 ．
【答案】3
【解析】第一次输出结果为24；
第二次输出结果为12；
第三次输出结果为6；
第四次输出结果为3；
第五次输出结果为6；
第六次输出结果为3；
第七次输出结果为6；
…
经分析可得：自第三次开始，输出结果分别为6、3、6、3…，依次循环．
∵，，
∴第2024次输出的结果是3．
故答案为3．
考点十：新定义下的实数运算
【典例10】对于实数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，，则和的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意得：，，
∴和的距离为，
故选：C．
【变式10-1】定义运算符号“”的运算法则为，则 ．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：．
【变式10-2】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴原式
，
故答案为：．
考点十一：实数中的实际应用题
【典例11】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
【解析】（1）长方形长宽之比为，
设该长方形花坛长为米，宽为米，
依题意得：，
，
∴或（不合题意，舍去），
，
答：该长方形的长30米，宽20米；
（2）不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
两个小正方形的边长比为，
设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：，
，
，
或（不合题意，舍去），
，
，
所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【变式11-1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】∵矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【变式11-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
【解析】（1）∵，
∴当时，；
（2）（次）．
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
考点十二：实数中的规律探究题
【典例12】观察下列各式：
第一个式子：；
第二个式子：；
第三个式子：；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求＋…＋的值．
【解析】（1）观察题中所给式子可知，
第四个式子为：．
故答案为：．
（2）由（1）中的发现可知，
第个式子为：．
故答案为：为正整数）．
（3）原式
．
【变式12-1】有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，数列中的数按负数、负数、正数循环出现，
又因为……1，
所以第个数是负数．
将改写成可发现，
分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，
所以第2023个数的分母是；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，
所以第2023个数是．
故选：D．
【变式12-2】将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ．
【答案】27
【解析】观察式子可得，
第1排的个数为，前1排的总数为，
第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列，
……
第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
因为，，
所以是在第45排，即，
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为，所以，
将，代入得，
故答案为：27．
过关检测
一、选择题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴最小的数是，
故选A．
2．实数2的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】实数2的相反数是，故选B．
3．在实数，，，，，中，无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意．
综上：无理数有、、，共3个，
故选：B．
4．估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
即，
故选：B．
5．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
则，
，
，
．
故选：D．
6．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数只需进行3次操作后变成1，类似地，使数变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】．
∴对只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．有理数和数轴上的点是一一对应的 B．任意一个无理数的绝对值都是正数
C．负数没有立方根 D．一个无理数乘以一个有理数结果一定是无理数
【答案】B
【解析】A、实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、任意一个无理数的绝对值都是正数，正确，是真命题，符合题意；
C、负数的立方根是负数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一个无理数乘以一个有理数结果一定是无理数，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
8．如图，已知数轴上A，B两点分别对应实数和，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵数轴上A，B两点分别对应实数和，
∴A、B两点间的距离，
故选：A．
二、填空题
9．的相反数是 ；的绝对值是 ．
【答案】；
【解析】的相反数是，的绝对值是，
故答案为：；．
10．若的值在两个整数与之间，则 ．
【答案】2
【解析】,
的值在两个整数2与3之间，
可得，
故答案为：2．
11．计算： ．
【答案】0
【解析】原式．
故答案为：0．
12．已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，例如：，计算： = ．
【答案】13
【解析】，
故答案为：13.
13．如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．
【答案】3
【解析】∵正方形的面积为12，∴正方形的边长为，
∵，∴，
∵，∴，
∴最接近的整数为3．
故答案为：3．
14．比较大小： ．
【答案】
【解析】，，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题
15．计算：
【解析】
．
16．某数学学习小组在学习《算术平方根》之后进行了拓展研究，新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由；
(2)若三个数，，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值；
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
【解析】（1），，，
，，这三个数是“组合平方数”；
（2），，是“组合平方数”，
，，都是整数，
或，
①当时，，
则，符合题意；
②当时，，
，，互不相等，
不符合题意，
综上：；
（3）①，，，
，，，
，，是“组合平方数”；
②，，，
，，，
，，是“组合平方数”．
17．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
(1)点表示的数为 ；点表示的数为 ，线段的长度为 ；
(2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ；
②求的值；
(3)在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根．
【解析】（1）∵正方形的面积分别为和，
∴边长分别为，，
∴根据图示，点表示的数为，点表示的数为，线段的长度为，
故答案为：；；．
（2）①点表示的数为，向右爬了个单位长度，
∴点表示的数；
②
．
（3）∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，，则，
当时，，则；
当时，，则．
当时，，没有平方根；
当时，．
综上，的平方根为．
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第07讲 实数
知识点1：有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式；
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2 ：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数；
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.
考点剖析
考点一：无理数
【典例1】下列各数3，，，，，其中无理数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415926 B． C． D．
【变式1-2】给出下列实数：，，，，，，，，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】在下列各数中是无理数的有（ ）
，，0，，，，，，（相邻两个之间依次多一个0）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二：实数的相关概念及分类
【典例2】0，，，2023，，（两个1之间依次增加一个2）．
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【变式2-2】把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合：{ }；无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；负实数集合：{ }．
考点三：实数的性质
【典例3】的相反数是 ，的绝对值是 ．
【变式3-1】的绝对值是 ，的相反数是 ，的算术平方根是 ．
【变式3-2】 ，的相反数是 ．
考点四：实数与数轴
【典例4】图（1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．
(1)在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________；
(2)现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
【变式4-1】如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点的位置，则此时点表示的数是 ．
【变式4-2】如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，点表示的数为，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形．若将图中的小正方形放到图的数轴上，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
考点五：实数的大小比较
【典例5】比较实数的大小： ．
【变式5-1】比较大小： 4（填“>”，“<”或“=”）．
【变式5-2】比较大小：（1） ；（2） ．
【变式5-3】下列各数中最大的是（ ）
A．5 B．0 C． D．
考点六：估算无理数大小
【典例6】估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
【变式6-1】若是两个连续的整数且，则 ．
考点七：无理数整数部分或小数部分的有关计算
【典例7】阅读下面的材料，解答问题．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请根据材料解答：
(1)的整数部分是____，小数部分是____；
(2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，请求出的值．
【变式7-1】的整数部分是a，的整数部分是b，则 .
【变式7-2】阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，
∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的值．
考点八：实数运算
【典例8】计算：
(1)；
(2)．
【变式8-1】计算：．
【变式8-2】计算：．
【变式8-3】计算：．
考点九：程序设计与实数的运算
【典例9】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，则第2024次输出的结果为 ．
考点十：新定义下的实数运算
【典例10】对于实数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，，则和的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式10-1】定义运算符号“”的运算法则为，则 ．
【变式10-2】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为 ．
考点十一：实数中的实际应用题
【典例11】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
【变式11-1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式11-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
考点十二：实数中的规律探究题
【典例12】观察下列各式：
第一个式子：；
第二个式子：；
第三个式子：；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求＋…＋的值．
【变式12-1】有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ．
过关检测
一、选择题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．实数2的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
3．在实数，，，，，中，无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
5．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数只需进行3次操作后变成1，类似地，使数变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．有理数和数轴上的点是一一对应的 B．任意一个无理数的绝对值都是正数
C．负数没有立方根 D．一个无理数乘以一个有理数结果一定是无理数
8．如图，已知数轴上A，B两点分别对应实数和，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．的相反数是 ；的绝对值是 ．
10．若的值在两个整数与之间，则 ．
11．计算： ．
12．已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，例如：，计算： = ．
13．如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．
14．比较大小： ．
三、解答题
15．计算：
16．某数学学习小组在学习《算术平方根》之后进行了拓展研究，新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由；
(2)若三个数，，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值；
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
17．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
(1)点表示的数为 ；点表示的数为 ，线段的长度为 ；
(2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ；
②求的值；
(3)在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根．
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