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第09讲 坐标方法的简单应用
知识点1：用坐标表示地理位置过程
1.建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴和y轴的正方向；
2.根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
知识点2：坐标的平移
在平面直角坐标系内，
如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度．
点的平移规律：
左右平移-纵坐标不变，横坐标左减右加
上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减
考点剖析
考点一：用坐标表示地理位置
【典例1】如图是某学校的平面示意图，图中每个小方格都是边长为1的正方形，已知寅格楼的坐标为，国维楼的坐标为，请解答以下问题：
(1)根据上述信息建立平面直角坐标系，并写出德斋、马约翰体育馆的坐标；
(2)若南门的坐标为，请在平面直角坐标系中标出南门的位置．
【解析】（1）建立的平面直角坐标系如图所示，
德斋，马约翰体育馆．
（2）如图所示．
【变式1-1】如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）
A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【答案】B
【解析】∵目标B用表示，目标D用表示，
∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
∴表示为的目标是：C．
故选：B．
【变式1-2】淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向
C．北偏东20°方向 D．北偏东70°方向
【答案】D
【解析】如图，∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．故选D．
【变式1-3】如图，这是某校的平面示意图，图中每个小正方形的边长为1，已知艺体馆的坐标是，图书馆的坐标是．
(1)写出表示坐标原点的建筑物，并在图中画出相应的平面直角坐标系；
(2)分别用坐标表示校门、升旗台、实验楼和宿舍楼的位置．
【解析】（1）根据题意，得到以教学楼所在位置为坐标原点，建立坐标系，如图所示：
（2）由图可知：校门，升旗台，实验楼，宿舍楼．
考点二：沿x轴、y轴平移后的坐标
【典例2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为，故选：D．
【变式2-1】把点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把点先向右平移3个单位长度，得到，
再向上平移4个单位长度，得到．
故选：A．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，将点沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点沿x轴向右平移3个单位到Q点，
即Q点的横坐标加3，纵坐标不变，即Q点的坐标为．
故选：D．
【变式2-3】将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】点的横坐标为，纵坐标为，
所以点的坐标是．
故答案为：．
考点三：已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【典例3】在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵将线段平移后得到线段，点的对应点为点，
∴平移规则为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即：，
故选A．
【变式3-1】如图，把△平移得到△，若顶点的对应点 的坐标为，则顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把平移得到，若顶点的对应点 的坐标为，
可知，平移的方向是沿着x轴正方向平移2个单位长度，
所以顶点的对应点C'的坐标，
故选：A．
【变式3-2】线段是由线段平移得到的，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【解析】点的对应点是点可得，线段向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，
则点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，为，
即点的坐标是，
故答案为：．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移使得一个端点与点重合，已知点，，，则线段平移后另一个端点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】如图，当平移到，
∵，，，
∴，即，
当平移到，
∵，，，
∴，即；
∴平移后另外一个端点坐标为：或．
故答案为：或
考点四：已知图形的平移，求点的坐标
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点的对应点D的坐标为，
平移规律为向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
的对应点C的坐标为．
故选：D．
【变式4-1】如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵的对应点C的坐标为，
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点的对应点为D，
∴D的坐标为．
故选：A．
【变式4-2】如图，△顶点，的坐标分别为，，将△平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由题可知平移后得到点，
∴是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点，
故答案为．
考点五：已知平移后的坐标求原坐标
【典例5】将点A先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
【答案】D
【解析】∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），
∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8，
∴A点坐标为（﹣3，8）．
故选D．
【变式5-1】已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点的坐标为（ ）
A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3）
【答案】D
【解析】由题意，点A向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度得到A1（4， 3），
∴点A坐标（4 2， 3＋6），即（2，3），
故选：D．
【变式5-2】将点先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是
【答案】
【解析】由题意得：点，先向右平移2个单位长度，得到，
再向下平移3个单位长度，得到，
故答案为：．
【变式5-3】将点P(x，4)向右平移3个单位长度得到点(5，4)，则P点的坐标是 ．
【答案】（2,4）
【解析】∵将点向右平移3个单位长度，
∴得到的点的坐标是，
解得：
故答案为
考点六：平移与动点问题
【典例6】如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．
(1)求C，D两点的坐标及四边形的面积；
(2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由．
【解析】（1），
，
，
将点A，B分别向下平移4个单位长度，向左平移1个单位长度，
，
；
（2）由（1）中、，可得；
如下图所示，过点作，
，
，
，不发生变化．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？
(3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【解析】（1）将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，
可得：，，
故答案为：，3；，；
（2）设秒后轴，则有，
解得，
时，轴；
（3）①如图1中，当点在直线的左侧或上时，，
．
②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的左侧时，，
③如图3中，当点在直线的右侧时，，
．
综上所述，与的关系为：或或．
【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【解析】（1）∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3），理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
，
∴，
∴，，
∴．
过关检测
一、选择题
1．根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．某电影院排 B．胜利西路 C．北偏东 D．东经，北纬
【答案】D
【解析】A．某电影院排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
B．胜利西路，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
C．北偏东，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
D．东经，北纬，能确定具体位置，故此选项符合题意．
故选：D．
2．将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则，
即，在第二象限，故选：B．
3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可建立如下平面直角坐标系，∴小刚的位置可以表示成，故选A．
4．若将点先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，将点A先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得，
∵得到的，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点的对应点的坐标为，那么点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到线段，
点的对应点的坐标为，即．
故选：D．
6．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵，，，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：D．
7．若点为线段上一点，现将线段连同点P一起向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点跟随线段连同点P一起向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
则点的横坐标相应减小3个单位长度，纵坐标相应减小2个单位长度，
即平移后点P的坐标为，
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，将点向左平移得到点，则平移的单位长度个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】将点向左平移得到点，平移的单位长度为：，
故选：C．
二、填空题
9．一只小虫从点出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是 ．
【答案】
【解析】∵小虫从点出发，向右跳4个单位长度到达点B处，
∴点B的坐标是，即．
故答案为：．
10．观察中国象棋的棋盘，其中黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示，红“马”走完几步后到达点 B，则表示点 B位置的平面坐标是 ．
【答案】
【解析】∵黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示，
∴平面直角坐标系如图所示：
∴表示点 B位置的平面坐标是．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，线段两个端点，．将线段平移后，点的新坐标为，则点B的新坐标为 ．
【答案】
【解析】线段两个端点，将线段平移后，点的新坐标为，
线段向左平移7个单位长度，向下平移5个单位长度，
，点新坐标为，即，
故答案为： ．
12．天文学家以流星雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名，狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图放在正方形网格中．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图所示，
根据坐标系可得：，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边与轴平行且，，点坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】∵长方形中，，，点坐标为，
∴点D的坐标是，即，
∵点B坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，
∴点B是向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点，
∵点的平移规律和点B的平移规律相同，
∴点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
三、解答题
14．如图，△在平面直角坐标系中．
(1)将△经过向左平移一个单位，再向上平移个单位后得到，试画出平移后的图形；
(2)求出△的面积．
【解析】（1）如图，即为所求；
（2）的面积
15．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接，．
(1)请直接写出，两点的坐标；
(2)如图，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2），
理由：如图，过点作直线，
，
线段由线段平移得到，
，，
，
，
∴；
（3）如图，依题意可得，，，，
，，，
，
当点在轴上时，设点，
则，
，
，
或；
②当点在轴上时，设点，
则，
，
，
或，
综上所述，存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等，点的坐标为或或或．
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第09讲 坐标方法的简单应用
知识点1：用坐标表示地理位置过程
1.建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴和y轴的正方向；
2.根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
知识点2：坐标的平移
在平面直角坐标系内，
如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度．
点的平移规律：
左右平移-纵坐标不变，横坐标左减右加
上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减
考点剖析
考点一：用坐标表示地理位置
【典例1】如图是某学校的平面示意图，图中每个小方格都是边长为1的正方形，已知寅格楼的坐标为，国维楼的坐标为，请解答以下问题：
(1)根据上述信息建立平面直角坐标系，并写出德斋、马约翰体育馆的坐标；
(2)若南门的坐标为，请在平面直角坐标系中标出南门的位置．
【变式1-1】如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）
A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F
【变式1-2】淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向
C．北偏东20°方向 D．北偏东70°方向
【变式1-3】如图，这是某校的平面示意图，图中每个小正方形的边长为1，已知艺体馆的坐标是，图书馆的坐标是．
(1)写出表示坐标原点的建筑物，并在图中画出相应的平面直角坐标系；
(2)分别用坐标表示校门、升旗台、实验楼和宿舍楼的位置．
考点二：沿x轴、y轴平移后的坐标
【典例2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】把点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，将点沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
考点三：已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【典例3】在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，把△平移得到△，若顶点的对应点 的坐标为，则顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】线段是由线段平移得到的，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是 ．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移使得一个端点与点重合，已知点，，，则线段平移后另一个端点的坐标为 ．
考点四：已知图形的平移，求点的坐标
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图，△顶点，的坐标分别为，，将△平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
考点五：已知平移后的坐标求原坐标
【典例5】将点A先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
【变式5-1】已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点的坐标为（ ）
A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3）
【变式5-2】将点先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是
【变式5-3】将点P(x，4)向右平移3个单位长度得到点(5，4)，则P点的坐标是 ．
考点六：平移与动点问题
【典例6】如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．
(1)求C，D两点的坐标及四边形的面积；
(2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？
(3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【变式6-2】如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
过关检测
一、选择题
1．根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．某电影院排 B．胜利西路 C．北偏东 D．东经，北纬
2．将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．
4．若将点先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点的对应点的坐标为，那么点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．若点为线段上一点，现将线段连同点P一起向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将点向左平移得到点，则平移的单位长度个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．一只小虫从点出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是 ．
10．观察中国象棋的棋盘，其中黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示，红“马”走完几步后到达点 B，则表示点 B位置的平面坐标是 ．
11．在平面直角坐标系中，线段两个端点，．将线段平移后，点的新坐标为，则点B的新坐标为 ．
12．天文学家以流星雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名，狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图放在正方形网格中．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边与轴平行且，，点坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．
三、解答题
14．如图，△在平面直角坐标系中．
(1)将△经过向左平移一个单位，再向上平移个单位后得到，试画出平移后的图形；
(2)求出△的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接，．
(1)请直接写出，两点的坐标；
(2)如图，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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