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第05讲 平方根
知识点 1 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识点4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
考点剖析
考点一：平方根的概念和表示
【典例1】实数的平方根为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的平方根是0
C．的平方根是 D．的平方根是
【变式1-2】实数的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式1-3】下列对“是的平方根”表示正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点二：平方根的性质
【典例2】已知正数m有两个平方根，分别是与．
(1)求a的值；
(2)求这个正数m．
【变式2-1】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（ ）
A． B．2 C．4 D．9
【变式2-2】一个正数的平方根是与，求和的值．
【变式2-3】已知正数x的平方根是m和．
(1)当时，求m的值；
(2)若，求的值．
考点三：利用开平方解方程
【典例3】解方程：
(1)； (2)．
【变式3-1】求x的值：．
【变式3-2】求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【变式3-3】求下列各式中的值：
(1)； (2)．
考点四：算术平方根的概念
【典例4】若满足，则的算术平方根是（ ）
A． B． C．0 D．4
【变式4-1】实数9的算术平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式4-2】的算术平方根是（ ）
A． B．9 C． D．3
【变式4-3】若对于实数x、y定义一种新运算：，则 ．
考点五：算术平方根的非负性
【典例5】已知，求的平方根．
【变式5-1】若实数x、y满足，则的算术平方根是（ ）
A．36 B． C．6 D．
【变式5-2】若，则的算术平方根的平方根为 ．
【变式5-3】若，则 ．
考点六：算术平方根的估算
【典例6】估算的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【变式6-1】面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式6-2】实数在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【变式6-3】根据下列表格，估计的大小（ ）
x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65
2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225
A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间
C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间
考点七：算术平方根的整数部分和小数部分
【典例7】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【变式7-1】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【变式7-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
考点八：与算术平方根有关的规律探索
【典例8】，，则______．
【变式8-1】有按规律排列的一组单项式：x，，，，，…，则第10个单项式 ．
【变式8-2】下面是一个某种规律排列的数阵：
1 第1行
2 第2行
3 第3行
4 第4行
… … … … … … … … … … …
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示）
【变式8-3】请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ．
过关检测
一、选择题
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根
C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
8．计算结果与相同的式子是（ ）
A． B． C． D．
9．面积为15的正方形的边长是（ ）
A．15的平方根 B．15的算术平方根 C．15开平方的结果 D．15的立方根
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的算术平方根是 ．
12．化简 ．
13．按照如图所示的程序框图，若输出，则输入的值为 ．
14．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ．
三、解答题
15．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
16．已知，．
(1)若x的算术平方根为4，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
17．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）．
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
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第05讲 平方根
知识点 1 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识点4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
考点剖析
考点一：平方根的概念和表示
【典例1】实数的平方根为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】∵，∴的平方根是，故选：A．
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的平方根是0
C．的平方根是 D．的平方根是
【答案】B
【解析】A、1的平方根是，故A错误；
B、0的平方根是0，故B正确；
C、没有平方根，故C错误；
D、的平方根是，故D错误．
故选：B．
【变式1-2】实数的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】的平方根是．故选：C．
【变式1-3】下列对“是的平方根”表示正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】由平方根的定义可知，“是的平方根”可以表示为，若，则，故选B．
考点二：平方根的性质
【典例2】已知正数m有两个平方根，分别是与．
(1)求a的值；
(2)求这个正数m．
【解析】（1）正数有两个平方根，分别是与，
，
得，；
（2）∵，
∴．
【变式2-1】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（ ）
A． B．2 C．4 D．9
【答案】D
【解析】一个正数的两个平方根分別为与，
，
解得：，
，
这个正数为，
故选：D．
【变式2-2】一个正数的平方根是与，求和的值．
【解析】∵一个正数的平方根是与，
∴，
解得，
∴．
【变式2-3】已知正数x的平方根是m和．
(1)当时，求m的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1）正数x的平方根是m和，
，
，
，
；
（2）正数x的平方根是m和，
，，
，
，
，
，
，
．
考点三：利用开平方解方程
【典例3】解方程：
(1)； (2)．
【解析】（1），
，
，
∴，；
（2），
，
，
∴，．
【变式3-1】求x的值：．
【解析】，
则，
，
解得：或．
【变式3-2】求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【解析】（1），
∴，
解得：或7；
（2），
∴，
即，
解得：．
【变式3-3】求下列各式中的值：
(1)； (2)．
【解析】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
或．
考点四：算术平方根的概念
【典例4】若满足，则的算术平方根是（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】D
【解析】由于，则，即，
所以．
故选：D．
【变式4-1】实数9的算术平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴实数9的算术平方根为3，故选：A．
【变式4-2】的算术平方根是（ ）
A． B．9 C． D．3
【答案】D
【解析】∵，∴的算术平方根是．故选：D．
【变式4-3】若对于实数x、y定义一种新运算：，则 ．
【答案】6
【解析】根据题意得：．
故答案为：6．
考点五：算术平方根的非负性
【典例5】已知，求的平方根．
【答案】
【解析】，
，，
解得：，，
，
的平方根为：．
【变式5-1】若实数x、y满足，则的算术平方根是（ ）
A．36 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
解得：，
∴，
∴的算术平方根为6，
故选：C．
【变式5-2】若，则的算术平方根的平方根为 ．
【答案】
【解析】，
，，
解得，，
，
的算术平方根的平方根为．
故答案为：．
【变式5-3】若，则 ．
【答案】
【解析】在中，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
考点六：算术平方根的估算
【典例6】估算的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-1】面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】∵面积为的正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【变式6-2】实数在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【解析】，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式6-3】根据下列表格，估计的大小（ ）
x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65
2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225
A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间
C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间
【答案】B
【解析】∵，
∴，
由表格数据可知：在之间，
故选：B．
考点七：算术平方根的整数部分和小数部分
【典例7】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【解析】因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
【变式7-1】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【解析】∵的算术平方根是，的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【变式7-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【解析】（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
考点八：与算术平方根有关的规律探索
【典例8】，，则______．
【答案】
【解析】因为，
即，
所以，
故答案为：．
【变式8-1】有按规律排列的一组单项式：x，，，，，…，则第10个单项式 ．
【答案】
【解析】∵ x，，，，，…，
第n个单项式为，其中n为不小于1的整数，
则第10个单项式为，
故答案为：．
【变式8-2】下面是一个某种规律排列的数阵：
1 第1行
2 第2行
3 第3行
4 第4行
… … … … … … … … … … …
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】第1行的最后一个数是，
第2行的最后一个数是，
第3行的最后一个数是，
……
第n行最后一个数字为，
故答案为：．
【变式8-3】请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ．
【答案】55
【解析】；
；
；
，…，
∴，
∴
．
故答案为：55．
过关检测
一、选择题
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，故选：A．
2．的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【解析】，故选：B．
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
4．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
【答案】C
【解析】∵一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根
C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4
【答案】B
【解析】0.2是0.04的算术平方根，则A不符合题意；
是25的平方根，则B符合题意；
，其算术平方根是3，则C不符合题意；
16的平方根是，则D不符合题意．
故选：B．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算正确，符合题意．
故选：．
7．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得：
，
故选：A．
8．计算结果与相同的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
A．，故A不符合题意；
B．，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意．
故选：B．
9．面积为15的正方形的边长是（ ）
A．15的平方根 B．15的算术平方根 C．15开平方的结果 D．15的立方根
【答案】B
【解析】设正方形的边长为a，根据题意，得．
∴正方形的边长是15的算术平方根．
故选：B．
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为小正方形的面积，
所以小正方形的边长为：.
故选：.
二、填空题
11．的算术平方根是 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12．化简 ．
【答案】2024
【解析】，故答案为：2024．
13．按照如图所示的程序框图，若输出，则输入的值为 ．
【答案】
【解析】根据程序框图得，
把代入，得，
解得：或．
故答案为：或．
14．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ．
【答案】
【解析】∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
三、解答题
15．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1），
∴，
解得：或7；
（2），
∴，
即，
解得：．
16．已知，．
(1)若x的算术平方根为4，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【解析】（1）因为x的算术平方根为4，
所以，
即，
所以；
（2）根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
17．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）．
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【解析】（1）当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）当时，
即，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
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