第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷-提高篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先将双曲线方程化为标准式，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程；
【解答过程】解：双曲线，即的右焦点坐标为，
所以，解得，所以双曲线方程为，
则双曲线的渐近线为；
故选：C.
2．（5分）（2022·四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.
【解答过程】解：由已知，得，故，
∵，即，
∴，得，故，
所以椭圆C的方程为.
故选：D．
3．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.
【解答过程】设，，则有，两式作差得：，
即，
弦中点坐标为，则，
又∵，∴，∴，
又∵，∴可解得，，
故椭圆的面积为.
故选：C.
4．（5分）（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且．，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用椭圆定义结合余弦定理得到，再结合，求出椭圆方程.
【解答过程】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得 ，即，所以，又．所以，所以椭圆C的方程为．
故选：C．
5．（5分）（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出，由勾股定理即可得到的关系，从而解出．
【解答过程】由题意可得，，，解得：，，因为，所以，即，亦即，所以．
故选：A．
6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】联立直线与抛物线的方程，即可得到纵坐标，然后结合三角形面积公式，即可得到结果.
【解答过程】由题意知：，点，由，得，
所以的面积为.
故选:B.
7．（5分）（2022·陕西·研究室一模（文））已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．5
【解题思路】根据给定条件，求出点Q的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答.
【解答过程】抛物线的焦点，准线，直线：，
由消去y并整理得：，设，
则，线段AB的中点Q的横坐标，
过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连PF，如图，
于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连，
则有，当且仅当点与点P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
8．（5分）（2022·四川省高二期末（理））已知双曲线的左 右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论：
①的离心率；
②两渐近线夹角为；
③为定值；
④的最小值为.
则所有正确结论为（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确；
根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确；
设，根据点到直线距离公式求出 为定值，可判断③正确；
设，联立直线方程解得的坐标，再根据两点间的距离公式求出可判断④正确.
【解答过程】因为圆与的渐近线相切，
所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，
即，解得，
所以，离心率，故①正确；
因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确；
设，则，
为定值，故③正确；
依题意设，
联立，得，则，
联立，，则，
所以
，
因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【解题思路】根据表示椭圆可求得或，判断A; 表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.
【解答过程】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；
当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；
若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．
故选:BC．
10．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
【解题思路】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【解答过程】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
11．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
【解题思路】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确．
【解答过程】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，
对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；
对于B中，由，，可得，
又由，所以，可得，所以B正确；
对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．
对于D中，由，得，
从而，所以D正确．
故选：BD．
12．（5分）（2022·浙江·高二期末）已知，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则的取值范围是
【解题思路】设，所以，.
对于A：计算出，即可判断；对于B：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：，.利用余弦定理得到结合，即可求得；
对于C：先判断出为直角三角形.利用勾股定理得到.即可求出；对于D：先求出.
令，则.利用定义判断出，结合对勾函数的单调性可以求出.
【解答过程】因为，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，可设，所以，.
对于A：因为，，所以.故A错误；
对于B：由椭圆的定义可知：；由双曲线的定义可知：.
联立解得：，.
由余弦定理可得：.
因为，所以，
整理化简得：.
因为，所以，即.
因为，所以.
代入可得：，整理得：.故B正确；
对于C：因为，所以.
由等腰三角形的性质可得：，.
因为，
所以，即为直角三角形.
所以，即，整理得：.
所以.故C正确；
对于D：因为，所以.
.
令，则.
因为，所以.
又解得：；
由解得：.
所以.
由对勾函数的性质可得：在上单调递增，所以，
所以.
故D正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的标准方程为 .
【解题思路】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解.
【解答过程】解：双曲线的渐近线方程为，
可得，其右焦点为，可得，又，
解得，，
则双曲线的方程为：．
故答案为：．
14．（5分）（2022·重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 12 .
【解题思路】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.
【解答过程】由得，
设，，
由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，
，，，
所以，
所以该光线经过的路程为12.
故答案为：12.
15．（5分）（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 .
【解题思路】设,利用三角形内切圆面积计算可得，化简得，由离心率范围求得，再利用弦长公式即可求得答案.
【解答过程】如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，
得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：.
16．（5分）（2021·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：1(a>b>0)的左 右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是 1 .
【解题思路】由椭圆和双曲线的定义可得，解得，再代入，解得的值，从而得|MF1| |MF2|和|F1F2|的长，由勾股定理可知，是直角三角形，结合面积公式，即可求解.
【解答过程】由题意，将双曲线C'：化成标准形式为，
不妨设点M在双曲线的右支上，
则由椭圆和双曲线的定义，可得，解得，
因为，代入可得，解得或 (舍负)，
所以，双曲线的焦距，
显然有，所以是直角三角形，
所以的面积为：.
故答案为：1.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021·甘肃·高二阶段练习（文））设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由题意可得，解不等式即可求解；
（2）先求出命题为真命题时实数的取值范围，由题意可得一真一假，再分别讨论真假，假真时的取值范围即可.
【解答过程】(1)
若为真，则，解得：或.
(2)
若为真命题，则，可得或，
因为为真命题，为假命题，所以一真一假，
若真假，则：解得：或，
若假真，则：，此时无解，
综上所述，实数的取值范围为：或.
18．（12分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(1)求C的标准方程；
(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
【解题思路】(1)由条件设双曲线的方程为，根据条件列方程求即可；(2)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求
【解答过程】（1）
因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为
双曲线的焦距为10，，
的一条渐近线为，，
又，联立上式解得，，
故所求方程为
（2）
由(1)的右顶点为，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为
联立消去变量y可得，，
解得或
则A，B两点的坐标分别为，
故
19．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x，y轴分别交于M，N两点，且，求直线l的方程.
【解题思路】（1）依题意，求出 ，再求出 ，即可算出椭圆方程；
（2）运用椭圆的中点弦公式和点差法即可求解.
【解答过程】（1）
由题意， ， ，
椭圆方程为： ；
（2）
令的中点为E，因为，所以，
设，则，
所以，即
所以，即，
设直线 ，
令得，令得 ，即 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
综上，椭圆的方程为：，直线l的方程为：.
20．（12分）（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.
【解题思路】（1）由离心率得出关系，再由原点到直线的距离等圆半径求得得椭圆方程；
（2）先确定直线斜率为0或斜率不存在时的结论，然后在斜率存在且不为0时，设方程为（），代入椭圆方程应用韦达定理，，求得中点坐标，再由椭圆中弦长公式得弦长，计算，变形后求得其范围，综合后可得结论．
【解答过程】（1）
由知，
原点到直线的距离为，故，
故椭圆的标准方程为.
（2）
时：，或，故；
直线斜率不存在时，，或．故；
直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（），
由直线与圆相切，所以，即，
联立得，
设，
由韦达定理：，，，
所以中点的坐标为，
故
，
故 ，
，当且仅当，时等号成立，
综上：的取值范围是.
21．（12分）（2022·重庆高二阶段练习）已知拋物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.
(1)求的值；
(2)如图，经过点（三象限）且不过原点的直线与拋物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值2若存在，请求出点的坐标.
【解题思路】（1）设出过点的直线方程，与抛物线联立，表示出弦长即可根据最小值求出；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理表示，根据其为定值即可求出.
【解答过程】(1)
设过点的直线方程为，设交抛物线于，
将直线代入抛物线可得，则，，
所以，
当时，取得最小值为，所以；
(2)
假设存在定点，设直线的方程为，，
将直线方程代入抛物线得，则，
所以 ，
因为点为定点，所以，，即，
因为直线不过原点，所以，
所以
，
因为为定值，所以，解得，
因为在第三象限，所以存在定点，其坐标为.
22．（12分）（2022·上海·高三阶段练习）如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．
【解题思路】（1）将点的坐标代入可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）先求出直线的方程为，代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系可求出点的坐标，再由重心在轴上结合重心坐标公式可求出点的坐标，从而可求出点的横坐标，
（3）求出直线的方程，可求出，从而 ，令，代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点的坐标
【解答过程】(1)
因为点在抛物线：上，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
(2)
由点纵坐标为，得点横坐标为，设，重心，
因为直线过，所以
所以直线的方程为，即，
代入，得，
所以，得，所以，
因为，，重心在轴上，
所以，得，
所以，所以，
所以，
即点的横坐标为；
(3)
由（2）得，，
所以，
所以直线的方程为，
令，得，即，
因为在点的右侧，所以，
所以
，
令，则，
，
，
当且仅当，即取等号，
所以当时，取得最小值为，
此时，则，所以.第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷-提高篇
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且．，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022·陕西·研究室一模（文））已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．5
8．（5分）（2022·四川省高二期末（理））已知双曲线的左 右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论：
①的离心率；
②两渐近线夹角为；
③为定值；
④的最小值为.
则所有正确结论为（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
10．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
11．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
12．（5分）（2022·浙江·高二期末）已知，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则的取值范围是
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的标准方程为 .
14．（5分）（2022·重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 .
15．（5分）（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 .
16．（5分）（2021·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：1(a>b>0)的左 右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021·甘肃·高二阶段练习（文））设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18．（12分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(1)求C的标准方程；
(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
19．（12分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x，y轴分别交于M，N两点，且，求直线l的方程.
20．（12分）（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.
21．（12分）（2022·重庆高二阶段练习）已知拋物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.
(1)求的值；
(2)如图，经过点（三象限）且不过原点的直线与拋物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值2若存在，请求出点的坐标.
22．（12分）（2022·上海·高三阶段练习）如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．
