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第06讲 立方根
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3： 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点剖析
考点一：立方根的概念
【典例1】若一个数的立方根等于，则这个数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的平方根和立方根都是0
C．的立方根是 D．负数没有平方根
【变式1-2】实数的立方根是（ ）
A．5 B． C． D．
【变式1-3】若，则的值为：（ ）
A．16 B．24 C．64 D．256
【变式1-4】若，则 ．
考点二：立方根的性质
【典例2】已知，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若，则的值是（ ）
A． B．或 C．12 D．12或4
【变式2-2】若，则k的值为 ．
【变式2-3】实数a的立方根是，则a＝ ．
考点三：立方根的实际应用
【典例3】如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方体铁块底面正方形的边长．
【变式3-1】如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．
【变式3-2】图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
考点四：算术平方根和立方根的综合应用
【典例4】已知：的立方根是的算术平方根3．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【变式4-1】已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
【变式4-2】已知实数的一个平方根是，的立方根是．
(1)求、的值；
(2)求的算术平方根．
【变式4-3】已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求的平方根．
考点五：立方根的小数点移动的规律
【典例5】根据你发现的规律填空：
①已知，则 ；
②已知，则 ．
【变式5-1】若，则x与y的关系是 ．
【变式5-2】已知，，，则 ．
过关检测
一、选择题
1．化简的结果是（ ）
A．3 B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
4．若，为实数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知与互为相反数，则与的积的立方根为（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．的算术平方根是（ ）
A．8 B． C． D．2
7．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
二、填空题
8．计算
9．25的平方根是 ，的立方根为 ．
10．一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，则 ．
11．若，，，且，则的值等于 ．
12．已知，，则 ， ．
13．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是 分．
姓名 嘉琪 得分___________ 填空（每小题20分，共100分） （1）的相反数是； （2）的绝对值是； （3）； （4）平方根与立方根相等的是0和1； （5）．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）求x的值：．
15．已知的平方根是，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)的平方根是多少？
16．已知一个正方体的体积是，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问所截每个小正方体的棱长是多少？
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第06讲 立方根
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3： 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点剖析
考点一：立方根的概念
【典例1】若一个数的立方根等于，则这个数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可设这个数为，
∴，
故选：．
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的平方根和立方根都是0
C．的立方根是 D．负数没有平方根
【答案】A
【解析】1的平方根是，则A符合题意；
0的平方根和立方根都是0，则B不符合题意；
的立方根是，则C不符合题意；
负数没有平方根，则D不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】实数的立方根是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】，，故选：B．
【变式1-3】若，则的值为：（ ）
A．16 B．24 C．64 D．256
【答案】C
【解析】∵，∴．故选：C．
【变式1-4】若，则 ．
【答案】3
【解析】，，故答案为：3．
考点二：立方根的性质
【典例2】已知，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
的平方根为．故选：C．
【变式2-1】若，则的值是（ ）
A． B．或 C．12 D．12或4
【答案】B
【解析】∵，
∴a=±4，b=-8．
∴当a=4，b=-8时，a+b=-4；
当a=-4，b=-8时，a+b=-12．
故选：B．
【变式2-2】若，则k的值为 ．
【答案】5
【解析】∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【变式2-3】实数a的立方根是，则a＝ ．
【答案】6
【解析】因为实数的立方根是，
所以，
故答案为：6．
考点三：立方根的实际应用
【典例3】如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方体铁块底面正方形的边长．
【解析】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米），
答：这个铁块的棱长为厘米；
（2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，
∴，，
解得：，
答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米．
【变式3-1】如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．
【解析】设正方体的棱长为xcm，由题意得，
，
解得，
答：正方体的棱长约为6cm．
【变式3-2】图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
【解析】（1），
∴这个魔方的棱长是3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴小立方体的棱长为1，
∴，
∴阴影部分的边长是．
考点四：算术平方根和立方根的综合应用
【典例4】已知：的立方根是的算术平方根3．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【解析】（1）的立方根是的算术平方根3，
，解得；
（2）将代入得到，
的平方根是，
的平方根．
【变式4-1】已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
【解析】（1）的平方根是，的立方根是3，
，，
解得：，；
（2）由（1）得：，，
，
的算术平方根为．
【变式4-2】已知实数的一个平方根是，的立方根是．
(1)求、的值；
(2)求的算术平方根．
【解析】（1）实数的一个平方根是，
，
解得，
的立方根是，
，即，
解得，
，；
（2），
即的算术平方根是．
【变式4-3】已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求的平方根．
【解析】（1）∵表示的算术平方根，
∴，
解得：，
∵表示的立方根，
∴，
把代入得：，
解得：，
综上：，；
（2）∵，，
∴，，
综上：；
（3）∵，
∴．
考点五：立方根的小数点移动的规律
【典例5】根据你发现的规律填空：
①已知，则 ；
②已知，则 ．
【答案】；
【解析】①，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：．
【变式5-1】若，则x与y的关系是 ．
【答案】
【解析】∵，
故答案为：．
【变式5-2】已知，，，则 ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
故答案为：200．
过关检测
一、选择题
1．化简的结果是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A，∴此选项计算错误，故不符合题意；
B∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算错误，故不符合题意；
D．∵，∴此选项的计算正确，故符合题意．
故选：D．
3．如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
【答案】B
【解析】由题意可得每个小方块的体积为，
则其边长为，
故选：B．
4．若，为实数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：．
5．已知与互为相反数，则与的积的立方根为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
∴，
解得，
∴，
∴与的积的立方根为，
故选：B．
6．的算术平方根是（ ）
A．8 B． C． D．2
【答案】D
【解析】，4的算术平方根为2．故选：D．
7．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【解析】∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
二、填空题
8．计算
【答案】
【解析】原式，故答案为：．
9．25的平方根是 ，的立方根为 ．
【答案】；
【解析】，，
25的平方根是，的立方根为．
故答案为：，．
10．一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，则 ．
【答案】
【解析】一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，
，，
，
故选：．
11．若，，，且，则的值等于 ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．已知，，则 ， ．
【答案】；
【解析】∵，
∴；
∵，
∴
．
故答案为：；．
13．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是 分．
姓名 嘉琪 得分___________ 填空（每小题20分，共100分） （1）的相反数是； （2）的绝对值是； （3）； （4）平方根与立方根相等的是0和1； （5）．
【答案】
【解析】的相反数是，故（1）正确，
的绝对值是，故（2）正确，
，故（3）不正确，
平方根与立方根相等的是0，故（4）不正确，
，故（5）正确，
故答案为：．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）求x的值：．
【解析】（1）原式
．
（2）∵，
∴，
∴．
15．已知的平方根是，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)的平方根是多少？
【解析】（1）的平方根是, 的立方根是3，
，，
，；
（2），，
的平方根是．
16．已知一个正方体的体积是，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问所截每个小正方体的棱长是多少？
【解析】设所截每个小正方体的棱长是，
，解得，
答：所截每个小正方体的棱长是．
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