中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 平行线及其判定
知识点1：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，b∥c，那么a∥c．
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性．
知识点3：平行线的判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成： 同位角相等，两直线平行．
几何语言：
∵∠1＝∠2，
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
∵∠2＝∠3，
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行．
∵∠4＋∠2＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
考点剖析
考点一：平行线的定义
【典例1】在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．两条不相交的直线是平行线
【变式1-2】如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ．
【变式1-3】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有 条．
考点二：平行线公理及推论
【典例2】是直线，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2-1】如果，那么 ．
考点三：平行线判定-同位角相等，两直线平行
【典例3】如图，点A在射线上，点C在射线上，，．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵（已知），，
∴______，
∵（已知），
∴______（______），
∴（______）．
【变式3-1】下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1） （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
【变式3-2】已知：如图，直线与被所截，．求证：．
【变式3-3】如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．
考点四：平行线判定-内错角相等，两直线平行
【典例4】如图，已知于点于点．试说明：．
解：（已知），
（__________）．
同理，．
（__________），
即．
（已知）
_______（___________）．
∴__________（____________）．
【变式4-1】如图所示，已知，平分，试说明．
【变式4-2】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．
请完善下列解题过程．
解：与的位置关系是___________．
，分别是，的平分线（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
【变式4-3】如图，点在上，，且平分．
(1)平分吗？试说明理由．
(2)若，，求证：．
考点五：平行线判定-同旁内角互补，两直线平行
【典例5】如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．
【变式5-1】如图，已知，求证：∥．
过关检测
一、选择题
1．如图，已知，要使，则需具备的另一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
①在同一平面内，两条直线不平行就相交；②如果线段与线段不相交，那么直线和平行；③如果，，那么；④同旁内角相等，两直线平行．（ ）
A．③ B．②③ C．①③ D．①②③
3．如图，能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作：
①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；
②用三角板的斜边靠上直线；
③沿三角板斜边画直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边．
正确的操作顺序是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①
6．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）度
A． B． C． D．
7．如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，，，则下列结论不正确的是( )
A． B．
C．若，则 D．若，则
8．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐
9．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
10．下列语句中正确的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
⑤如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行
A．1 B．2 C．3 D．4
11．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是( )
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°
二、填空题
12．如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可）
13．如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．
三、解答题
14．如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：．
因为平分（ ），
所以 = （ ），
又因为（ ），
所以（ ）．
所以（ ）．
15．如图，点分别在上，于点．
(1)求证∶；
(2)若，求证∶．
16．如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 平行线及其判定
知识点1：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，b∥c，那么a∥c．
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性．
知识点3：平行线的判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成： 同位角相等，两直线平行．
几何语言：
∵∠1＝∠2，
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
∵∠2＝∠3，
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行．
∵∠4＋∠2＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
考点剖析
考点一：平行线的定义
【典例1】在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合
【答案】C
【解析】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确．
故选：C．
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．两条不相交的直线是平行线
【答案】C
【解析】A、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意；
C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意；
D、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意．
故选：C．
【变式1-2】如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ．
【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行．
【变式1-3】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有 条．
【答案】3
【解析】在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行，
则可得与直线相交的直线至少有3条，
故答案为：3．
考点二：平行线公理及推论
【典例2】是直线，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；
D、若，则，正确，符合题意．
故选：D
【变式2-1】如果，那么 ．
【答案】/
【解析】如果，那么（平行于同一直线的两直线平行），
故答案为：．
考点三：平行线判定-同位角相等，两直线平行
【典例3】如图，点A在射线上，点C在射线上，，．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵（已知），，
∴______，
∵（已知），
∴______（______），
∴（______）．
【答案】；；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】∵（已知），，
∴，
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【变式3-1】下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1） （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】∵，
∴（同位角相等，两直线平行）．
故选：D．
【变式3-2】已知：如图，直线与被所截，．求证：．
【解析】∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【变式3-3】如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．
【解析】因为平分，
所以．
因为，，
所以，
所以．
考点四：平行线判定-内错角相等，两直线平行
【典例4】如图，已知于点于点．试说明：．
解：（已知），
（__________）．
同理，．
（__________），
即．
（已知）
_______（___________）．
∴__________（____________）．
【答案】垂直的定义，等量代换，，等量代换，，，内错角相等，两直线平行
【解析】（已知），
（垂直的定义）．
同理，．
（等量代换），
即．
（已知）
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【变式4-1】如图所示，已知，平分，试说明．
【解析】∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式4-2】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．
请完善下列解题过程．
解：与的位置关系是___________．
，分别是，的平分线（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
【答案】；；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
【解析】与的位置关系是．
，分别是，的平分线（已知），
，（角平分线的定义）．
（已知），
．
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【变式4-3】如图，点在上，，且平分．
(1)平分吗？试说明理由．
(2)若，，求证：．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵，，，，
∴，，
∴，，
∴．
考点五：平行线判定-同旁内角互补，两直线平行
【典例5】如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．
【解析】与互余，．
平分平分，
．
．
∴．
【变式5-1】如图，已知，求证：∥．
【解析】∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知），
∴，即．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
过关检测
一、选择题
1．如图，已知，要使，则需具备的另一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
当时，，可得，
故选：D．
2．下列命题正确的是（ ）
①在同一平面内，两条直线不平行就相交；②如果线段与线段不相交，那么直线和平行；③如果，，那么；④同旁内角相等，两直线平行．（ ）
A．③ B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】①在同一平面内，不平行的两条直线就相交，描述正确；
②如果线段和线段不相交，那么直线和直线不一定平行，故原描述错误；
③如果，，那么，描述正确；
④同旁内角互补，两直线平行，原描述错误．
故选：C．
3．如图，能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，
选项D中是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断．
故选：D．
4．如图，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】、∵，∴，故此选项不符合题意；
、，不能判定直线平行，故此选项不符合题意；
、∵，∴，故此选项符合题意；
、∵，∴∥，故此选项不符合题意．
故选：．
5．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作：
①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；
②用三角板的斜边靠上直线；
③沿三角板斜边画直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边．
正确的操作顺序是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①
【答案】C
【解析】②用三角板的斜边靠上直线；
④用直尺紧靠三角板的一条直角边；
①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；
③沿三角板斜边画直线．
故选：C．
6．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ）度
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，，，则下列结论不正确的是( )
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】 ＋＋，，故A正确；
，
，故B正确；
，，
，，
和不平行，故C错误；
，，
，，
，故D正确．
故选：C．
8．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐
【答案】A
【解析】对于选项A，转完两次后相当于在原方向上转过了0°，和原来方向相同，故A正确；
对于选项B，转完两次后相当于在原方向上左拐80°，故B错误；
对于选项C，转完两次后相当于在原方向上右拐180°，故C错误；
对于选项D，转完两次后相当于在原方向上左拐180°，故D错误．
故选A．
9．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【解析】依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．故选：A．
10．下列语句中正确的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
⑤如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本说法错误；
②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本说法正确；
③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，故本说法正确；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本说法错误；
⑤在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行，故本说法错误．
故选：B．
11．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是( )
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°
【答案】C
【解析】
如图1，
作AE∥BC，
则∠CBA+∠EAB=180°，
∵∠CBA=40°，
∴∠EAB=140°，
如图2，作AE∥BC，
则∠CBA=∠EAB=40°．
综上所述，弯的角度是40°或140°．
故选C．
二、填空题
12．如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可）
【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【解析】依题意，，
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
13．如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．
【答案】；同旁内角互补，两直线平行
【解析】∵，，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行．
三、解答题
14．如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：．
因为平分（ ），
所以 = （ ），
又因为（ ），
所以（ ）．
所以（ ）．
【解析】因为平分（已知），
所以（角平分线的定义），
又因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．
15．如图，点分别在上，于点．
(1)求证∶；
(2)若，求证∶．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【解析】，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
