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第04讲 平移
知识点：平移
1．定义:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小．
2.平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
考点剖析
考点一：生活中的平移现象
【典例1】如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】下列运动可以看作平移的是（ ）
A．正在荡秋千的小朋友 B．随风乱飘的雪花
C．风中飘扬的红旗 D．正在乘电梯上楼的乘客
【变式1-2】下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：图形的平移
【典例2】把如图所示的“调皮”表情进行平移，能得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】下列每组图形中，左边的图形平移后可以得到右边图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用平移的性质求面积
【典例3】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．
【变式 3-1】如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【变式3-2】如图，把梯形沿方向平移得到梯形，其中，，，，则阴影部分的面积为 ．
考点四：利用平移的性质求长度
【典例4】如图，将△沿方向向右平移3cm得到△，如果△的周长为20cm，那么四边形的周长为 cm．
【变式4-1】如图，把△沿方向平移1得到，，则 ．
【变式4-2】如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
【变式4-3】如图，直角三角形的周长为12，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为 ．
考点五：利用平移的性质求角度
【典例5】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值．
【变式5-1】如图，都是由平移得到的图形，A、C、F三点在同一条直线上．已知．
(1)求的长；
(2)求的度数．
【变式5-2】如图，将△沿射线的方向平移个单位到△的位置，点的对应点分别点．
(1)若，则______．
(2)若，求的度数．
考点六：利用平移解决实际问题
【典例6】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，修建了宽为的小路，求这块草地的绿地面积．
【变式6-1】如图，校园里长为10米、宽为8米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是 平方米．
【变式6-2】某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？
【变式6-3】动手操作：
(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．
①线段平移的距离是________；
②四边形的面积是________；
(2)如图2，在的网格中，将△向右平移3个单位长度得到△．
③画出平移后的△；
④连接，，多边形的面积是________；
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
考点七：平移作图
【典例7】如图，在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，．将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形．
(1)写出点，，的对应点，，的坐标；
(2)画出平移后的三角形；
(3)在平面直角坐标系中，点的坐标为．将点先向右平移个单位长度，再向上移个单位长度后得到点，则点坐标是______．
【变式7-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，△的三个顶点都在网格顶点处，现将△平移得到△，使点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)请画出平移后的△；
(2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______，数量关系是______；
(3)求△的面积．
【变式7-2】如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)在平移过程中，线段扫过的图形的面积为______．
过关检测
一、选择题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C． 比 D．曲
2．如图，△沿所在直线向右平移得到△，已知，，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（ ）
A．5225 B．4500 C．4750 D．4950
4．下列说法正确的是（ ）
A．垂线段最短 B．平移改变图形的形状和大小
C．同位角相等 D．相等的角是对顶角
5．在方格中，将图1中的图形N平移后位置如图所示，则图形N的平移方法正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动2格
C．向下移动2格 D．向下移动3格
6．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（ ）
A．80 B．89 C．98 D．99
7．如图，将△沿方向平移后，到达△的位置，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ ）
A．117米 B．118米 C．119米 D．120米
二、填空题
9．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它历史久远、博大精深，如图①，“马”走一步可到达A、B、C、D、E、F、G、H中的某一个位置，俗称“马走日”．在如图②所示的象棋盘中，“马”至少走 步才能到达“帅”的位置．
10．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
11．如图是6级台阶侧面的示意图，要在台阶上铺地毯，若楼梯宽1.5米，那么至少要买地毯 平方米．
三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系中，△三个顶点的坐标分别是、、，将△向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图中每个小方格边长均为个单位长度．
请完成下列问题：
(1)直接写出各顶点的坐标；
(2)作出△平移之后的图形；
(3)求出的面积．
13．如图，平面内点A，B沿同一方向，平移相同距离分别得到点C，D，连接AB，BC，延长AC到点E，连接BE，DE，BC恰好平分∠ABE．
(1)若∠ACB=100°，∠CBE=40°，求∠EBD的度数；
(2)若∠AED=∠ABC+∠EBD，求证：BC∥DE．
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第04讲 平移
知识点：平移
1．定义:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小．
2.平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
考点剖析
考点一：生活中的平移现象
【典例1】如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察图形可知A，D选项的图形由旋转可得到，B选项的图形由对折可得到；
选项C的图形是通过图形平移得到的，符合题意；
∴选项A、B、D图形不能通过平移得到，不符合题意．
故选C．
【变式1-1】下列运动可以看作平移的是（ ）
A．正在荡秋千的小朋友 B．随风乱飘的雪花
C．风中飘扬的红旗 D．正在乘电梯上楼的乘客
【答案】D
【解析】A. 正在荡秋千的小朋友，不是沿直线运动，不是平移，不符合题意；
B. 随风乱飘的雪花，不是沿固定方向运动，不是平移，不符合题意；
C. 风中飘扬的红旗，不是沿直线运动，不是平移，不符合题意；
D. 正在乘电梯上楼的乘客，是平移，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、利用图形旋转而成，不符合题意；
B、利用图形平移而成，符合题意；
C、利用轴对称而成，不符合题意；
D、利用轴对称而成，不符合题意．
故选：B．
考点二：图形的平移
【典例2】把如图所示的“调皮”表情进行平移，能得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平移定义可知：
“调皮”表情进行平移，能得到的图形是，
故选：C．
【变式2-1】生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、是图形旋转所得，故A错误；
B、图形的形状和大小不变，符合平移性质，故B正确；
C、是图形旋转所得，故C错误；
D、最后一个形状不同，故D错误．
故选：B．
【变式2-2】下列每组图形中，左边的图形平移后可以得到右边图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、选项中两个图形的大小不等，不符合题意；
B、选项平移左边图形可以得到右边图形，符合题意；
C、选项中两个图形的形状不同，不符合题意；
D、选项中左边图形通过轴对称可得右边图形，不符合题意．
故选：B．
【变式2-3】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知只有A选项符合，故选A．
考点三：利用平移的性质求面积
【典例3】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．
【解析】将沿点到点的方向平移到的位置，
，，，
∴，
∴，
．
【变式 3-1】如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，阴影部分是长方形，长，宽，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
【变式3-2】如图，把梯形沿方向平移得到梯形，其中，，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】∵梯形沿方向平移得到梯形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
考点四：利用平移的性质求长度
【典例4】如图，将△沿方向向右平移3cm得到△，如果△的周长为20cm，那么四边形的周长为 cm．
【答案】26
【解析】∵沿方向向右平移3cm得到，
∴，，
∵的周长为20cm，即，
∴，
即四边形的周长为．
故答案为：26．
【变式4-1】如图，把△沿方向平移1得到，，则 ．
【答案】4
【解析】根据题意，可得，
∵，
∴．
故答案为：4．
【变式4-2】如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】由平移可得，，
，
，
，
故答案为：．
【变式4-3】如图，直角三角形的周长为12，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为 ．
【答案】12
【解析】∵大三角形的周长为12，这5个小直角三角形都有一条边与平行，
由平移的性质可得：这5个小直角三角形周长的和为：12，
故答案为：12．
考点五：利用平移的性质求角度
【典例5】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值．
【解析】（1）∵，，
，
，平分，
，，
，
∴，即，
；
（2）不变化．
因为平行移动，
∵，，
∵，，
：的值恒等于：．
【变式5-1】如图，都是由平移得到的图形，A、C、F三点在同一条直线上．已知．
(1)求的长；
(2)求的度数．
【解析】（1）∵都是由平移得到，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵都是由平移得到，
∴．
【变式5-2】如图，将△沿射线的方向平移个单位到△的位置，点的对应点分别点．
(1)若，则______．
(2)若，求的度数．
【解析】（1）∵将沿射线的方向平移个单位到的位置，
∴，
∵，
∴，
故答案为；
（2）由平移的性质可知：，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
考点六：利用平移解决实际问题
【典例6】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，修建了宽为的小路，求这块草地的绿地面积．
【解析】由图形可得，这块草地的绿地面积为：
（20-1）×（10-1）=19×9=171（m2）．
故这块草地的绿地面积为171m2．
【变式6-1】如图，校园里长为10米、宽为8米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是 平方米．
【答案】56
【解析】利用平移的性质可得草地部分的图形为一个长方形，长为(10 2)米，宽为(8 1)米，
因此草地部分的面积为：(10 2)×(8 1)=56（平方米），
故答案为：56．
【变式6-2】某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？
【解析】依题意，地毯的长度至少为（米），
（元）．
答：铺设阶梯的红地毯至少需要米，花费至少元．
【变式6-3】动手操作：
(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．
①线段平移的距离是________；
②四边形的面积是________；
(2)如图2，在的网格中，将△向右平移3个单位长度得到△．
③画出平移后的△；
④连接，，多边形的面积是________；
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【解析】（1）①根据平移性质，线段平移的距离是；
②根据图形，四边形的面积为:，
故答案为：①；②；
（2）③如图所示，△即为所求作；
④由图形知，，，
∴多边形的面积为:
，
故答案为：；
（3）由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，
长方形的长米，宽为b米，
则剩下的草坪面积是：，
故答案为：平方米．
考点七：平移作图
【典例7】如图，在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，．将三角形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形．
(1)写出点，，的对应点，，的坐标；
(2)画出平移后的三角形；
(3)在平面直角坐标系中，点的坐标为．将点先向右平移个单位长度，再向上移个单位长度后得到点，则点坐标是______．
【解析】（1），，；
（2）如图，三角形即为所作；
（3）由题意可知，
故答案为：．
【变式7-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，△的三个顶点都在网格顶点处，现将△平移得到△，使点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)请画出平移后的△；
(2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______，数量关系是______；
(3)求△的面积．
【解析】（1）如图，即为所求；
（2）这两条线段之间的位置关系是平行，数量关系是相等．
故答案为：平行；相等．
（3）
，
答：的面积是7；
【变式7-2】如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)在平移过程中，线段扫过的图形的面积为______．
【解析】（1）如图，即为所求；
（2）根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小，
∴点P的坐标是，
故答案为：；
（3）连接，，则这两条线段之间的数量关系是，
故答案为：；
（4）在平移过程中，线段扫过的图形的面积为，
故答案为：18．
过关检测
一、选择题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C． 比 D．曲
【答案】C
【解析】由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．故选：C．
2．如图，△沿所在直线向右平移得到△，已知，，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵沿所在直线向右平移得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离为3．
故选：A．
3．如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（ ）
A．5225 B．4500 C．4750 D．4950
【答案】B
【解析】（平方米），故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．垂线段最短 B．平移改变图形的形状和大小
C．同位角相等 D．相等的角是对顶角
【答案】A
【解析】A、垂线段最短，故此选项符合题意；
B、平移不改变图形的形状和大小，故此选项不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，两直线不平行，同位角就不相等，故此选项不符合题意；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故此选项不符合题意．
故选：A．
5．在方格中，将图1中的图形N平移后位置如图所示，则图形N的平移方法正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动2格
C．向下移动2格 D．向下移动3格
【答案】C
【解析】由图可得，将图1中的图形N向下平移2格后得到图2，故选：C．
6．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（ ）
A．80 B．89 C．98 D．99
【答案】C
【解析】把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，
这个垫片的周长：．
答：这个垫片的周长为．
故选：C．
7．如图，将△沿方向平移后，到达△的位置，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】由平移得，
∵，∴，
故选：A．
8．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ ）
A．117米 B．118米 C．119米 D．120米
【答案】B
【解析】由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为米，
故选：B．
二、填空题
9．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它历史久远、博大精深，如图①，“马”走一步可到达A、B、C、D、E、F、G、H中的某一个位置，俗称“马走日”．在如图②所示的象棋盘中，“马”至少走 步才能到达“帅”的位置．
【答案】3
【解析】已知“马”和“帅”之间纵向相距个单位长度，横向相距个单位长度，结合图形进行以下假设：
①如果走步，可直观看出无法走到“帅”处；
②如果走步，在①基础上，也无法步到达“帅”点；
③如果走步，在①②基础上，可有条线路能到达“帅”点，如下图箭头所示．
故答案为：．
10．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
【答案】6
【解析】如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6，
故答案为：6．
11．如图是6级台阶侧面的示意图，要在台阶上铺地毯，若楼梯宽1.5米，那么至少要买地毯 平方米．
【答案】
【解析】根据题意，得（平方米），故答案为：9．
三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系中，△三个顶点的坐标分别是、、，将△向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图中每个小方格边长均为个单位长度．
请完成下列问题：
(1)直接写出各顶点的坐标；
(2)作出△平移之后的图形；
(3)求出的面积．
【解析】（1）根据平移可得，的各点横坐标加，纵坐标加可得：，，；
（2）如图，即为所求；
（3）．
13．如图，平面内点A，B沿同一方向，平移相同距离分别得到点C，D，连接AB，BC，延长AC到点E，连接BE，DE，BC恰好平分∠ABE．
(1)若∠ACB=100°，∠CBE=40°，求∠EBD的度数；
(2)若∠AED=∠ABC+∠EBD，求证：BC∥DE．
【解析】（1）由平移的性质可知：AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=100°，
∵∠CBE=40°，
∴∠EBD=∠CBD-∠CBE=100°-40°=60°．
（2）∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠EBC，
∵∠AED=∠ABC+∠EBD，
∴∠AED=∠EBC+∠EBD=∠CBD，
∵∠CBD=∠ACB，
∴∠AED=∠ACB，
∴BC∥DE．
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