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第03讲 平行线的性质
知识点1：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言：∵a∥b，
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）．
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言：∵a∥b，
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等），
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言：∵a∥b，
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
知识点2：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题．
组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题．
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题．
考点剖析
考点一：利用平行线性质求角度
【典例1】如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，
，
故选：B．
【变式1-1】如图，直线，直线，若， 则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】 ，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1-2】如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1-3】如图，直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
考点二：利用平行线性质解决三角板问题
【典例2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
∴，
故选：D．
【变式2-1】将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式2-2】将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ）
A．12° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2-3】已知，一块含角的直角三角形如图放置，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过P作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
考点三：利用平行线性质解决折叠问题
【典例3】如图，将长方形沿折叠，使点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
由折叠可知，
在长方形中，，
，
故选：D．
【变式3-1】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④； ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】∵，∴，∵折叠，∴，
∴，故①正确；
∵，∴，
又，∴，
∴，故②正确；
∵，∴，
又，∴，故③正确；
∵，，
又，∴，∴，
∵，∴，故④正确；
根据折叠的性质可得，故⑤正确，
故选：D．
【变式3-2】将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】标记点，如图所示，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由折叠可得，，
∴，
故选：C．
考点四：平行线性质的实际应用
【典例4】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐
B．第一次右拐，第二次左拐
C．第一次左拐，第二次左拐
D．第一次右拐，第二次左拐
【答案】B
【解析】如图，由选项可知，，
，
故第一次右拐，第二次左拐，
故选：．
【变式4-1】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（ ）
A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐
【答案】B
【解析】由题意得，过点作，如图所示，
某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，
.
，
.
若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为向左拐.
故选：B.
【变式4-2】如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．
【答案】
【解析】过点作．
，，
．
，
，
同理：．
，
故答案为：．
【变式4-3】如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
【答案】
【解析】∵，∴，
又∵，∴，
∴，
故答案为：．
考点五：利用平行线的判定与性质的综合
【典例5】如图，在△中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式5-1】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式5-2】如图，已知．
(1)判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，求和的度数．
【解析】（1），理由如下：
，
，
，
，
，
，
，即，
．
（2），
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
考点六：命题的判定
【典例6】下列语句中，是命题的有（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的有4个，故选C．
【变式6-1】下列语句是命题的是（ ）
A．在线段上取点C B．作直线的垂线
C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角
【答案】D
【解析】A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误；
B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；
C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误；
D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确．
故选：D．
【变式6-2】下列语句不是命题的是（ ）
A．两条直线相交只有一个交点 B．大于直角的角是钝角
C．同旁内角互补 D．作的平分线
【答案】D
【解析】A、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；
B、大于直角的角是钝角，是命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，是命题，不符合题意；
D、作的平分线，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意．
故选：D．
考点七：真假命题的判断
【典例7】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同角的余角互补 B．同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】C
【解析】A. 同角的余角相等，不符合题意；
B. 同位角不一定相等，不符合题意；
C. 两直线平行，内错角相等，符合题意；
D. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意．
故选：C．
【变式7-1】下列命题；
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意．
真命题有2个，故选：B．
【变式7-2】下列命题中，是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两点之间，线段最短
【答案】C
【解析】A、“同位角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
B、“对顶角相等”是真命题，故不符合题意；
C、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题，缺少平行条件，故符合题意；
D、“两点之间，线段最短”是真命题，故不符合题意．
故选C．
考点八：命题的改写
【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”： ．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【解析】“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【变式8-1】把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果……那么……”的形式 ．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角
【解析】 “一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是：一个角是锐角，结论是：这个锐角的补角大于它的余角，
写成“如果……那么……”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角，
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角．
【变式8-2】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式： ．
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】命题“平行于同一直线的两直线平行”可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
考点九：命题的证明过程
【典例9】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）
【解析】已知①②，求证∶③，
证明∶∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为∶①②；③．
【变式9-1】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
【解析】已知,DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C.
【变式9-2】如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，；②；③.
【解析】由①②得到③
已知：如图，，，．
求证：．
证明：∵，，
∴，
又∵BE∥CF，
∴，
∴，
∴．
由①③得到②
已知：如图，，，．
求证：．
证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
过关检测
一、选择题
1．如图，直线，被直线所截，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选C．
2．下列语句是命题的是（ ）
A．在线段上取点C B．作直线的垂线
C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角
【答案】D
【解析】A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误；
B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；
C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误；
D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确．
故选：D．
3．下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．由可得，故A选项错误；
B．如图，
∵
∴，
∵ ，
∴．
故B选项正确；
C．由可得，故C选项错误；
D．由不能得到，，故D选项错误．
故选：B
4．如图，点在点的正东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
依题意，，
∴，
故选：A．
5．如图，是的角平分线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故选：C．
6．下列命题，其中真命题有( )
①相等的两个角是对顶角；
②同旁内角互补；
③垂线段最短；
④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则；
⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①相等的两个角是对顶角，是假命题；
②同旁内角互补，是假命题；
③垂线段最短，是真命题；
④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题；
⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题；
⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则，是真命题．
所以真命题的③⑤⑥，共3个，
故选：C．
7．如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大
C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
【答案】D
【解析】设该组平行线间的距离为h，
平行四边形的面积，
三角形的面积，
梯形的面积，
∴三个图形的面积相等，
故选：D．
9．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由题意可知，
∴，
∴．
故选C．
10．卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
二、填空题
11．如图，，平分，，则 度．
【答案】55
【解析】∵，
平分，
故答案为：55．
12．已知两个角的两边分别平行，其中一个角的度数是，则另一个角的度数是 ．
【答案】或
【解析】因为两个角的两边互相平行，
所以这两个角相等或互补，
若这两个角相等，因为其中一个角为，所以另一个角的度数为；
若这两个角互补，则另一个角的度数为 ．
故答案为∶ 或．
13．如图，将一副三角板如图叠放，，三点C、B、D在同一直线上，若，则 °．
【答案】
【解析】∵,
∴，
∴,
∵，
∴,
∴．
故答案为．
14．如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】如图，根据题意，得，
∵，
∴，
解得．
故答案为：50．
15．如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
则、、之间的等量关系为，
故答案为：．
三、解答题
16．已知：如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)求：的度数．
【解析】（1），
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
17．如图①，，且，
(1)求的度数．
(2)如图②，试猜想与、之间的关系．
【解析】（1）过作，
，
，
，
又，，
；
（2）猜想：．
证明：过点作，
则，
，，
，
，
．
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第03讲 平行线的性质
知识点1：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言：∵a∥b，
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）．
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言：∵a∥b，
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等），
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言：∵a∥b，
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
知识点2：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题．
组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题．
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题．
考点剖析
考点一：利用平行线性质求角度
【典例1】如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，直线，直线，若， 则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式1-2】如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
考点二：利用平行线性质解决三角板问题
【典例2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ）
A．12° B．15° C．20° D．25°
【变式2-3】已知，一块含角的直角三角形如图放置，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用平行线性质解决折叠问题
【典例3】如图，将长方形沿折叠，使点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④； ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【变式3-2】将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
考点四：平行线性质的实际应用
【典例4】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐
B．第一次右拐，第二次左拐
C．第一次左拐，第二次左拐
D．第一次右拐，第二次左拐
【变式4-1】如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（ ）
A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐
【变式4-2】如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则 ．
【变式4-3】如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
考点五：利用平行线的判定与性质的综合
【典例5】如图，在△中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【变式5-1】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【变式5-2】如图，已知．
(1)判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，求和的度数．
考点六：命题的判定
【典例6】下列语句中，是命题的有（ ）
①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式6-1】下列语句是命题的是（ ）
A．在线段上取点C B．作直线的垂线
C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角
【变式6-2】下列语句不是命题的是（ ）
A．两条直线相交只有一个交点 B．大于直角的角是钝角
C．同旁内角互补 D．作的平分线
考点七：真假命题的判断
【典例7】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同角的余角互补 B．同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【变式7-1】下列命题；
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；
③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；
④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-2】下列命题中，是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两点之间，线段最短
考点八：命题的改写
【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”： ．
【变式8-1】把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果……那么……”的形式 ．
【变式8-2】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式： ．
考点九：命题的证明过程
【典例9】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
【变式9-1】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
【变式9-2】如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，；②；③.
过关检测
一、选择题
1．如图，直线，被直线所截，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句是命题的是（ ）
A．在线段上取点C B．作直线的垂线
C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角
3．下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点在点的正东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题，其中真命题有( )
①相等的两个角是对顶角；
②同旁内角互补；
③垂线段最短；
④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则；
⑥在同一平面内，a，b，c是直线，且，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大
C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
9．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，平分，，则 度．
12．已知两个角的两边分别平行，其中一个角的度数是，则另一个角的度数是 ．
13．如图，将一副三角板如图叠放，，三点C、B、D在同一直线上，若，则 °．
14．如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是 ．
15．如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．
三、解答题
16．已知：如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)求：的度数．
17．如图①，，且，
(1)求的度数．
(2)如图②，试猜想与、之间的关系．
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